Cho tứ diện ABCD. Gọi $G_1$ và $G_2$ lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng $G_1{G}_2$ song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD).

* Lời giải:

Gọi I là trung điểm của CD.

Vì $G_1$ là trọng tâm của tam giác ACD nên $G_1\in AI$

Vì $G_2$ là trọng tâm của tam giác BCD nên $G_2\in BI$

Ta có :

$AB\subset \left(ABC\right)\Rightarrow G_1{G}_2//\left(ABC\right)$

Và $AB\subset \left(ABD\right)\Rightarrow G_1{G}_2//\left(ABD\right)$

* Phương pháp giải:

Xác định trung điểm I của CD.

G₁​,G_2​ là trọng tâm tam giác ACD,BCD nên nằm trên trung tuyến AI,BI.

Theo tính chất trọng tâm, $\frac{I{G}_1}{IA}=\frac{I{G}_2}{IB}=\frac{1}{3}$, suy ra G₁​G₂​∥AB (định lý Thales đảo).

Vì AB⊂(ABC) và AB⊂(ABD), nên G₁​G₂​∥(ABC) và G_1​G₂​∥(ABD).

* Lý thuyết nắm thêm:

a) Hình chóp

- Đáy là một đa giác, các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh.

- Đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy gọi là đường cao.

b) Hình chóp đều

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.

+ Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đường tròn đi qua các đỉnh của mặt đáy.

+ Đường cao vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên của hình chóp đều được gọi là trung đoạn của hình chóp đó.

a) Diện tích xung quanh của hình chóp đều

Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:

S_xq = p.d (p: nửa chu vi đáy, d: trung đoạn)

b) Diện tích toàn phần của hình chóp

Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy:

S_tp = S_xq + S (S: diện tích đáy)

c) Thể tích của hình chóp bằng một phần ba của diện tích đáy nhân với chiều cao:

V = 1/3S.h (S: diện tích đáy, h: chiều cao)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài toán về thể tích khối chóp (có đáp án) – Toán 12 

50 Bài tập Khối đa diện lồi và khối đa diện đều Toán 12