Giải phương trình sau: $\frac{1+\sin 2x+\cos 2x}{1+{\cot }^{2}x}=\sqrt{2}\sin x.\sin 2x$

Đáp án đúng: C

* Lời giải:

$\mathrm{s}\text{inx}\ne 0\iff x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Xét phương trình: $\frac{1+\sin 2x+\cos 2x}{1+{\cot }^{2}x}=\sqrt{2}\mathrm{s}\text{inx}.\sin 2x$

$\iff {\sin }^{2}x\left(1+\sin 2x+\cos 2x\right)=2\sqrt{2}\mathrm{s}{\text{in}}^2\text{x}.c\text{os}x$

$\iff 1+\sin 2x+\cos 2x=2\sqrt{2}c\text{os}x$

$\iff 1+\sin 2x+\cos 2x=2\sqrt{2}c\text{os}x$ (do $\text{sinx}\ne 0$)

$\iff 1+2\sin x.cosx+2{\cos }^{2}x-1-2\sqrt{2}c\text{os}x=0$

$\iff 2\sin x.cosx+2{\cos }^{2}x-2\sqrt{2}c\text{os}x=0$

$\iff c\text{os}x\left(2\sin x+2\cos x-2\sqrt{2}\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}c\text{os}x=0\\ 2\sin x+2\cos x-2\sqrt{2}=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}c\text{os}x=0\\ \sin x+\cos x=\sqrt{2}\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}c\text{os}x=0\\ \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

Vậy nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

* Phương pháp giải:

- Vận dụng các kiến thức và cách giải của các phương trình lượng giác cơ bản để giải tìm ra nghiệm

* Lý thuyết cần nắm và một số phương trình lượng giác thường gặp: 

a) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

* Phương pháp giải: 

Chuyển vế rồi chia hai vế của phương trình dạng at+b=0 (1) cho a, ta đưa phương trình (1) về phương trình lượng giác cơ bản.

b) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

* Phương pháp giải: 

Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

1. Hàm số y = sinx.

Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = sinx :

+ Xác định với mọi x$\in \mathrm{ℝ}$ và – 1 ≤ sinx ≤ 1.

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

Sau đây, ta sẽ khảo sát sự biến thiên của hàm số y = sinx.

a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0; π].

Hàm số y = sinx đồng biến trên $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ và nghịch biến trên $\left[\frac{\pi }{2};\pi \right]$.

Bảng biến thiên:

Đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0; π] đi qua các điểm (0; 0); (x1; sinx1); (x2; sinx2); (x3; sinx3); (x4; sinx4); (π; 0).

c) Tập giá trị của hàm số y = sinx

Tập giá trị của hàm số này là [– 1; 1].

2. Hàm số y = cosx.

Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = cosx:

+ Xác định với mọi x$\in \mathrm{ℝ}$  và – 1 ≤  cosx  ≤  1.

+ Là hàm số chẵn.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

Với mọi x$\in \mathrm{ℝ}$ ta có: $\sin \left(x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\pi }{2}\right)=c\text{os x}$.

Từ đó, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx theo vecto $\overrightarrow{u}=\left(\frac{-\pi }{2};0\right)$ (sang trái một đoạn có độ dài bằng $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$, song song với trục hoành), ta được đồ thị hàm số  y = cos x.

+ Hàm số y = cos x đồng biến trên đoạn [– π; 0] và nghịch biến trên đoạn [0; π].

+ Bảng biến thiên:

+ Tập giá trị của hàm số y = cosx là [– 1; 1].

+ Đồ thị của các hàm số y = cosx; y = sinx được gọi chung là các đường hình sin.

3. Hàm số y = tanx.

Từ định nghĩa hàm số y = tan x:

+ Có tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$.

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì π.

Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng $\left[0;\frac{\pi }{2}\right)$

+ Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng $\left[0;\frac{\pi }{2}\right)$.

+ Bảng biến thiên:

+ Bảng giá trị:

 

Đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng $\left[0;\frac{\pi }{2}\right)$ đi qua các điểm tìm được.

4. Hàm số y = cot x

Hàm số y = cotx: 

+ Có tập xác định là $D=ℝ\backslash \left\{k\pi ;k\in \mathbb{Z}\right\}$.

+ Là hàm số lẻ.

+ Là hàm số tuần hoàn với chu kì π.

Sự biến thiên của hàm số y = cotx trên khoảng (0; π).

Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoàn (0; π).

Bảng biến thiên:

Hình biểu diễn của hàm số y = cotx trên khoảng (0; π).

 

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Chuyên đề Phương trình lượng giác cơ bản - Toán 11 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án) – Toán 11

Trắc nghiệm Một số phương trình lượng giác thường gặp (có đáp án)