Toán 8 Bài 33 (Kết nối tri thức): Hai tam giác đồng dạng

Giải Toán 8 Bài 33: Hai tam giác đồng dạng

Giải Toán 8 trang 78 Tập 2

Mở đầu trang 78 Toán 8 Tập 2: Có một chiếc bóng điện được mắc trên đỉnh (Điểm A) của cột đèn thẳng đứng. Để tính chiều cao AB của cột đèn, bác Dương cắm một chiếc cọc gỗ (đoạn CD) thẳng đứng trên mặt đất rồi đo chiều dài bóng của cọc gỗ do ánh đèn điện tạo ra và đo khoảng cách từ điểm E đến chân cột đèn (điểm B) (H.9.1). Theo em bác Dương đã tính như thế nào để ra được chiều cao cột đèn?

Lời giải:

Quan sát thấy CD và AB song song với nhau.

Sử dụng định lí Thalès, ta nhận xét về hai tỉ lệ $\frac{ED}{EA}$ và $\frac{EC}{EB}$ .

Từ đó tìm ra tỉ số giữa các cạnh để tính chiều cao cột đèn.

1. Định nghĩa

Giải Toán 8 trang 79 Tập 2

HĐ1 trang 79 Toán 8 Tập 2: Trong hình 9.2, ΔABC và ΔDEF là hai tam giác có các cạnh tương ứng song song và các góc tương ứng bằng nhau, tức là AB // DE, AC // DF, BC // EF và $\widehat{A}=\widehat{D},\widehat{B}=\widehat{E},\widehat{C}=\widehat{F}$. Nhìn hình vẽ, hãy cho biết giá trị của các tỉ số sau: $\frac{AB}{DE};\frac{BC}{EF};\frac{AC}{DF}$ .

.

Lời giải:

Ta thấy $\frac{AB}{DE}=2;\frac{BC}{E\text{}F}=2;\frac{AC}{DF}=2$.

Giải Toán 8 trang 80 Tập 2

Luyện tập 1 trang 80 Toán 8 Tập 2: Trong các tam giác được vẽ trên ô lưới vuông (H.9.3), có một cặp tam giác đồng dạng. Hãy chỉ ra cặp tam giác đó, viết đúng kí hiệu đồng dạng và tìm tỉ số đồng dạng của chúng.

Lời giải:

Ta có ∆ABC ∽ ∆DEF với tỉ số đồng dạng $\frac{BC}{EF}=\frac{12}{6}=2$.

Nhìn hình vẽ ta thấy tam giác GHK vuông tại G nên không thể đồng dạng với hai tam giác còn lại.

Định lí

Thử thách nhỏ trang 80 Toán 8 Tập 2: Cho ΔABC ∽ ΔMNP. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC cân tại A thì tam giác MNP cân tại đỉnh M.

b) Nếu tam giác ABC đều thì tam giác MNP đều.

c) Nếu AB ≥ AC ≥ BC thì MN ≥ MP ≥ NP.

Lời giải:

a) Tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}$. (1)

Vì ∆ABC ∽ ∆MNP nên $\widehat{A}=\widehat{M}$; $\widehat{B}=\widehat{N};\widehat{C}=\widehat{P}$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{N}=\widehat{P}$ suy ra tam giác MNP cân tại M.

b) Vì tam giác ABC đều nên $\widehat{A}=\widehat{C}=\widehat{B}=60°$. (3)

Từ (1) và (3) suy ra $\widehat{M}=\widehat{N}=\widehat{P}=60°$ nên tam giác MNP là tam giác đều.

c) Vì tam giác ABC có AB ≥ AC ≥ BC suy ra $\widehat{C}\ge \widehat{B}\ge \widehat{A}$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác). (4)

Từ (2) và (4) suy ra $\widehat{P}\ge \widehat{N}\ge \widehat{M}$ nên MN ≥ MP ≥ NP.

HĐ2 trang 80 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC và các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC sao cho MN song song với BC như Hình 9.4.

- Hãy viết các cặp góc bằng nhau của hai tam giác ABC và AMN, giải thích vì sao chúng bằng nhau.

- Kẻ đường thẳng đi qua N song song với AB và cắt BC tại P. Hãy chứng tỏ MN = BP và suy ra $\frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}$.

- Tam giác ABC và tam giác AMN có đồng dạng không? Nếu có hãy viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Lời giải:

- Các cặp góc bằng nhau của hai tam giác ABC và AMN:

$\widehat{B}=\widehat{AMN};\widehat{C}=\widehat{ANM}$ (do MN // BC và các cặp góc này ở vị trí đồng vị);

$\widehat{A}$ chung.

- Có MN // BP (vì MN // BC), MB // NP (vì AB // NP) nên MNPB là hình bình hành.

Suy ra MN = BP. Suy ra $\frac{MN}{BC}=\frac{BP}{BC}=\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}$ (Sử dụng định lí Thalès).

- Có $\widehat{B}=\widehat{AMN};\widehat{C}=\widehat{ANM}$; $\widehat{A}$ chung và $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$, suy ra ∆ABC ∽ ∆AMN.

Giải Toán 8 trang 82 Tập 2

Luyện tập 2 trang 82 Toán 8 Tập 2: Trong Hình 9.8, các đường thẳng AB, CD, EF song song với nhau. Hãy liệt kê ba cặp tam giác (phân biệt) đồng dạng.

Lời giải:

- Vì C ∊ OA, D ∊ OB và CD //AB nên ∆OCD ∽ ∆OAB.

- Vì E ∊ OB, F ∊ OA (thuộc phần kéo dài) và EF // AB nên ∆OEF ∽ ∆OBA.

- Vì F ∊ OC, E ∊ OD (thuộc phần kéo dài) và EF // CD nên ∆OEF ∽ ∆ODC.

Vận dụng trang 82 Toán 8 Tập 2: Trở lại tình huống mở đầu, hãy giải thích bác Dương đã tính được chiều cao cột đèn như thế nào, biết cọc gỗ cao 1 m, EC = 80 cm và EB = 4 m.

Lời giải:

Có EB = 4 m = 400 cm, CD = 1 m = 100 cm.

Vì cọc gỗ và cột đèn đều thẳng đứng. Suy ra AB // DC. Do đó, ΔAEB ∽ ΔEDC.

Suy ra $\frac{DE}{AE}=\frac{CE}{BE}=\frac{DC}{AB}$ . Mà $\frac{CE}{BE}=\frac{80}{400}=\frac{1}{5}$ .

Vậy hai tam giác AEB và EDC đồng dạng với tỉ số $\frac{1}{5}$ .

Do đó,$\frac{DC}{AB}=\frac{100}{AB}=\frac{1}{5}$ . Suy ra AB = 500 cm = 5 m.

Vậy chiều cao cột đèn là 5 m.

Bài tập

Bài 9.1 trang 82 Toán 8 Tập 2: Cho ∆ABC ∽ ∆MNP, khẳng định nào sau đây không đúng?

a) ∆MNP ∽ ∆ABC.

b) ∆BCA ∽ ∆NPM.

c) ∆CAB ∽ ∆PMN.

d) ∆ACB ∽ ∆MNP.

Lời giải:

Từ giả thiết ta thấy ∆ABC và ∆MNP đồng dạng với các cặp đỉnh tương ứng là A tương ứng M, B tương ứng N, C tương ứng P. Do đó các khẳng định a), b), c) đúng và khẳng định d) không đúng (do nếu viết theo d thì đỉnh C tương ứng với đỉnh N, đỉnh B tương ứng với đỉnh P).

Bài 9.2 trang 82 Toán 8 Tập 2: Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau.

b) Hai tam giác bất kì đồng dạng với nhau.

c) Hai tam giác đều bất kì đồng dạng với nhau.

c) Hai tam giác vuông bất kì đồng dạng với nhau.

d) Hai tam giác đồng dạng thì bằng nhau.

Lời giải:

+ Khẳng định a là khẳng định đúng vì các tam giác bằng nhau thì các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng bằng nhau nên tỉ số giữa các cạnh tương ứng bằng nhau nên theo định nghĩa hai tam giác đồng dạng thì hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau.

+ Khẳng định c là khẳng định đúng vì tam giác đều thì có các góc bằng 60° và các cạnh bằng nhau nên ta suy ra các góc tương ứng của hai tam giác đều bất kì bằng nhau và tỉ số các cạnh tương ứng của hai tam giác đều bất kì bằng nhau.

+ Khẳng định b sai vì hai tam giác gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có ba cặp góc bằng nhau từng đôi một và ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

+ Khẳng định d sai vì hai tam giác vuông mới chỉ thỏa mãn một điều kiện để xét đồng dạng, cần thêm tỉ lệ cạnh tương ứng hoặc 1 góc tương ứng bằng nhau.

+ Khẳng định e sai vì hai tam giác đồng dạng chỉ có kích thước tỉ lệ với nhau, còn hai tam giác bằng nhau là có các góc, các cạnh tương ứng bằng nhau.

Bài 9.3 trang 82 Toán 8 Tập 2: Trong Hình 9.9, ABC là tam giác không cân; M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Hãy tìm trong hình năm tam giác khác nhau mà chúng đôi một đồng dạng với nhau. Giải thích vì sao chúng đồng dạng.

Lời giải:

- Do N, P lần lượt là trung điểm của CA, AB.

Suy ra PN là đường trung bình của tam giác ABC nên NP // BC (P ∈ AB, N ∈ AC).

Suy ra ΔABC ∽ ΔAPN.

- Do M, P lần lượt là trung điểm của BC, AB.

Suy ra MP là đường trung bình của tam giác ABC nên MP // AC (P ∈ AB, M ∈ BC)

Suy ra ΔABC ∽ ΔPBM.

- Do M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC.

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // AB (N ∈ AC, M ∈ BC).

Suy ra ΔABC ∽ ΔNMC.

- Ta có $\widehat{A}=\widehat{BPM}$ (do ΔABC ∽ ΔPBM); $\widehat{APN}=\widehat{B}$(do PN // BC); $\widehat{ANP}=\widehat{PMB}$ (do cùng bằng góc C);$\frac{AP}{PB}=\frac{AN}{PM}=\frac{PN}{BM}=1$ .

Do đó, ΔAPN ∽ ΔPBM.

- Tương tự ta cũng có ΔNMC ∽ ΔPBM.

- Ta có ΔAPN = ΔMNP (g – c – g) vì $\widehat{APN}=\widehat{MNP}$; $\widehat{ANP}=\widehat{MPN}$ (NP // BC và các cặp góc ở vị trí so le trong) và PN cạnh chung. Do đó ΔAPN ∽ ΔMNP.

Vậy ta có 5 tam giác APN, PBM, NMC, MNP, ABC đôi một đồng dạng với nhau.

Bài 9.4 trang 82 Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A và tam giác MNP cân tại đỉnh M. Biết rằng $\widehat{BAC}=\widehat{PMN},AB=2MN$. Chứng minh ∆MNP ∽∆ABC và tìm tỉ số đồng dạng.

Lời giải:

Vì tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ABC}=\frac{\widehat{ABC}+\widehat{ACB}}{2}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}$ . (1)

Tương tự, tam giác MNP cân tại M nên $\widehat{MNP}=\frac{180°-\widehat{PMN}}{2}$ . (2)

Vì $\widehat{BAC}=\widehat{PMN}$ nên từ (1) và (2) suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{MNP}$ .

Lấy B', C', lần lượt là trung điểm của AB, AC thì ta có B'C' // BC.

Do đó $\widehat{ABC}=\widehat{AB\text{'}C\text{'}};\widehat{ACB}=\widehat{AC\text{'}B\text{'}}$ (các cặp góc đồng vị).

Hai tam giác AB'C' và MNP có:

$\widehat{B\text{'}AC\text{'}}=\widehat{NMP}$ (theo giả thiết);

$AB\text{'}=\frac{AB}{2}=MN$ (theo giả thiết);

$\widehat{AB\text{'}C\text{'}}=\widehat{ABC}=\widehat{MNP}$\ (chứng minh trên).

Vậy ∆MNP = ∆AB'C' (g.c.g).

Mặt khác, ∆AB'C' ∽ ∆ABC (vì B'C' // BC).

Do đó, ∆MNP ∽ ∆ABC với tỉ số đồng dạng $k=\frac{MN}{AB}=\frac{AB\text{'}}{AB}=\frac{1}{2}$ .

Lý thuyết Hai tam giác đồng dạng

1. Định nghĩa

Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

$\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC};\widehat{A^{\prime }}=\hat{A},\widehat{B^{\prime }}=\hat{B},\widehat{C^{\prime }}=\hat{C}$

Kí hiệu: $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$ (viết theo thứ tự cặp đỉnh tương ứng).

Tỉ số $k=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}$ là tỉ số đồng dạng của $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với $\mathrm{\Delta }ABC$.

Nhận xét:

- $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$với tỉ số đồng dạng k thì $\mathrm{\Delta }ABC\backsim \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với tỉ số đồng dạng $\frac{1}{k}$. Ta nói hai tam giác A’B’C’ và ABC đồng dạng với nhau.

- Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau theo tỉ số đồng dạng k = 1. Mọi tam giác đồng dạng với chính nó.

- $\mathrm{\Delta }{A}^{″}{B}^{″}{C}^{″}\backsim \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với tỉ số đồng dạng k và $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$ với tỉ số đồng dạng m thì $\mathrm{\Delta }{A}^{″}{B}^{″}{C}^{″}\backsim \mathrm{\Delta }ABC$ với tỉ số đồng dạng k.m.

2. Định lí

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác là song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

$\mathrm{\Delta }ABC,MN//BC(M\in AB;N\in AC)\Rightarrow \mathrm{\Delta }AMN\backsim \mathrm{\Delta }ABC$

Chú ý. Định lí trên vẫn đúng nếu thay bằng đường thẳng cắt phần kéo dài của hai cạnh tam giác.

$ED//BC\Rightarrow \mathrm{\Delta }ADE\backsim \mathrm{\Delta }ABC$

Sơ đồ tư duy Hai tam giác đồng dạng

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 8 trang 76

Bài 34: Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Luyện tập chung (trang 91)

Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng

Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông