Toán 8 Bài 25 (Kết nối tri thức): Phương trình bậc nhất một ẩn

Giải Toán 8 Bài 25: Phương trình bậc nhất một ẩn

Giải Toán 8 trang 27 Tập 2

Mở đầu trang 27 Toán 8 Tập 2: Bác An gửi tiết kiệm 150 triệu đồng với kì hạn 12 tháng. Đến cuối kì (tức là sau 1 năm), bác An thu được số tiền cả vốn lẫn lãi là 159 triệu đồng. Tính lãi suất gửi tiết kiệm của bác An.

Lời giải:

Tiền lãi mà bác An nhận được sau 12 tháng là: 159 – 150 = 9 (triệu đồng).

Lãi suất gửi tiết kiệm của bác An là: $\frac{9.100\%}{150}=6\%$.

1. Phương trình một ẩn

HĐ1 trang 27 Toán 8 Tập 2: Gọi x (viết dưới dạng số thập phân) là lãi suất gửi tiết kiệm (tính theo năm) của bác An. Viết biểu thức tính số tiền lãi mà bác An nhận được sau 1 năm theo x.

Lời giải:

Biểu thức tính số tiền lãi mà bác An nhận được sau một năm là: 150.x (triệu đồng).

HĐ2 trang 27 Toán 8 Tập 2: Số tiền bác An thu được sau 1 năm bao gồm cả số tiền vốn và số tiền lãi. Dựa vào kết quả của HĐ1, viết hệ thức chứa x biểu thị số tiền bác An thu được là 159 triệu đồng.

Lời giải:

Hệ thức chứa x biểu thị số tiền bác An thu được là 159 triệu đồng.

150 + 150.x = 159.

Giải Toán 8 trang 28 Tập 2

HĐ3 trang 28 Toán 8 Tập 2: Xét phương trình 2x + 9 = 3 – x. (1)

a) Chứng minh rằng x = –2 thỏa mãn phương trình (1) (tức là hai vế của phương trình nhận cùng một giá trị khi x = –2).

Khi đó, ta nói x = –2 là một nghiệm của phương trình (1).

b) Bằng cách thay trực tiếp vào hai vế của phương trình, hãy kiểm tra xem x = 1 có phải là một nghiệm của phương trình (1) không.

Lời giải:

a) Thay x = –2 vào vế trái của (1): 2.(–2) + 9 = 5

Thay x = –2 vào vế phải của (1): 3 – (–2) = 5

Vậy với x = –2 thì vế phải và vế trái của (1) nhận cùng một giá trị hay x = –2 là nghiệm của phương trình.

b) Thay x = 1 vào vế trái của (1): 2.1 + 9 = 11

Thay x = 1 vào vế phải của (1): 3 – 1 = 2

Ta thấy 11 ≠ 2 nên x = 1 không phải là một nghiệm của phương trình.

Luyện tập 1 trang 28 Toán 8 Tập 2: Hãy cho ví dụ về một phương trình với ẩn x và kiểm tra xem x = 2 có là một nghiệm của phương trình đó không.

Lời giải:

Cho phương trình ẩn x: 2x + 1 = 3x – 2

Thay x = 2 vào hai vế của phương trình ta có: 2.2 + 1 ≠ 3.2 – 2

Do đó, x = 2 không phải là nghiệm của 2x + 1 = 3x – 2.

2. Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải

Giải Toán 8 trang 29 Tập 2

Câu hỏi trang 29 Toán 8 Tập 2: Những phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất một ẩn?

a) 2x + 1 = 0; b) –x + 1 = 0; c) 0.x + 2 = 0; d) (–2).x = 0.

Lời giải:

Phương trình a, b, d là phương trình bậc nhất một ẩn.

c) không là phương trình bậc nhất một ẩn vì a = 0.

HĐ4 trang 29 Toán 8 Tập 2: Xét phương trình bậc nhất một ẩn 2x – 6 = 0. (2) Hãy thực hiện các yêu cầu sau để giải phương trình (2) (tức là tìm nghiệm của phương trình đó):

a) Sử dụng quy tắc chuyển vế, hãy chuyển hạng tử tự do –6 sang vế phải.

b) Sử dụng quy tắc nhân, nhân cả hai vế của phương trình với $\frac{1}{2}$(tức là chia cả hai vế của phương trình cho hệ số của x là 2) để tìm nghiệm x.

Lời giải:

a) Ta có: 2x – 6 = 0 suy ra 2x = 6.

b) Từ 2x = 6 suy ra $\frac{1}{2}.2x=6.\frac{1}{2}$ hay x = 3.

Giải Toán 8 trang 30 Tập 2

Luyện tập 2 trang 30 Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) 2x – 5 = 0; b) 4 – $\frac{2}{5}x$ = 0.

Lời giải:

a) 2x – 5 = 0

2x = 5

x = $\frac{5}{2}$

Vậy phương trình có nghiệm là x = $\frac{5}{2}$

b) 4 – $\frac{2}{5}x$= 0

$\frac{-2}{5}x=-4$

x = $\left(-4\right):\left(-\frac{2}{5}\right)$

x = 10.

Vậy phương trình có nghiệm x = 10.

Vận dụng 1 trang 30 Toán 8 Tập 2: Hãy giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Lời giải:

Cách 1: Tiền lãi mà bác An nhận được sau 12 tháng là: 159 – 150 = 9 (triệu đồng)

Lãi suất gửi tiết kiệm của bác An là: $\frac{9.100\%}{150}=6\%$

Cách 2: Giải phương trình bậc nhất một ẩn đã tìm ra ở HĐ2.

150 + 150.x = 159

150x = 9

x = 9 : 150

x = 0,06

Ta có x = 0,06 = 6%. Vậy lãi suất gửi tiết kiệm của bác An là 6%.

Tranh luận trang 30 Toán 8 Tập 2: Hai bạn Vuông và Tròn giải phương trình 2x + 5 = 16 như sau:

Theo em, bạn nào đúng, bạn nào sai? Giải thích?

Lời giải:

2x + 5 = 16

2x = 16 – 5

2x = 11

x = $\frac{11}{2}$.

Ta thấy bạn Vuông giải đúng, đảm bảo theo các quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân.

Còn bạn Tròn giải sai vì không đảm bảo quy tắc nhân, do khi nhân hai vế của phương trình 2x + 5 = 16 với $\frac{1}{2}$, bạn nhân ở vế trái sai. Nhân đúng phải là lấy $\frac{1}{2}$ nhân với đa thức 2x + 5, được kết quả phải là $\frac{2x}{2}+\frac{5}{2}$. Vậy bạn Tròn sai từ bước thứ nhất trong khi giải phương trình.

3. Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0

Giải Toán 8 trang 31 Tập 2

Luyện tập 3 trang 31 Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) 5x – (2 – 4x) = 6 + 3(x – 1);

b) $\frac{x-1}{4}$ + 2x = 3 – $\frac{2x-3}{3}$.

Lời giải:

a) 5x – (2 – 4x) = 6 + 3(x – 1)

5x – 2 + 4x = 6 + 3x – 3

5x + 4x – 3x = 6 – 3 + 2

6x = 5

x = $\frac{5}{6}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = $\frac{5}{6}$.

b) $\frac{x-1}{4}$+ 2x = 3 – $\frac{2x-3}{3}$

$\frac{3x-3+24x}{12}=\frac{36-4(2x-3)}{12}$

3x – 3 + 24x = 36 – 8x + 12

3x + 24x + 8x = 36 + 12 + 3

35x = 51

x = $\frac{51}{35}$

Vậy phương trình có nghiệm x = $\frac{51}{35}$.

Giải Toán 8 trang 32 Tập 2

Vận dụng 2 trang 32 Toán 8 Tập 2: Hai bạn Lan và Hương cùng vào hiệu sách. Lan mua 5 quyển vở cùng loại và 1 quyển sách giá 50 nghìn đồng. Hương mua 3 quyển vở cùng loại với loại vở của Lan và 1 quyển sách giá 74 nghìn đồng. Số tiền phải trả của Lan và Hương bằng nhau.

a) Gọi x (nghìn đồng) là giá tiền của mỗi quyển vở. Viết phương trình biểu thị tổng số tiền mua sách và vở của hai bạn Lan và Hương là bằng nhau.

b) Giải phương trình nhận được ở câu a để tìm giá tiền của mỗi quyển vở.

Lời giải:

a) Phương trình biểu thị tổng số tiền mua sách và vở của hai bạn Lan và Hương là bằng nhau là:

5x + 50 = 3x + 74.

b) 5x + 50 = 3x + 74

5x – 3x = 74 – 50

2x = 24

x = 12

Vậy giá tiền của mỗi quyển vở là 12 nghìn đồng.

Bài tập

Bài 7.1 trang 32 Toán 8 Tập 2: Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất trong các phương trình sau:

a) x + 1 = 0; b) 0x – 2 = 0;

c) 2 – x = 0; d) 3x = 0.

Lời giải:

Các phương trình a, c, d là phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình 0x – 2 = 0 không phải là phương trình bậc nhất một ẩn vì a = 0.

Bài 7.2 trang 32 Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) 5x – 4 = 0; b) 3 + 2x = 0;

c) 7 – 5x = 0; d) $\frac{3}{2}+\frac{5}{3}x=0$

Lời giải:

a) 5x – 4 = 0

5x = 4

x = $\frac{4}{5}$

Vậy phương trình có nghiệm x = $\frac{4}{5}$.

b) 3 + 2x = 0

2x = –3

x = $\frac{-3}{2}$

Vậy phương trình có nghiệm x = $\frac{-3}{2}$.

c) 7 – 5x = 0

–5x = –7

x = $\frac{7}{5}$

Vậy phương trình có nghiệm x = $\frac{7}{5}$ .

d)$\frac{3}{2}+\frac{5}{3}x=0$

$\frac{5}{3}x=\frac{-3}{2}$

$x=\frac{-3}{2}:\frac{5}{3}$

$x=\frac{-9}{10}$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{-9}{10}$ .

Bài 7.3 trang 32 Toán 8 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) 7x – (2x + 3) = 5(x – 2);

b) x + $\frac{2x-1}{5}$= 3 + $\frac{3-x}{4}$.

Lời giải:

a) 7x – (2x + 3) = 5(x – 2)

7x – 2x – 3 = 5x – 10

7x – 2x – 5x = –10 + 3

0.x = –7

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

b) x + $\frac{2x-1}{5}$= 3 + $\frac{3-x}{4}$

$\frac{20x+4(2x-1)}{20}=\frac{60+5(3-x)}{20}$

20x + 8x – 4 = 60 + 15 – 5x

20x + 8x + 5x = 60 + 15 + 4

33x = 79

x = $\frac{79}{33}$

Vậy phương trình có nghiệm x = $\frac{79}{33}$.

Bài 7.4 trang 32 Toán 8 Tập 2: Ở một số quốc gia, người ta dùng cả hai đơn vị đo nhiệt độ là độ Fahrenheit (°F) và độ Celcius (°C), liên hệ với nhau bởi công thức $C=\frac{5}{9}\left(F-32\right)$. Hãy tính độ Fahrenheit tương ứng với 10 °C.

Lời giải:

Thay C = 10 vào công thức $C=\frac{5}{9}\left(F-32\right)$ ta được:

$10=\frac{5}{9}\left(F-32\right)$

90 = 5F – 160

5F = 90 + 160

F = 250 : 5

F = 50

Vậy độ Fahrenheit tương ứng với 10 °C là 50 °F.

Bài 7.5 trang 32 Toán 8 Tập 2: Hiện nay tuổi của bố bạn Nam gấp 3 lần tuổi của Nam. Sau 10 năm nữa thì tổng số tuổi của Nam và bố là 76 tuổi. Gọi x là số tuổi hiện nay của Nam.

a) Biểu thị tuổi hiện nay của bố bạn Nam theo tuổi hiện tại của bạn Nam.

b) Viết phương trình biểu thị sự kiện sau 10 năm nữa thì tổng số tuổi của Nam và bố là 76 tuổi.

c) Giải phương trình nhận được ở câu b để tính tuổi của Nam và bố hiện nay.

Lời giải:

a) Hiện nay tuổi của bố bạn Nam gấp 3 lần tuổi của Nam nên số tuổi hiện nay của bố bạn Nam là: 3x (tuổi).

b) Sau 10 năm nữa tuổi của Nam là: x + 10 (tuổi).

Sau 10 năm nữa tuổi của bố Nam là: 3x + 10 (tuổi).

Theo đề bài ta có phương trình: (x + 10) + (3x + 10) = 76.

c) (x + 10) + (3x + 10) = 76.

x + 3x = 76 – 10 – 10

4x = 56

x = 56 : 4

x = 14

Vậy tuổi của Nam hiện tại là 14 tuổi và tuổi của bố Nam hiện tại là 3.14 = 42 (tuổi).

Bài 7.6 trang 32 Toán 8 Tập 2: Bạn Mai mua cả sách và vở hết 500 nghìn đồng. Biết rằng số tiền mua sách nhiều gấp rưỡi số tiền mua vở, hãy tính số tiền bạn Mai dùng để mua mỗi loại.

Lời giải:

Gọi x (nghìn đồng) là số tiền mua vở.

Khi đó, số tiền mua sách là 1,5x (nghìn đồng).

Theo đề bài ta có phương trình: x + 1,5x = 500 hay 2,5x = 500, tức là x = 200 (nghìn đồng).

Vậy số tiền mua vở là 200 nghìn đồng và số tiền mua sách là 1,5 . 200 = 300 (nghìn đồng).

Lý thuyết Phương trình bậc nhất một ẩn

1. Phương trình một ẩn

Khái niệm:

Một phương trình với ẩn x có dạng $A\left(x\right)=B\left(x\right)$, trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức có cùng một biến x.

Ví dụ: $3x--1=2x+3;3x=5$ là các phương trình ẩn x.

Số $x_0$ là nghiệm của phương trình $A\left(x\right)=B\left(x\right)$nếu giá trị của A(x) và B(x) tại $x_0$ bằng nhau.

Ví dụ: $x=2$ là nghiệm của phương trình $2x=x+2$ vì thay $x=2$ vào phương trình, ta được 2.2 = 2 + 2

Giải một phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

Chú ý: Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó và kí hiệu là S.

Ví dụ: Giải phương trình: $3x+6=0$

Ta có: $3x+6=0\iff 3x=-6\iff x=-2$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2}

2. Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải

Khái niệm: Phương trình dạng ax + b = 0, với a, b là hai số đã cho và $a\ne 0$, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn x.

Cách giải:

Phương trình bậc nhất ax + b = 0 ($a\ne 0$) được giải như sau:

$\begin{array}{c}ax+b=0\\ ax=-b\\ x=-\frac{b}{a}\end{array}$

Phương trình bậc nhất ax + b = 0 ($a\ne 0$) luôn có một nghiệm duy nhất là $x=-\frac{b}{a}$.

Ví dụ: Giải phương trình: $3x+11=0$

Ta có: $3x+11=0\iff 3x=-11\iff x=-\frac{11}{3}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-\frac{11}{3}$.

3. Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0

Bằng cách chuyển vế và nhân cả hai vế của phương trình với một số khác 0, ta có thể đưa một số phương trình ẩn x về phương trình dạng ax + b = 0 và do đó có thể giải được chúng.

Ví dụ: Giải phương trình: $7x--\left(2x+3\right)=5\left(x--2\right)$

$\begin{array}{c}11x--\left(2x+3\right)=6\left(x--2\right)\\ 11x-2x-3=6x-12\\ 11x-2x-6x=-12+3\\ 3x=-9\\ x=\frac{-9}{3}\\ x=-3\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là x = -3

Sơ đồ tu duy Phương trình bậc nhất một ẩn

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 6 (trang 26)

Bài 26: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Luyện tập chung (trang 37)

Bài 27: Khái niệm hàm số và đồ thị của hàm số

Bài 28: Hàm số bậc nhất và đồ thị của hàm số bậc nhất