Đáp án đúng: D

* Lời giải:

v_x/n = v_x/b – v_x/n = 12 – 4 = 8 km/h

* Phương pháp giải:

Nắm kỹ lý thuyết vận tốc tương đối

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Khái niệm

- Nếu vật chuyển động ngược dòng thì có lực cản của dòng nước; nếu chuyển động xuôi dòng thì có thêm vận tốc dòng nước.

2. Công thức

- Một chiếc thuyền đang chạy trên một dòng sông. Ta sẽ xét chuyển động của thuyền trong hai hệ qui chiếu:

+ Hệ quy chiếu (x0y) gắn với bờ coi như hệ quy chiếu đứng yên.

+ Hệ quy chiếu (x’0y’) gắn với một vật trôi theo dòng nước là hệ quy chiếu chuyển động.

- Gọi thuyền là số 1 (ứng với vật chuyển động), nước là số 2 (ứng với hệ quy chiếu chuyển động), bờ là số 3 (ứng với hệ quy chiếu đứng yên). Ta có:

$\overrightarrow{v_{1,3}}$ là vận tốc của thuyền đối với bờ, tức là đối với hệ quy chiếu đứng yên. Vận tốc này gọi là vận tốc tuyệt đối.

$\overrightarrow{v_{1,2}}$ là vận tốc của thuyền đối với nước, tức là đối với hệ quy chiếu chuyển động. Vận tốc này gọi là vận tốc tương đối.

$\overrightarrow{v_{2,3}}$ là vận tốc của nước đối với bờ. Đó là vận tốc của hệ quy chiếu chuyển động so với hệ quy chiếu đứng yên. Vận tốc này gọi là vận tốc kéo theo.

Ta có hệ thức: $\overrightarrow{v_{1,3}}=\overrightarrow{v_{1,2}}+\overrightarrow{v_{2,3}} \left(1\right)$

3. Kiến thức mở rộng

- Trường hợp: $\overrightarrow{v_{1,2}}$ cùng hướng với $\overrightarrow{v_{2,3}}$ => (1) trở thành $v_{1,3}=v_{1,2}+v_{2,3}$

- Trường hợp: $\overrightarrow{v_{1,2}}$ khác hướng với $\overrightarrow{v_{2,3}}$ => (1) trở thành: $v_{1,3}=\left|v_{1,2}-v_{2,3}\right|$

- Trường hợp: $\overrightarrow{v_{1,2}}\perp \overrightarrow{v_{2,3}}$ => (1) trở thành: $v_{1,3}=\sqrt{{v^2}_{1,2}+{v^2}_{2,3}}$

- Trường hợp: $\alpha =\left(\overrightarrow{v_{1,2}}, \overrightarrow{v_{2,3}}\right)$ => (1) trở thành: $v_{1,3}=\sqrt{{v^2}_{1,2}+{v^2}_{2,3}+2.v_{1,2}.v_{2,3}.\cos \alpha }$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Công thức tính tương đối của vận tốc và cách giải các dạng bài tập (2025) chi tiết nhất

Trắc nghiệm Tính tương đối của chuyển động có đáp án – Vật lí lớp 10

* Lời giải:

Ta có:

Đáp án đúng: D

*Lời giải:

* Phương pháp giải:

Nắm kỹ lý thuyết mối quan hệ giữa chu kỳ dao động và khối lượng

* Lý thuyết nắm thêm:

- Chu kì dao động là khoảng thời gian để vật thực hiện được một dao động, đơn vị: giây (s)

- Tần số dao động được xác định bởi số dao động mà vật thực hiện được trong một giây, đơn vị: héc (Hz)

$f=\frac{1}{T}$

- Pha dao động là một đại lượng đặc trung cho trạng thái của vật trong quá trình dao động

- Độ lệch pha giữa hai dao động điều hòa cùng chu kì (cùng tần số) được xác định theo công thức:

$\mathrm{\Delta }\phi =2\pi \frac{\mathrm{\Delta }t}{T}$

- Tần số góc của dao động là đại lượng đặc trưng cho tốc độ biến thiên của pha dao động. Đối với dao động điều hòa tần số góc có giá trị không đổi và được xác định theo công thức

$\omega =\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{t_2-t_1}=\frac{2\pi }{T}$

Với ${\phi }_1$và ${\phi }_2$ lần lượt là pha dao động tại thời điểm $t_1$ và $t_2$, đơn vị của tần số góc là radian trên giây (rad/s)

- Dao động cơ là chuyển động qua lại quanh vị trí cân bằng.

- Dao động cơ của một vật có thể là tuần hoàn hoặc không tuần hoàn.

- Sau những khoảng thời gian bằng nhau, vật trở lại vị trí cũ theo hướng cũ thì dao động của vật đó là tuần hoàn

- Dao động tuần hoàn đơn giản nhất là dao động điều hòa

Đồ thị của dao động điều hòa

- Đồ thị của dao động điều hòa là đường cong có dạng hình sin, cho biết vị trí của vật trên trục x tại những thời điểm khác nhau

Phương trình của dao động điều hòa

$x=A\cos (\omega t+\phi )$

Trong đó:

+ x: li độ của dao động

+ A: biên độ dao động (A>0)

+ ω: tần số góc của dao động (đơn vị: rad/s)

+ ωt+φ: pha của dao động tại thời điểm t (đơn vị: rad)

+ φ: pha ban đầu của dao động

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết Dao động điều hòa - Vật lí 11 Kết nối tri thức

TOP 10 câu Trắc nghiệm Mô tả dao động điều hoà (Kết nối tri thức 2024) có đáp án - Vật lí 11 

Đáp án đúng: C

* Lời giải:

CH₃-CH₂-CH(NH₂)-COOH; CH₃-CH(NH₂)-CH₂-COOH; NH₂-CH₂-CH₂-CH₂-COOH; (CH₃)₂C(NH₂)-COOH và NH₂-CH₂-CH(CH₃)-COOH

* Phương pháp giải:

Axit cóX gắn vị trí cần – NH ₂ vào mạch C4​Phân tử C₄H₉NO₂ ứng với axit amin có 1 nhóm –NH₂ và 1 nhóm –COOH.
Các nhóm gắn vị trí –NH₂ vào mạch C4 bao gồm: 3 đồng mạch thẳng và 1 đồng mạch nhánh.
* Lý thuyết nắm thêm:

Khái niệm

- Amino axit là loại hợp chất hữu cơ tạp chức mà phân tử chứa đồng thời nhóm amino (NH₂) và nhóm cacboxyl (COOH).

Công thức chung: (H₂N)_x – R – (COOH)_y

Danh pháp

a) Tên thay thế: axit + vị trí nhóm NH₂ + amino + tên axit cacboxylic tương ứng.

Ví dụ: H₂N–CH₂–COOH: axit aminoetanoic

HOOC–[CH₂]₂–CH(NH₂)–COOH: axit 2-aminopentanđioic

Tên bán hệ thống: axit + vị trí chữ cái Hi Lạp (α, β, γ, δ, ε, ω) của nhóm NH₂ + amino + tên thông thường của axit cacboxylic tương ứng.

Ví dụ: CH₃–CH(NH₂)–COOH : axit α-aminopropionic

H₂N–[CH₂]₅–COOH : axit ε-aminocaproic

H₂N –[ CH₂]₆–COOH: axit ω-aminoenantoic

c) Tên thông thường: các amino axit thiên nhiên (α-amino axit) đều có tên thường.

Ví dụ: H₂N –CH₂–COOH có tên thường là glyxin (Gly) hay glicocol

Tên gọi của một số α - amino axit

Tính chất vật lý

Các amino axit là các chất rắn không màu, vị hơi ngọt, dễ tan trong nước vì chúng tồn tại ở dạng ion lưỡng cực (muối nội phân tử), nhiệt độ nóng chảy cao (vì là hợp chất ion).

H₂N – CH₂ – COOH $\rightleftarrows H_3\stackrel{+}{N}-C{H}_2-CO{O}^{-}$

Dạng phân tử Dạng ion lưỡng cực

Tính chất hóa học

1. Tính chất lưỡng tính

- Tác dụng với dung dịch bazơ (do có nhóm COOH)

H₂N – CH₂–COOH + NaOH → H₂N – CH₂–COONa + H₂O

- Tác dụng với dung dịch axit (do có nhóm NH₂)

H₂N – CH₂–COOH + HCl → ClH₃N– CH₂–COOH

2. Tính axit – bazơ của dung dịch aminoaxit

Xét amino axit tổng quát: (H₂N)_x – R – (COOH)_y. Khi:

- x = y thì amino axit trung tính, quỳ tím không đổi màu

- x > y thì amino axit có tính bazơ, quỳ tím hóa xanh

- x < y thì amino axit có tính axit, quỳ tím hóa đỏ

Phản ứng riêng của nhóm COOH: Phản ứng este hóa

Tương tự với axit cacboxylic, amino axit phản ứng với ancol khi có mặt axit vô cơ mạnh sinh ra este. Ví dụ:

H­₂NCH₂COOH + C₂H₅OH $\stackrel{HCl}{\rightleftarrows }$ H­₂NCH₂COOC₂H₅ + H₂O

Phản ứng trùng ngưng

- Khi đun nóng, các ε – hoặc ω – amino axit tham gia phản ứng trùng ngưng tạo thành polime thuộc loại poliamit.

- Trong phản ứng này, -OH của nhóm COOH ở phân tử amino axit này kết hợp với H của nhóm NH₂ ở phân tử amino axit kia thành nước và sinh ra polime do các gốc amino axit kết hợp với nhau. Ví dụ:

Hay có thể viết gọn là:

Phản ứng đặc trưng của nhóm NH₂: phản ứng với HNO₂

Ví dụ:

H₂N – CH₂–COOH + HNO₂ → HO– CH₂ –COOH + N₂↑ + H₂O

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết Amino axit (mới 2024 + Bài Tập) - Hóa học 12

TOP 40 câu Trắc nghiệm Amino axit (có đáp án 2024) - Hóa học 12

Đáp án đúng: A

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Ta sử dụng công thức:

$$Q = R \cdot I_{\text{hiệu dụng}}^2 \cdot t$$

* Lý thuyết nắm thêm:

hiều của dòng điện cảm ứng

- Dòng điện cảm ứng trong dây dẫn kín đổi chiều khi số đường sức từ xuyên qua tiết diện S của cuộn dây đang tăng mà chuyển sang giảm hoặc ngược lại đang giảm mà chuyển sang tăng.

- Nếu liên tục lần lượt đưa nam châm vào và kéo nam châm ra khỏi cuộn dây dẫn kín thì dòng điện cảm ứng trong cuộn dây cũng luân phiên đổi chiều.

⇒ Dòng điện luân phiên đổi chiều được gọi là dòng điện xoay chiều.

Cách tạo ra dòng điện xoay chiều

Có 2 cách tạo ra dòng điện xoay chiều:

- Cách 1: Cho nam châm quay trước cuộn dây dẫn kín

- Cách 2: Cho cuộn dây quay trong từ trường

Dòng điện xoay chiều:

     - Khái niệm: là dòng điện có cường độ là hàm số sin hoặc cos của thời gian.

     i = I₀ cos(ωt + φ)

     - Những đại lượng đặc trưng:

     i : cường độ dòng điện tức thời.

     I₀: cường độ dòng điện cực đại.

     ω: tần số góc w = 2π/T = 2πf

     ωt + φ: pha dao động của i

     φ: pha ban đầu của i

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết Dòng điện xoay chiều (mới 2024 + Bài Tập) - Vật lí 9

Giải Vật Lí 9 Bài 33: Dòng điện xoay chiều 

* Lời giải:

a) 9,3 x 6,7 + 9,3 x 3,3

= 9,3 x (6,7 + 3,3)

= 9,3 x 10

= 93

b) 7,8 x 0,35 + 0,35 x 2,2

= (7,8 + 2,2 ) x 0,35

= 10 x 0,35

= 3,5

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên 

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Sử dụng phép chia để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên 

* Lời giải: 

7 = √49

Vì 49 > 47 nên √49 > √47

Vậy 7 > √47

* Phương pháp giải:

Biến đổi 7 thành số căn sau đó so sánh hai số

* Lý thuyết nắm thêm:

Căn bậc hai

a. Khái niệm: Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x² = a.

Tính chất:

- Số âm không có căn bậc hai.

- Số 0 có đúng một căn bậc hai đó chính là số 0, ta viết $\sqrt{0}=0$.

- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau; số dương ký hiệu là $\sqrt{a}$ , số âm ký hiệu là $-\sqrt{a}$.

Căn bậc hai số học

a. Định nghĩa: Với số dương a, số $\sqrt{a}$ được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

Phép khai phương:

- Phép khai phương là phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm (gọi tắt là khai phương).

- Khi biết một căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng xác định được các căn bậc hai của nó.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Căn bậc hai (mới 2024 + Bài Tập) - Toán 9

Toán 9 Bài 8 (Kết nối tri thức): Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

* Lời giải:

263,24 : (31,16 + 34,65) – 0,71

= 263,24 : 65,81 - 0,71

= 4 – 0,71

= 3,29

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên 

Đáp án đúng: A

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Nắm kỹ lý thuyết vận tốc tương đối

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Khái niệm

- Nếu vật chuyển động ngược dòng thì có lực cản của dòng nước; nếu chuyển động xuôi dòng thì có thêm vận tốc dòng nước.

2. Công thức

- Một chiếc thuyền đang chạy trên một dòng sông. Ta sẽ xét chuyển động của thuyền trong hai hệ qui chiếu:

+ Hệ quy chiếu (x0y) gắn với bờ coi như hệ quy chiếu đứng yên.

+ Hệ quy chiếu (x’0y’) gắn với một vật trôi theo dòng nước là hệ quy chiếu chuyển động.

- Gọi thuyền là số 1 (ứng với vật chuyển động), nước là số 2 (ứng với hệ quy chiếu chuyển động), bờ là số 3 (ứng với hệ quy chiếu đứng yên). Ta có:

$\overrightarrow{v_{1,3}}$ là vận tốc của thuyền đối với bờ, tức là đối với hệ quy chiếu đứng yên. Vận tốc này gọi là vận tốc tuyệt đối.

$\overrightarrow{v_{1,2}}$ là vận tốc của thuyền đối với nước, tức là đối với hệ quy chiếu chuyển động. Vận tốc này gọi là vận tốc tương đối.

$\overrightarrow{v_{2,3}}$ là vận tốc của nước đối với bờ. Đó là vận tốc của hệ quy chiếu chuyển động so với hệ quy chiếu đứng yên. Vận tốc này gọi là vận tốc kéo theo.

Ta có hệ thức: $\overrightarrow{v_{1,3}}=\overrightarrow{v_{1,2}}+\overrightarrow{v_{2,3}} \left(1\right)$

3. Kiến thức mở rộng

- Trường hợp: $\overrightarrow{v_{1,2}}$ cùng hướng với $\overrightarrow{v_{2,3}}$ => (1) trở thành $v_{1,3}=v_{1,2}+v_{2,3}$

- Trường hợp: $\overrightarrow{v_{1,2}}$ khác hướng với $\overrightarrow{v_{2,3}}$ => (1) trở thành: $v_{1,3}=\left|v_{1,2}-v_{2,3}\right|$

- Trường hợp: $\overrightarrow{v_{1,2}}\perp \overrightarrow{v_{2,3}}$ => (1) trở thành: $v_{1,3}=\sqrt{{v^2}_{1,2}+{v^2}_{2,3}}$

- Trường hợp: $\alpha =\left(\overrightarrow{v_{1,2}}, \overrightarrow{v_{2,3}}\right)$ => (1) trở thành: $v_{1,3}=\sqrt{{v^2}_{1,2}+{v^2}_{2,3}+2.v_{1,2}.v_{2,3}.\cos \alpha }$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Công thức tính tương đối của vận tốc và cách giải các dạng bài tập (2025) chi tiết nhất

Trắc nghiệm Tính tương đối của chuyển động có đáp án – Vật lí lớp 10

* Lời giải:

${\log }_{25}20 =\frac{{\log }_{4}20}{{\log }_{4}25} = \frac{{\log }_4(4.5)}{{\log }_4\left(5^2\right)} = \frac{1+ {\log }_{4}5}{2{\log }_{4}5} = \frac{1+a}{2a}$

* Phương pháp giải:

Đối với hàm hợp y = logau(x); ta có: $\left({\log }_{a}u\right)\text{'}=\frac{u\text{'}}{u\ln a}$

* Lý thuyết nắm thêm

Đây là các tính chất của đạo hàm logarit cơ bản được áp dụng nhiều trong các dạng bài khác nhau. Học sinh chú ý ghi nhớ để tính thành thạo đạo hàm log.

Hàm số mũ

1. Định nghĩa.

Cho số thực dương a khác 1.

Hàm số y = a^x được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Ví dụ 1. Các hàm số y = 2^x; $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x;y={\left(\sqrt{3}\right)}^x$ là các hàm số mũ.

2. Đạo hàm của hàm số mũ

Ta thừa nhận công thức: $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{e^t-1}{t}=1$

– Định lí 1: Hàm số y = e^x có đạo hàm tại mọi x và (e^x)’ = e^x.

– Chú ý: Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số e^u ( với u = u(x))

là (e^u)’ = u’. e^u.

– Định lí 2: Hàm số y = a^x ( a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x và: (a^x)’ = a^x. ln a

– Chú ý: Đối với hàm hợp y = a^u(x) ta có: (a^u)’ = a^u. lnu . u’

II. Hàm số logarit

1. Định nghĩa.

Cho số thực dương a khác 1.

Hàm số y = log_ax được gọi là hàm số logarit cơ số a.

Ví dụ 3. Các hàm số y = log₅ x; $y={\log }_{\frac{2}{3}}x;y={\log }_{\sqrt{3}}x$; y = ln x là các hàm số logarit với cơ số lần lượt là $5;\frac{2}{3};\sqrt{3}$ và e.

2. Đạo hàm của hàm số logarit

– Định lí 3. Hàm số y = log_a x (a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x > 0 và $\left({\log }_{a}x\right)\text{'}=\frac{1}{x\ln a}$

– Đặc biệt: $\left(\ln x\right)\text{'}=\frac{1}{x}$

– Chú ý:

Đối với hàm hợp y = log_au(x); ta có: $\left({\log }_{a}u\right)\text{'}=\frac{u\text{'}}{u\ln a}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Đạo hàm logarit, công thức và các dạng bài tập 

* Lời giải:

Ta có phương trình hoành độ giao điểm

$x^3+x+2=-2x+2\iff x^3+3x=0$

$\iff x(x^2+3)=0\iff x=0$

Suy ra tọa độ giao điểm là (0; 2).

* Phương pháp giải:

 Để tìm được giao điểm của 2 đồ thị hàm số: ta sẽ tìm hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số

* Lý thuyết cần nắm thêm về sự tương giao giữa đồ thị hàm số:

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C₁) và y = g (x) có đồ thị (C₂) .

Phương trình hoành độ giao điểm của (C₁) và (C₂) là f (x) = g (x).

Khi đó:

- Số giao điểm của (C₁) và (C₂) bằng với số nghiệm của phương trình (1) .

- Nghiệm x₀ của phương trình (1) chính là hoành độ x₀ của giao điểm.

- Để tính tung độ y₀ của giao điểm, ta thay hoành độ x₀ vào y = f (x).

- Điểm M (x₀ ; y₀) là giao điểm của (C₁) và (C₂).

CÁC DẠNG TOÁN HAY GẶP VÀ CÁC KỸ NĂNG CẦN THIẾT.

Dạng 1. Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị hàm số cho trước.

Phương pháp giải.

Cho 2 hàm số $y=f\left(x\right),y=g\left(x\right)$ có đồ thị lần lượt là (C) và (C’).

Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): $f\left(x\right)=g\left(x\right)$

Bước 2: Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và toạ độ giao điểm.

Bước 3: Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’). Thay trở lại $y=f\left(x\right)(y=g(x\left)\right)$, ta sẽ được toạ độ giao điểm.

Dạng 2. Tìm m để sự tương giao của các đồ thị hàm số thoả mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp giải.

BÀI TOÁN 1: TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC 3.

Phương pháp 1: Bảng biến thiên (đồ thị hàm số).

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng $F\left(x,m\right)=0$ (phương trình ẩn x tham số m)

+) Cô lập m đưa phương trình về dạng $m=f\left(x\right)$

+) Lập BBT cho hàm số $y=f\left(x\right)$.

+) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m.

* Dấu hiệu: Sử dụng phương pháp bảng biến thiên khi m độc lập với x.

Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm $F\left(x,m\right)=0$

+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số). Giả sử $x=x_0$ là 1 nghiệm của phương trình.

+) Phân tích:

$$\begin{gathered} F\left(x,m\right)=0\iff \left(x-x_0\right).g\left(x\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=x_0\\ g\left(x\right)=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

(là $g\left(x\right)=0$ là phương trình bậc 2 ẩn x tham số m ).

+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc 2: $g\left(x\right)=0$.

Phương pháp 3: Cực trị.

* Nhận dạng: Khi bài toán không cô lập được m và cũng không nhẩm được nghiệm.

* Quy tắc:

- Lập phương trình hoành độ giao điểm $F\left(x,m\right)=0$ (1). Xét hàm số $y=F\left(x,m\right)$.

- Để (1) có đúng 1 nghiệm thì đồ thị $y=F\left(x,m\right)$ cắt trục hoành tại đúng 1 điểm. (2TH)

+ Hoặc hàm số luôn đơn điệu trên R $\iff$ hàm số không có cực trị $\iff y\text{'}=0$ hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $\iff {\Delta }_{y\text{'}}\le 0$

+ Hoặc hàm số có CĐ, CT và $y_{cd}.y_{ct}>0$

Mở rộng: Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành 1 cấp số cộng.

1. Định lí Vi - ét.

*) Cho bậc 2: Cho phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì ta có:

$\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}\end{array}$

*) Cho bậc 3: Cho phương trình $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ có 3 nghiệm $x_1,x_2,x_3$ thì ta có:

$\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a},\\ x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=\frac{c}{a},\\ x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}\end{array}$

2.Tính chất của cấp số cộng: Cho 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng thì:

a + c = 2b

+) Điều kiện cần: $x_0=-\frac{b}{3a}$ là 1 nghiệm của phương trình. Từ đó thay vào phương trình để tìm m.

+) Điều kiện đủ: Thay m tìm được vào phương trình và kiểm tra

BÀI TOÁN 2: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC.

Phương pháp : Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}\left(C\right)$ và đường thẳng $d:y=px+q$. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): $\frac{ax+b}{cx+d}=px+q\iff F\left(x,m\right)=0$ (phương trình bậc 2 ẩn x tham số m).

* Các câu hỏi thường gặp:

1. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt $\iff$(1) có 2 nghiệm phân biệt khác $-\frac{d}{c}$

2. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh phải của (C) $\iff$ (1) có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ và thỏa mãn $:-\frac{d}{c}<x_1^{}<x_2$.

3. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh trái của (C) $\iff$(1) có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ và thỏa mãn $x_1^{}<x_2<-\frac{d}{c}$.

4. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của (C) $\iff$ (1) có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ và thỏa mãn $x_1^{}<-\frac{d}{c}<x_2$.

5. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B thỏa mãn điều kiện hình học cho trước:

+) Đoạn thẳng AB = k

+) Tam giác ABC vuông.

+) Tam giác ABC có diện tích $S_0$

* Chú ý: Công thức tính khoảng cách:

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán 12 Bài 4 (Kết nối tri thức): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Toán 12 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 1 trang 42

50 bài toán về tương giao của đồ thị hàm số (có đáp án 2024) – Toán 12 

* Lời giải:

Số chuyến thuyền để chở hết số khách đó là:

14 : 4 = 3 (chuyến) dư 2 khách

Vậy cần ít nhất 4 chuyến thuyền để chở hết số khách đó.

* Phương pháp giải:

Sử dụng phép chia có dư để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên 

* Lời giải:

Vì thương của hai số là 0,6 hay $\frac{6}{10}$ nên tỉ số của hai số đó là $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 5 = 8 (phần)

Số bé là: 0,6 : 8 × 3 = 0,225

Số lớn là: 0,6 – 0,225 = 0,375

Vậy 2 số cần tìm là 0,225 và 0,375.

* Phương pháp giải:

Bước 1: Vẽ sơ đồ theo dữ kiện bài ra.

Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau

Bước 3: Tìm số bé và số lớn (Có thể tìm số lớn trước hoặc tìm sau và ngược lại)

Số bé = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số bé (Hoặc Tổng - số lớn)

Số lớn = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số lớn (Hoặc Tổng - số bé)

Bước 4. Kết luận đáp số

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Cho biết cả tổng và tỉ số

1. Phương pháp giải

Bước 1: Vẽ sơ đồ theo dữ kiện bài ra.

Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau

Bước 3: Tìm số bé và số lớn (Có thể tìm số lớn trước hoặc tìm sau và ngược lại)

Số bé = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số bé (Hoặc Tổng - số lớn)

Số lớn = (Tổng : số phần bằng nhau) × số phần của số lớn (Hoặc Tổng - số bé)

Bước 4. Kết luận đáp số

Dạng 2: Thiếu (ẩn) tổng (Cho biết tỉ số, không cho biết tổng số)

1. Phương pháp giải

Tìm tổng của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Dạng 3: Thiếu (ẩn) tỉ (Cho biết tổng số, không cho biết tỉ số)

1. Phương pháp giải

Tìm tỉ số của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Dạng 4: Ẩn cả tổng và tỉ số

1. Phương pháp giải

Tìm tổng và tỉ số của hai số đưa về dạng tìm hai số khi biết tổng và tỉ số cơ bản (dạng 1).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán lớp 5 trang 20 (Cánh diều) Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó

50 bài tập Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó lớp 4 và cách giải 

Đáp án đúng: D

*Lời giải

*Phương pháp giải

a^f(x) $\ge$ b(*)

- Nếu $\left\{\begin{array}{l}0<a\ne 1\\ b\le 0\end{array}\right.$thì (*) luôn đúng

- Nếu $\left\{\begin{array}{l}b>0\\ 0<a<1\end{array}\right.$thì (*) $\iff f\left(x\right)\le {\log }_{a}b$

- Nếu $\left\{\begin{array}{l}b>0\\ 1<a\end{array}\right.$thì (*) $\iff f\left(x\right)\ge {\log }_{a}b$

*Một số dạng bài về bất phương trình mũ

- Bất phương trình mũ cơ bản có dạng $a^x>b$ (hoặc $a^x\ge b$, $a^x<b$, $a^x\le b$)

với $a>0,a\ne 1$.

Tập nghiệm của bất phương trình mũ cơ bản

a. Tập nghiệm của bất phương trình $a^x>b\left(a>0,a\ne 1\right)$

b. Tập nghiệm của bất phương trình $a^x\ge b\left(a>0,a\ne 1\right)$

c. Tập nghiệm của bất phương trình $a^x<b\left(a>0,a\ne 1\right)$

d. Tập nghiệm của bất phương trình $a^x\le b\left(a>0,a\ne 1\right)$

Dạng 1:

Dạng 2:

Dạng 3: a^f(x) > b(*)

Dạng 4: a^f(x) < b(**)

Lưu ý: Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

Tương tự với bất phương trình dạng:

Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

50 bài toán về bất phương trình mũ và cách giải

Toán 11 Bài 21 (Kết nối tri thức): Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

* Lời giải:

Ta có 

* Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cung lượng giác cơ bản

* Lý thuyết nắm thêm:

Công thức nhân đôi:

* Công thức hạ bậc:

Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác đặc biệt

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Góc và cung lượng giác và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất 

Giải Toán 10 Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác 

Đáp án đúng: B

* Lời giải:

*Phương pháp giải:

 - Nắm vững lại tính chất về số đo cung tròn 

* Các dạng bài tập và lý thuyết thêm về độ dài cung tròn:

a) Cho đường tròn (O; R) như hình sau:

• Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo α rad có độ dài l = Rα,

trong đó: + R là bán kính đường tròn;

+ α là số đo bằng rad của cung tròn;

+ l là độ dài cung tròn.

• Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo a° có độ dài l = $\frac{\mathrm{\pi Ra}}{180}$,

trong đó: + R là bán kính đường tròn;

+ a là số đo bằng độ của cung tròn;

+ l là độ dài cung tròn.

b) Công thức tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn)

Độ dài (C) của một đườn tròn bán kính R được tính theo công thức:

$C=2\pi R$ hoặc $C=\pi d$ (với d = 2R)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

100 câu trắc nghiệm Cung và góc lượng giác nâng cao

Trắc nghiệm Cung và góc lượng giác cơ bản

Đáp án đúng: C

* Lời giải:

+ Xét tam giác có:

$$\begin{gathered} B{C}^2 = 5^2 = 25; A{B}^2 + A{C}^2 = 4^2 + 3^2 = 25 \\ \Rightarrow B{C}^2 = A{B}^2 + A{C}^2 \end{gathered}$$

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại A (Định lý Pytago đảo)

⇒ $AB \perp AC mà A \in$(C; CA) nên AB là tiếp tuyến của (C; CA)

*Phương pháp giải:

 - Nắm vững lại tính chất về số đo cung tròn 

* Các dạng bài tập và lý thuyết thêm về độ dài cung tròn:

a) Cho đường tròn (O; R) như hình sau:

• Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo α rad có độ dài l = Rα,

trong đó: + R là bán kính đường tròn;

+ α là số đo bằng rad của cung tròn;

+ l là độ dài cung tròn.

• Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo a° có độ dài l = $\frac{\mathrm{\pi Ra}}{180}$,

trong đó: + R là bán kính đường tròn;

+ a là số đo bằng độ của cung tròn;

+ l là độ dài cung tròn.

b) Công thức tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn)

Độ dài (C) của một đườn tròn bán kính R được tính theo công thức:

$C=2\pi R$ hoặc $C=\pi d$ (với d = 2R)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

100 câu trắc nghiệm Cung và góc lượng giác nâng cao

Trắc nghiệm Cung và góc lượng giác cơ bản

* Lời giải:

Ta có: ${10}^x:5^y={20}^y\Rightarrow {10}^x={20}^y{.5}^y\Rightarrow {10}^x={100}^y\Rightarrow {10}^x={10}^{2y}\Rightarrow x=2y.$

* Phương pháp giải:

Khi giải bài toán này, ta có thể sử dụng tính chất sau đây:

Với a ≠ 0, a ≠ 1, nếu a^m = aⁿ  thì m = n.

* Lý thuyết nắm thêm

Lũy thừa với số mũ tự nhiên:

Lũy thừa bậc n của một số hữa tỉ x, kí hiệu xn, là tích của n thừa số x (n là một số tự nhiên lớn hơn 1):

 $\left(x\in Z,n\in N,n>1\right)$

Nếu $x=\frac{a}{b}( a,b\in N,b\ne 0)$ thì $x^n={\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$

Quy ước: x1 = x; x0 = 1 (x ≠ 0).

Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số:

$x^m.x^n=x^{m+n}(x\in Z;m,n\in N)$ (Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ).

$x^m:x^n=x^{m-n}(x\ne 0,m>n)$(Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi số mũ của lũy thừa chia).

Lũy thừa của một tích:

${\left(x.y\right)}^n=x^n.y^n$(Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa)

Lũy thừa của một thương:

${\left(\frac{x}{y}\right)}^n=\frac{x^n}{y^n}$(y ≠ 0) (Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa).

Lũy thừa của lũy thừa:

${\left(x^m\right)}^n=x^{m.n}$(Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ)

Dạng 1: Sử dụng định nghĩa của lũy thừa với số mũ tự nhiên.

1. Phương pháp giải:

Nắm vững định nghĩa:

  $(x\in Z,n\in N,n>1)$

Quy ước: x¹ = x; x⁰ = 1 (x ≠ 0)

Dạng 2: Tính tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số.

1. Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức tính tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số.

$x^m.x^n=x^{m+n}( x\in Z;m,n\in N)$

$x^m:x^n=x^{m-n}(x\ne 0, m⩾n)$

Dạng 3: Tính lũy thừa của một lũy thừa:

1. Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức tính lũy thừa của một lũy thừa: (x^m)ⁿ  = x^m.n.

Chú ý:

- Trong nhiều trường hợp ta phải sử dụng công thức này theo chiều từ phải sang trái: x^m.n  = (x^m)ⁿ  = (xⁿ)^m.

- Tránh sai lầm do lẫn lộn hai công thức: x^m.xⁿ = x^m+n và (x^m)ⁿ  = x^m.n

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Các dạng toán về Lũy thừa của số hữu tỉ và cách giải – Toán lớp 7

Toán 7 Bài 3 (Cánh diều): Phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ 

*Lời giải

Ta có  .Nên AC = CB = 1

Gọi I là trung điểm BC suy ra 

Khi đó 

*Phương pháp giải 

- Áp dụng quy tắc trung điểm của đoạn thẳng để tìm ra độ dài cạnh AI

- Tính tổng độ dài 2 vectơ cần tính

*Một số lý thuyết nắm thêm tích vô hướng của một số với vectơ:

Ta quy ước k $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{0}$ nếu $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{0}$ hoặc k = 0.

Nhận xét: Vectơ k $\overrightarrow{a}$ có độ dài bằng |k||$\overrightarrow{a}$| và cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ nếu k ≥ 0, ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ nếu $\overrightarrow{a}$ ≠ $\overrightarrow{0}$ và k < 0.

Các tính chất của phép nhân vectơ với một số:

Với hai vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ và hai số thực k, t, ta luôn có :

+) k(t$\overrightarrow{a}$) = (kt) $\overrightarrow{a}$;

+) k ($\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$) = k$\overrightarrow{a}$ + k$\overrightarrow{b}$; k ($\overrightarrow{a}$ – $\overrightarrow{b}$) = k$\overrightarrow{a}$ – k$\overrightarrow{b}$;

+) (k + t) $\overrightarrow{a}$ = k$\overrightarrow{a}$ + t$\overrightarrow{a}$;

+) 1$\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{a}$; (–1) $\overrightarrow{a}$ = –$\overrightarrow{a}$.

Nhận xét:

Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$.

Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết: 

Công thức phân tích vectơ (2024) chi tiết nhất

Trắc nghiệm Tổng và hiệu của hai vectơ có đáp án (Thông hiểu)

Đáp án đúng: A

* Lời giải:

TXD: R

Ta có y’ = 4x3 – 4x => y’ = 0

Ta có bảng xét dấu của đạo hàm

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1)

* Phương pháp giải:

Tìm tập xác định (TXĐ)

Tính đạo hàm y'

Tìm nghiệm của phương trình y' = 0

Lập bảng xét dấu đạo hàm

Xác định khoảng nghịch biến

* Các dạng bài tập thường gặp sự đồng biến/nghịch biến của hàm mũ:

* Phương pháp chung:

Bước 1: Tìm tập xác định D.

Bước 2: Tính đạo hàm y' = f'(x).

Bước 3: Tìm nghiệm của f'(x) hoặc những giá trị x làm cho f'(x) không xác định.

Bước 4: Lập bảng biến thiên.

Bước 5: Kết luận.

- Dựa vào tính đơn điệu của hàm số mũ:

Cho hàm số y = a^x, (a > 0; a ≠ 1). Khi đó:

Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến trên R

Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến trên R

* Dạng bài toán:

 Dạng 1: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R.

* Phương pháp làm bài:

– Bước 1: Tính f′(x).

– Bước 2: Nêu các điều kiện của bài toán:

+ Hàm số y=f(x) đồng biến trên R⇔y′=f′(x)⩾0,với ∀x∈R và y′=0 tại một hữu hạn điểm.

+ Hàm số y=f(x) nghịch biến trên R⇔y′=f′(x)⩽0,với ∀x∈R và y′=0 tại một hữu hạn điểm.

– Bước 3: Từ các điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai để tìm m. 

 Dạng 2: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D đã cho trước.

* Phương pháp làm bài:

– Bước 1: Nêu các điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:

+ Hàm số y=f(x) đồng biến trên D⇔y′=f′(x)⩾0, với ∀x∈D.

+ Hàm số y=f(x) nghịch biến trên D⇔y′=f′(x)⩽0,với ∀x∈D.

– Bước 2: Từ điều kiện trên hãy sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm m.

- Bước 3: Kết luận

c) Dạng 4: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

– Bước 1: Tính y′

– Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến và nghịch biến:

– Bước 3: Đưa ra kết luận.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (có đáp án)

Bài tập Sự đồng biến nghịch biến của hàm số Toán 12 mới nhất

Trắc nghiệm Hàm lũy thừa (có đáp án)

Đáp án đúng: A

* Lời giải:

d’ = df/(d – f) = 100.20/(100 – 20) = 25 cm.

k = -d’/d = - 1/4. k < 0

nên ảnh ngược chiều và bằng 1/4 vật

* Phương pháp giải:

Tìm vị trí ảnh (d')

Tìm độ phóng đại ảnh (k)

Xác định tính chất ảnh

* Lý thuyết nắm thêm:

Thấu kính hội tụ. Ảnh của một vật tạo bởi thấu kính hội tụ

a. Đặc điểm của thấu kính hội tụ

- Thấu kính hội tụ được làm bằng vật liệu trong suốt, được giới hạn bởi hai mặt cầu (một trong hai mặt có thể là mặt phẳng). Phần rìa ngoài mỏng hơn phần chính giữa.

- Mỗi thấu kính đều có trục chính, quang tâm, tiêu điểm, tiêu cự.

Trên hình vẽ ta quy ước gọi:

+ Δ là trục chính của thấu kính

+ O là quang tâm của thấu kính

+ F và F’ là tiêu điểm của thấu kính

+ Khoảng cách OF = OF’ = f gọi là tiêu cự của thấu kính.

b. Đường truyền của một số tia sáng đặc biệt qua thấu kính hội tụ

+ (1) Tia tới đến quang tâm thì cho tia ló tiếp tục truyền thẳng theo phương của tia tới.

+ (2) Tia tới song song với trục chính thì cho tia ló đi qua tiêu điểm.

+ (3) Tia tới qua tiêu điểm cho tia ló song song với trục chính.

c. Đặc điểm của ảnh của một vật tạo bởi thấu kính hội tụ

d. Cách dựng ảnh

- Dựng ảnh của điểm sáng S tạo bởi thấu kính hội tụ:

+ Từ S ta dựng hai tia (trong ba tia đặc biệt) đến thấu kính, sau đó vẽ hai tia ló ra khỏi thấu kính.

+ Nếu hai tia ló cắt nhau thực sự thì giao điểm cắt nhau đó chính là ảnh thật S’ của S, nếu hai tia ló không cắt nhau thực sự mà có đường kéo dài của chúng cắt nhau, thì giao điểm cắt nhau đó chính là ảnh ảo S’ của S qua thấu kính.

- Dựng ảnh của một vật sáng AB tạo bởi thấu kính hội tụ:

Muốn dựng ảnh A’B’ của AB qua thấu kính (AB vuông góc với thấu kính, A nằm trên trục chính) ta làm như sau:

+ Dựng ảnh B’ của B bằng hai trong ba tia sáng đặc biệt.

+ Từ B’ hạ vuông góc xuống trục chính ta có ảnh A’ của A.

e. Công thức thấu kính hội tụ

- Tỉ lệ chiều cao vật và ảnh: $\frac{h}{h\text{'}}=\frac{d}{d\text{'}}$

- Quan hệ giữa d, d’ và f:

+ Ảnh thật: $\frac{1}{f}=\frac{1}{d}+\frac{1}{d\text{'}}$

+ Ảnh ảo: $\frac{1}{f}=\frac{1}{d}-\frac{1}{d\text{'}}$

Trong đó:

+ h: chiều cao của vật

+ h’: chiều cao của ảnh

+ d: khoảng cách từ vật đến thấu kính

+ d’: khoảng cách từ ảnh đến thấu kính

+ f: tiêu cự của thấu kính

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Tổng kết chương 3 Quang học (mới 2024 + Bài Tập) - Vật lí 9

Các dạng bài tập Quang học

* Lời giải:

(x + y + z)² – 2.(x + y + z).(x + y) + (x + y)²

= [(x + y + z) – (x + y)]² (Áp dụng HĐT (2) với A = x + y + z ; B = x + y)

= z²

* Phương pháp giải:

Nhận diện hằng đẳng thức

Áp dụng hằng đẳng thức

Rút gọn biểu thức

* Lý thuyết nắm thêm:

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

Các dạng bài

 Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

Dạng 2: Các bài toán liên quan

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng để làm một số bài toán tính nhanh, tính giá trị biểu thức, tìm x,…

Dạng 3: Chứng minh các bài toán số nguyên:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các biểu thức đã cho một cách hợp lí thành các tích và sử dụng tính chất chia hết của số nguyên.

Phương pháp dùng hằng đẳng thức

- Ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ một vế là một đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc lũy thừa của một đơn thức đơn giản hơn.

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a. Phương pháp giải:

Chuyển các đa thức đã cho về đúng dạng của hẳng đẳng thức cần sử dụng và phân tích thành nhân tử.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8 

Đáp án đúng: D

* Lời giải:

Cứ hai đường thẳng phân biệt cắt nhau tối đa tại 1 điểm nên số giao điểm tối đa của n đường thẳng phân biệt là   

Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt là

*Phương pháp giải:

Tính số giao điểm tối đa

Áp dụng công thức

Tính số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng

* Lý thuyết cần nắm về tổ hợp - xác suất:

1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện.

2. Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

3. Hoán vị:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử.

- Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n(n-1)...2.1 = n!

4. Chỉnh hợp:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

- Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

5. Tổ hợp:

Giả sử A có n phần tử (n ≥ 1).

- Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. (1 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n phần tử là:

6. Công thức nhị thức Niu-tơn:

    (a + b)n = Cn0an + Cn1an - 1b + … + Cnkan - kbk + … + Cnn-1abn-1 + Cnnbn

7. Phép toán trên các biến cố:

- Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử.

Khi đó, tập Ω\A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A−.

- Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử:

    + Tập A ⋃ B được gọi là hợp của các biến cố A và B.

    + Tập A ⋂ B được gọi là giao của các biến cố A và B.

    + Nếu A ⋂ B = ∅ thì ta nói A và B xung khắc.

8. Xác suất của biến cố:

Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó, xác suất của biến cố A là: 

trong đó: n(A) là số phần tử của A; còn n(Ω) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

9. Tính chất của xác suất:

Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.

P(∅) = 0, P(Ω) = 1

0 ≤ P(A) ≤ 1, với mọi biến cố A.

Nếu A và B xung khắc, thì P(AB) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất)

Với mọi biến cố A, ta có: P(A−) = 1 – P(A).

A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết Tổ hợp - xác suất hay, chi tiết 

Giải Toán 11 Chương 2: Tổ hợp – xác suất 

Các dạng bài tập Tổ hợp - Xác suất 

Đáp án đúng: A

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Tính đạo hàm y'

Điều kiện hàm số nghịch biến trên R

Áp dụng điều kiện cho tam thức bậc hai

Giải hệ bất phương trình

Giải bất phương trình m² + 12m + 27 ≤ 0

Kết hợp điều kiện

* Các dạng bài tập thường gặp sự đồng biến/nghịch biến của hàm mũ:

* Phương pháp chung:

Bước 1: Tìm tập xác định D.

Bước 2: Tính đạo hàm y' = f'(x).

Bước 3: Tìm nghiệm của f'(x) hoặc những giá trị x làm cho f'(x) không xác định.

Bước 4: Lập bảng biến thiên.

Bước 5: Kết luận.

- Dựa vào tính đơn điệu của hàm số mũ:

Cho hàm số y = a^x, (a > 0; a ≠ 1). Khi đó:

Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến trên R

Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến trên R

* Dạng bài toán:

 Dạng 1: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R.

* Phương pháp làm bài:

– Bước 1: Tính f′(x).

– Bước 2: Nêu các điều kiện của bài toán:

+ Hàm số y=f(x) đồng biến trên R⇔y′=f′(x)⩾0,với ∀x∈R và y′=0 tại một hữu hạn điểm.

+ Hàm số y=f(x) nghịch biến trên R⇔y′=f′(x)⩽0,với ∀x∈R và y′=0 tại một hữu hạn điểm.

– Bước 3: Từ các điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai để tìm m. 

 Dạng 2: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D đã cho trước.

* Phương pháp làm bài:

– Bước 1: Nêu các điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:

+ Hàm số y=f(x) đồng biến trên D⇔y′=f′(x)⩾0, với ∀x∈D.

+ Hàm số y=f(x) nghịch biến trên D⇔y′=f′(x)⩽0,với ∀x∈D.

– Bước 2: Từ điều kiện trên hãy sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm m.

- Bước 3: Kết luận

c) Dạng 4: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

– Bước 1: Tính y′

– Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến và nghịch biến:

– Bước 3: Đưa ra kết luận.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (có đáp án)

Bài tập Sự đồng biến nghịch biến của hàm số Toán 12 mới nhất

Trắc nghiệm Hàm lũy thừa (có đáp án)

* Lời giải:

$$\begin{gathered} \sin x=\frac{1}{3} \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=arc\sin \frac{1}{3}+k2\mathrm{\pi }\\ x=\mathrm{\pi }-\arcsin \frac{1}{3}+\mathrm{k}2\mathrm{\pi }\end{array}, k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right. \end{gathered}$$

* Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cung lượng giác cơ bản

* Lý thuyết nắm thêm:

Công thức nhân đôi:

Công thức hạ bậc:

Phương trình lượng giác cơ bản:

Phương trình lượng giác đặc biệt:

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Góc và cung lượng giác và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất 

Giải Toán 10 Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác

Trắc nghiệm Cung và góc lượng giác (có đáp án) 

* Lời giải:

May 1 bộ quần áo hết: 70 : 25 = 2,8 (m)

May 6 bộ quần áo hết: 2,8 x 6 = 16,8 (m)

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên 

* Lời giải:

Số học sinh chỉ đăng kí bóng đá:

$20-5=15$ (học sinh)

Số học sinh chỉ đăng kí cầu lông:

$15-5=10$ (học sinh)

Số học sinh có đăng ký ít nhất $1$ trong $2$ môn:

$15+10+5=30$ (học sinh)

Số học sinh không đăng kí môn nào:

$44-30=14$ (học sinh)

Vậy có $14$ học sinh không đăng kí môn nào

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính cơ bản để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên 

* Lời giải:

sin3x + sin5x = 0

⇔ 2sin4x. cosx = 0

Vậy nghiệm của phương trình là:

* Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cung lượng giác cơ bản

* Lý thuyết nắm thêm:

Công thức nhân đôi:

Công thức hạ bậc:

Phương trình lượng giác cơ bản:

Phương trình lượng giác đặc biệt:

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Góc và cung lượng giác và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất 

Giải Toán 10 Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác

Trắc nghiệm Cung và góc lượng giác (có đáp án) 

Đáp án đúng: C

* Lời giải:

Phủ định của mệnh đề “ Số 6 chia hết cho 2 và 3” là mệnh đề: “Không phải số 6 chia hết cho cả 2 và 3”, nghĩa là số 6 chỉ chia hết cho một trong hai số 2 và 3 hoặc cũng có thể không chia hết cho số nào

Ta gọi chung là “Số 6 không chia hết cho 2 hoặc 3”

* Phương pháp giải:

Nắm kỹ lý thuyết mệnh đề

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Mệnh đề, mệnh đề chứa biến

1.1. Mệnh đề

- Những khẳng định có tính đúng hoặc sai gọi là mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề). Những câu không xác định được tính đúng sai không phải là mệnh đề.

- Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

Ví dụ 1:

Câu “Hoa hồng rất đẹp nhất trong các loài hoa” là câu khẳng định nhưng không xác định được tính đúng sai nên câu này không là mệnh đề.

Câu “Bây giờ là mấy giờ?” là một câu hỏi không xác định được tính đúng sai nên câu này không là mệnh đề.

Câu “8 + 1 > 9” là một câu khẳng định có thể xác định được tính đúng sai nên câu này là mệnh đề.

Câu “Số 1 tỉ là số rất lớn” là một câu khẳng định tuy nhiên câu này mang tính quan điểm cá nhân không xác định đước tính đúng sai nên không là mệnh đề.

Chú ý:

- Người ta thường sử dụng các chữ cái P, Q, R, … để biểu thị các mệnh đề.

- Những mệnh đề liên quan đến toán học được gọi là mệnh đề toán học.

- Những câu nghi vấn, câu cảm thán, câu cầu khiến không phải là mệnh đề.

Ví dụ 2:

+ “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là một mệnh đề nhưng không phải mệnh đề toán học vì không phải sự kiện trong toán học.

+ “Số π là một số hữu tỉ” là mệnh đề toán học.

1.2. Mệnh đề chứa biến

- Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập D nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc vào D ta được một mệnh đề.

- Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n là P(n); mệnh đề chứa biến x, y là P(x, y), ….

Ví dụ:

+ “Với mọi giá trị thực của biến x, |x| ≥ x”: không phải là mệnh đề chứa biến vì:

Ta có |x| ≥ x với mọi giá trị thực của biến x nên đây là khẳng định đúng. Do đó phát biểu này là một mệnh đề không phải mệnh đề chứa biến.

+ “5n chia hết cho 2” là mệnh đề chứa biến.

Khi n = 4 thì mệnh đề này là mệnh đề đúng, khi n = 5 thì mệnh đề này là mệnh đề sai.

2. Mệnh đề phủ định

- Để phủ định một mệnh đề P, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ “không” hoặc “không phải” vào trước vị ngữ của mệnh đề P. Ta kí hiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề P là $\overline{P}$.

- Mệnh đề P và mệnh đề $\overline{P}$ là hai phát biểu trái ngược nhau. Nếu P đúng thì $\overline{P}$ sai, còn nếu P sai thì $\overline{P}$ đúng.

Ví dụ: “5 không chia hết cho 3” là mệnh đề phủ định của mệnh đề “5 chia hết cho 3”;

“3 là hợp số” là mệnh đề phủ định của mệnh đề “3 không là hợp số”.

3. Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo

3.1. Mệnh đề kéo theo

- Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P ⇒ Q.

- Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng P ⇒ Q. Khi đó ta nói:

P là giả thiết của định lí, Q là kết luận của định lí hoặc

“P là điều kiện đủ để có Q”, hoặc “Q là điều kiện cần để có P”.

Chú ý: Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai. Do đó ta chỉ cần xét tính đúng sai của mệnh đề P ⇒ Q khi P đúng. Khi đó, nếu Q đúng thì P ⇒ Q đúng, nếu Q sai thì P ⇒ Q sai.

Ví dụ: Cho 2 mệnh đề: P: “9 chia hết cho 9”; Q: “9 chia hết cho 3”.

“Nếu 9 chia hết cho 9 thì 9 chia hết cho 3” là mệnh đề kéo theo của P và Q.

P là mệnh đề đúng và Q là mệnh đề đúng nên mệnh đề kéo theo P ⇒ Q là mệnh đề đúng.

3.2. Mệnh đề đảo

- Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q.

Nhận xét: Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.

Ví dụ: Cho 2 mệnh đề: P: “n = 0”; Q: “n là số nguyên”.

Mệnh đề kéo theo P ⇒ Q được phát biểu là: “Nếu n = 0 thì n là số nguyên”.

Mệnh đề đảo Q ⇒ P được phát biểu là “Nếu n là số nguyên thì n = 0”.

- Mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề đúng còn mệnh đề Q ⇒ P không đúng.

4. Mệnh đề tương đương

- Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là một mệnh đề tương đương và kí hiệu P ⇔ Q .

Nhận xét:

- Nếu cả hai mệnh đề Q ⇒ P và P ⇒ Q đều đúng thì hai mệnh đề tương đương P ⇔ Q đúng. Khi đó ta nói “P tương đương với Q” hoặc “P là điều kiện cần và đủ để có Q” hoặc “P khi và chỉ khi Q”.

Ví dụ: Cho 2 mệnh đề: P: “Tứ giác ABCD là hình bình hành”; Q: “Tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song”.

“Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song” là mệnh đề P ⇒ Q.

“Nếu tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song thì tứ giác ABCD là hình bình hành” là mệnh đề Q ⇒ P.

Hai mệnh đề này đều đúng nên P và Q là hai mệnh đề tương đương.

Khi đó mệnh đề P ⇔ Q được phát biểu như sau: “Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song”.

5. Mệnh đề có chứa kí hiệu ∀ và ∃

- Kí hiệu ∀ đọc là “với mọi”.

- Kí hiệu ∃ đọc là “có một” hoặc “tồn tại”.

- Cho mệnh đề “$P\left(x\right),x\in D$”.

+ Phủ định của mệnh đề “$\forall x\in D,P\left(x\right)$” là mệnh đề “$\exists x\in D,\overline{P\left(x\right)}$”.

+ Phủ định của mệnh đề “$\exists x\in D,P\left(x\right)$” là mệnh đề “$\forall x\in D,\overline{P\left(x\right)}$”.

Chú ý: 

+ Phát biểu “Với mọi số tự nhiên n” có thể kí hiệu là $\forall n\in \mathbb{N}$.

+ Phát biểu “Tồn tại số tự nhiên n” có thể kí hiệu là $\exists n\in \mathbb{N}$.

Ví dụ:

Phủ định của mệnh đề “$\exists x\in ℝ,x^2+1=0$” là mệnh đề: “$\forall x\in ℝ,x^2+1\ne 0$”.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Mệnh đề - Toán 10 Kết nối tri thức

Trắc nghiệm Mệnh đề có đáp án – Toán lớp 10

* Lời giải:

100 + 7 + $\frac{8}{100}$ = 107,08

* Phương pháp giải:

Sử dụng các phép tính phân số

* Lý thuyết nắm thêm:

- Các phép toán liên quan đến phân số đó là các phép toán: Cộng, trừ, nhân, chia, phân số.

Dạng 1: Phép cộng phân số

1. Phương pháp giải

Phép cộng phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Cộng phân số cùng mẫu số: Ta cộng tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Cộng phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi cộng các phân số đó lại với nhau.

Dạng 2: Phép trừ phân số

1. Phương pháp giải

Phép trừ phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Trừ phân số cùng mẫu số: Ta trừ tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Trừ phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi trừ các phân số đó lại với nhau.

Dạng 3: Phép nhân phân số

1. Phương pháp giải

-Muốn nhân các phân số với nhau, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

Dạng 4: Phép chia phân số

1. Phương pháp giải

- Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

- Phân số đảo ngược là phân số đảo ngược tử số thành mẫu số, mẫu số thành tử số.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập Các phép toán với phân số lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải 

* Lời giải:

6,85 + x = 10,29

x = 10,29 – 6,85

x = 3,44

* Phương pháp giải:

Sử dụng công thức chuyển vế đổi dấu để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên 

* Lời giải:

2,8m: 1 bộ

429,5m: ....bộ? (thừa:...m?)

429,5 m vải may được nhiều nhất:

429,5 : 2,8 = 153 (bộ quần áo) dư 1,1m vải

Vậy cửa hàng may được 153 bộ quần áo và còn thừa 1,1 mét vải

* Phương pháp giải:

Sử dụng phép chia để tính

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.