Toán 8 Bài 24 (Kết nối tri thức): Phép nhân và phép chia phân thức đại số

Với giải bài tập Toán lớp 8 Bài 24: Phép nhân và phép chia phân thức đại số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 8 Bài 24.

1 1,125 20/09/2024

Trang trước

Trang sau

Giải Toán 8 Bài 24: Phép nhân và phép chia phân thức đại số

Giải Toán 8 trang 20 Tập 2

Mở đầu trang 20 Toán 8 Tập 2:

Vuông: $\frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x} = ?$

Pi: Nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau nhé!

Tròn: Thế cách nhân hai phân thức cũng giống như cách nhân hai phân số nhỉ?

Lời giải:

Sau bài học này ta biết được, cách nhân hai phân thức cũng giống như cách nhân hai phân số, ta nhân các tử thức với nhau, nhân các mẫu thức với nhau.

Ta có: $\frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x} = \frac{2 x (x - 1)}{(x + 1) x} = \frac{2 (x - 1)}{x + 1} = \frac{2 x - 2}{x + 1}$ .

1. Nhân hai phân thức

HĐ1 trang 20 Toán 8 Tập 2: Làm theo hướng dẫn của anh Pi trong tình huống mở đầu để nhân hai phân thức $\frac{2 x}{x + 1}$ và $\frac{x - 1}{x}$ .

Lời giải:

Ta có: $\frac{2 x}{x + 1}$ . $\frac{x - 1}{x}$ $= \frac{2 x (x - 1)}{x (x + 1)} = \frac{2 (x - 1)}{x + 1} = \frac{2 x - 2}{x + 1}$ .

Luyện tập 1 trang 20 Toán 8 Tập 2: Làm tính nhân:

a) $\frac{x}{x + y} . \frac{2 x + 2 y}{3 x y}$ ;

b) $\frac{3 x}{4 x^{2} - 1} . \frac{- 2 x + 1}{2 x^{2}}$ .

Lời giải:

a) $\frac{x}{x + y} . \frac{2 x + 2 y}{3 x y}$ $= \frac{x (2 x + 2 y)}{3 x y (x + y)} = \frac{x .2 (x + y)}{3 x y (x + y)} = \frac{2}{3 y}$ .

b) $\frac{3 x}{4 x^{2} - 1} . \frac{- 2 x + 1}{2 x^{2}}$ $= \frac{3 x (- 2 x + 1)}{2 x^{2} (4 x^{2} - 1)}$

$= \frac{- 3 x (2 x - 1)}{2 x^{2} (2 x - 1) (2 x + 1)} = \frac{- 3}{2 x (2 x + 1)}$ .

2. Chia hai phân thức

Giải Toán 8 trang 21 Tập 2

Luyện tập 2 trang 21 Toán 8 Tập 2: Làm tính chia: $\frac{3 x}{2 y^{2}} : (- \frac{5 x^{2}}{12 y^{3}})$ .

Lời giải:

$\frac{3 x}{2 y^{2}} : (- \frac{5 x^{2}}{12 y^{3}}) = \frac{3 x}{2 y^{2}} . \frac{- 12 y^{3}}{5 x^{2}} = \frac{- 36 x y^{3}}{10 x^{2} y^{2}} = \frac{- 18 y}{5 x}$ .

Thử thách nhỏ trang 21 Toán 8 Tập 2: Kết luận sau đúng hay sai?

$(\frac{1}{x} : \frac{1}{x}) : \frac{1}{x} = \frac{1}{x} : (\frac{1}{x} : \frac{1}{x})$ .

Lời giải:

Vế trái: $(\frac{1}{x} : \frac{1}{x}) : \frac{1}{x} = 1 : \frac{1}{x} = 1. x = x$ .

Vế phải: $\frac{1}{x} : (\frac{1}{x} : \frac{1}{x}) = \frac{1}{x} : 1 = \frac{1}{x}$ .

Vậy kết luận trên là sai.

Giải Toán 8 trang 22 Tập 2

Vận dụng trang 22 Toán 8 Tập 2: Bác Châu vay ngân hàng 1,2 tỉ đồng để mua nhà theo hình thức trả góp. Số tiền bác Châu phải trả mỗi tháng bao gồm số tiền gốc phải trả hàng tháng (bằng số tiền gốc chia đều cho số tháng vay) và số tiền lãi phải trả hằng tháng (bằng số tiền gốc nhân với lãi suất tháng).

a) Gọi r là lãi suất năm (r viết dưới dạng số thập phân) của khoản vay trả góp này. Tính số tiền x (triệu đồng) mà bác Châu phải trả mỗi tháng theo số tháng vay y (tháng) và lãi suất năm r. Từ đó suy ra công thức tính lãi suất năm r theo x và y.

b) Tính giá trị của r tại x = 30, y = 48 rồi cho biết, nếu trả góp mỗi tháng 30 triệu đồng trong vòng 4 năm thì lãi suất năm (tính theo %) của khoản vay này là bao nhiêu?

Lời giải:

Đổi 1,2 tỉ đồng = 1200 triệu đồng.

a) Lãi suất tháng là $\frac{r}{12}$ (vì 1 năm có 12 tháng), do đó số tiền x phải trả hàng tháng là:

$x = \frac{1200}{y} + 1200. \frac{r}{12} = \frac{1200}{y} + 100 r$ (triệu đồng).

Từ đó suy ra $r = \frac{x y - 1200}{100 y}$ .

b) Nếu x = 30, y = 48 thì:

$r = \frac{30.48 - 1200}{100.48} = 0,05 = 5 %$ .

Do đó, nếu trả góp 30 triệu đồng một tháng trong 4 năm (48 tháng) thì lãi suất năm của khoản vay này là 5%.

Bài tập

Bài 6.26 trang 22 Toán 8 Tập 2: Làm tính nhân phân thức:

a) $(- \frac{3 x}{5 x y^{2}}) . (- \frac{5 y^{2}}{12 x y})$ ;

b) $\frac{x^{2} - x}{2 x + 1} . \frac{4 x^{2} - 1}{x^{3} - 1}$ .

Lời giải:

a) $(- \frac{3 x}{5 x y^{2}}) . (- \frac{5 y^{2}}{12 x y}) = \frac{- 3 x . (- 5 y^{2})}{5 x y^{2} .12 x y} = \frac{15 x y^{2}}{60 x^{2} y^{3}} = \frac{1}{4 x y}$ .

b) $\frac{x^{2} - x}{2 x + 1} . \frac{4 x^{2} - 1}{x^{3} - 1} = \frac{(x^{2} - x) (4 x^{2} - 1)}{(2 x + 1) (x^{3} - 1)}$

$= \frac{x (x - 1) (2 x + 1) (2 x - 1)}{(2 x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{x (2 x - 1)}{x^{2} + x + 1}$ .

Bài 6.27 trang 22 Toán 8 Tập 2: Làm tính chia phân thức:

a) $(- \frac{3 x}{5 x y^{2}}) : (- \frac{5 y^{2}}{12 x y})$ ;

b) $\frac{4 x^{2} - 1}{8 x^{3} - 1} : \frac{4 x^{2} + 4 x + 1}{4 x^{2} + 2 x + 1}$ .

Lời giải:

a) $(- \frac{3 x}{5 x y^{2}}) : (- \frac{5 y^{2}}{12 x y})$ $= (- \frac{3}{5 y^{2}}) : (- \frac{5 y}{12 x})$

$= (- \frac{3}{5 y^{2}}) . (- \frac{12 x}{5 y})$ $= \frac{3.12 x}{5 y^{2} .5 y} = \frac{36 x}{25 y^{3}}$ .

b) $\frac{4 x^{2} - 1}{8 x^{3} - 1} : \frac{4 x^{2} + 4 x + 1}{4 x^{2} + 2 x + 1}$

$= \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1)} . \frac{4 x^{2} + 2 x + 1}{{(2 x + 1)}^{2}} = \frac{1}{2 x + 1}$ .

Bài 6.28 trang 22 Toán 8 Tập 2: Tìm hai phân thức P và Q thỏa mãn:

a) $P . \frac{x + 1}{2 x + 1} = \frac{x^{2} + x}{4 x^{2} - 1}$ ;

b) $Q : \frac{x^{2}}{x^{2} + 4 x + 4} = \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2} - 2 x}$ .

Lời giải:

a) Từ giả thiết $P . \frac{x + 1}{2 x + 1} = \frac{x^{2} + x}{4 x^{2} - 1}$ suy ra:

$P = \frac{x^{2} + x}{4 x^{2} - 1} : \frac{x + 1}{2 x + 1} = \frac{x (x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} . \frac{2 x + 1}{x + 1} = \frac{x}{2 x - 1}$ .

b) Từ giả thiết $Q : \frac{x^{2}}{x^{2} + 4 x + 4} = \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2} - 2 x}$ suy ra:

$Q = \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2} - 2 x} . \frac{x^{2}}{x^{2} + 4 x + 4} = \frac{(x + 1) (x + 2)}{x (x - 2)} . \frac{x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ $= \frac{x (x + 1)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

Bài 6.29 trang 22 Toán 8 Tập 2: Cho hai phân thức $P = \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} + 3 x}$ và $Q = \frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} - 9}$ .

a) Rút gọn P và Q.

b) Sử dụng kết quả của câu a, tính P.Q và P : Q.

Lời giải:

a) $P = \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} + 3 x} = \frac{{(x + 3)}^{2}}{x (x + 3)} = \frac{x + 3}{x}$ ;

$Q = \frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} - 9}$ = $\frac{x (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{x}{x - 3}$ .

b) P.Q = $\frac{x + 3}{x} . \frac{x}{x - 3} = \frac{x + 3}{x - 3}$ ;

P : Q = $\frac{x + 3}{x} : \frac{x}{x - 3} = \frac{x + 3}{x} . \frac{x - 3}{x} = \frac{x^{2} - 9}{x^{2}}$ .

Bài 6.30 trang 22 Toán 8 Tập 2: Trở lại tình huống trong Vận dụng.

a) Nếu mỗi tháng bác Châu trả 15 triệu đồng trong 10 năm thì lãi suất năm (tính theo %) là bao nhiêu? Hãy cho biết tổng số tiền thực tế bác Châu phải trả chênh lệch bao nhiêu so với khoản vay 1,2 tỉ đồng.

b) Trong công thức tính lãi suất năm nói trên, hai lần biến x, y phải thỏa mãn các điều kiện x > 0, y > 0, xy > 1200. Em hãy giải thích ý nghĩa thực tiễn của các điều kiện này.

Lời giải:

a) Nếu trả mỗi tháng 15 triệu đồng trong 10 năm (= 120 tháng) thì lãi suất năm của khoản vay là giá trị của $r = \frac{x y - 1200}{100 y}$ tại x = 15, y = 120, cụ thể là:

$r = \frac{15.120 - 1200}{100.120} = 0,05 = 5 %$ .

Thực tế, tổng số tiền người vay trả sau 10 năm là: 15.120 = 1800 triệu đồng = 1,8 tỉ đồng, chênh (cao hơn) so với khoản vay 1,2 tỉ đồng là 0,6 tỉ đồng = 600 triệu đồng.

b) Vì x là số tiền trả mỗi tháng, y là số tháng trả góp nên x, y phải là số dương. Ngoài ra, xy là số tiền người vay trả sau y tháng nên nếu xy ≤ 1200 thì số tiền trả chưa đủ hoàn hết số tiền vay 1,2 tỉ đồng, người cho vay không có lãi hoặc lỗ. Vì vậy trong công thức tính lãi suất năm $r = \frac{x y - 1200}{100 y}$ hai biến x, y phải thỏa mãn các điều kiện; x > 0, y > 0, xy > 1200.

Lý thuyết Phép nhân và phép chia phân thức đại số

1. Nhân hai phân thức

Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

$\frac{A}{B} . \frac{C}{D} = \frac{A . C}{B . D}$

Chú ý: Kết quả của phép nhân hai phân thức được gọi là tích. Ta thường viết tích dưới dạng rút gọn.

2. Tính chất của phép nhân phân thức

- Giao hoán: $\frac{A}{B} . \frac{C}{D} = \frac{C}{D} . \frac{A}{B}$

- Kết hợp: $(\frac{A}{B} . \frac{C}{D}) . \frac{E}{F} = \frac{A}{B} . (\frac{C}{D} . \frac{E}{F})$

- Tính chất phân phối đối với phép cộng: $\frac{A}{B} . (\frac{C}{D} + \frac{E}{F}) = \frac{A}{B} . \frac{C}{D} + \frac{A}{B} . \frac{E}{F}$

Ví dụ:

$\frac{2 x z}{3 y} . \frac{- 6 y^{3}}{8 x^{2} z} = \frac{2 x z . (- 6 y^{3})}{3 y .8 x^{2} z} = \frac{- y^{2}}{2 x}$ ;

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 4 x} . \frac{2 x}{x - 1} = \frac{(x - 1) (x + 1) .2 x}{x (x + 4) (x - 1)} = \frac{2 (x + 1)}{x + 4}$

3. Chia hai phân thức

Quy tắc: Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ khác 0, ta nhân phân thức $\frac{A}{B}$ với phân thức $\frac{D}{C}$ :

$\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} . \frac{D}{C}$ , với $\frac{C}{D} \neq 0$ .

Nhận xét: $\frac{C}{D} . \frac{D}{C} = 1.$ Ta nói $\frac{D}{C}$ là phân thức nghịch đảo của $\frac{C}{D}$ .

Ví dụ:

$\frac{x^{2} - 9}{x - 2} : \frac{x - 3}{x} = \frac{(x - 3) (x + 3)}{x - 2} . \frac{x}{x - 3} = \frac{(x - 3) (x + 3) . x}{(x - 2) (x - 3)} = \frac{x (x + 3)}{x - 2}$

$\frac{x}{z^{2}} . \frac{x z}{y^{3}} : \frac{x^{3}}{y z} = \frac{x}{z^{2}} . \frac{x z}{y^{3}} . \frac{y z}{x^{3}} = \frac{x . x z . y z}{z^{2} . y^{3} . x^{3}} = \frac{x^{2} y z^{2}}{x^{3} y^{3} z^{2}} = \frac{1}{x y^{2}}$

Sơ đồ tư duy Phép nhân và phép chia phân thức đại số

Lý thuyết Phép nhân và phép chia phân thức đại số – Toán lớp 8 Kết nối tri thức (ảnh 1)

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 23: Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

Luyện tập chung (trang 23, 24)

Bài tập cuối chương 6 (trang 26)

Bài 25: Phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 26: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

1 1,125 20/09/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3