Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\left(m-1\right)x^4-2\left(m-3\right)x^2+1$  không có cực đại.

*Lời giải

Ta có  $y^{\text{'}}=4\left(m-1\right)x^3-4\left(m-3\right)x=4x\left[\left(m-1\right)x^2-\left(m-3\right)\right]$

Xét với m=1  : Khi đó $y=4x^2+1$   hàm số không có cực đại. Vậy m=1   thỏa mãn (1)

Xét với $m>1$ : Khi đó hàm số là hàm bậc 4 trùng phương với hệ số $a>0$  để hàm số không có cực đại thì $y^{\text{'}}=0$  chỉ có một nghiệm duy nhất x=0  .

Hay $\left(m-1\right)x^2-\left(m-3\right)=0$  vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x=0 .

 $\iff x^2=\frac{m-3}{m-1}$ vô nghiệm hoặc có nghiệm x=0$\iff \frac{m-3}{m-1}\le 0\iff 1<m\le 3$    (2)

Xét với $m<1$  :  Hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số $a<0$  luôn có cực đại (3)

Kết luận : Từ (1), (2), (3) ta có để hàm số không có cực đại thì $1\le m\le 3$ .

*Phương pháp giải:

Tính y'

Tìm nghiệm y' thay nghiệm vào y tìm CĐ CT

*Lý thuyết cần nắm và các dạng bài tập về cực trị hàm số: 

- Định nghĩa.

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là $-\infty$; b là $+\infty$) và điểm x0$\in$(a; b).

a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x(x0 – h; x0 + h) và $x\ne x_0$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.

b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x$\in$(x0 – h; x0 + h) và $x\ne x_0$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.

Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

- Định lí 1

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x₀ – h; x₀ + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {x₀}; với h > 0.

a) Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x₀ – h; x₀) và f’(x) < 0 trên khoảng (x₀; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

b) Nếu f’(x) < 0 trên khoảng (x₀ – h; x₀) và f’(x) > 0 trên khoảng (x₀; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Quy tắc tìm cực trị.

- Quy tắc 1.

1. Tìm tập xác định.

2. Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định.

3. Lập bảng biến thiên.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

- Định lí 2.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x₀ – h; x₀ + h) với h > 0. Khi đó:

a) Nếu f’(x₀) = 0; f”(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu;

b) Nếu f’(x₀) = 0; f”(x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại.

- Quy tắc II.

1. Tìm tập xác định

2. Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu x_i ( i = 1; 2; ….; n) là các nghiệm của nó.

3. Tính f”(x) và f”(x_i).

4. Dựa vào dấu của f”(x_i) suy ra tính chất cực trị của điểm x_i.

Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ ($a\ne 0$).

- Ta có $y^{\text{'}}=3a{x}^2+2bx+c$

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt .

$\iff b^2-3ac>0$

Và không có cực trị ⇔Δ’ = b² − 3ac ≤ 0

- Cho hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có hai điểm cực trị phân biệt là A, B . Khi đó:

Phương trình đường thẳng AB : y = $\frac{2}{3}$(c -$\frac{2b}{3a}$ )x + (d -$\frac{bc}{9a}$)

Độ dài đoạn thẳng AB = $\sqrt{\frac{4e+ 16e^3}{a}}$ với e = $\frac{b^2-3ac}{9a}$

Hoặc khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị liên quan tới: $y-\frac{y^{\text{'}}.y^{\text{'}\text{'}}}{18a}$ (CASIO hỗ trợ).

Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.

Cho hàm số: $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ ($a\ne 0$) có đồ thị là (C) .

Ta có $y^{\text{'}}=4a{x}^3+2bx;$

$\hspace{0.17em}{y}^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=-\frac{b}{2a}\end{array}\right.$

(C) có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt $\iff -\frac{b}{2a}>0$ hay ab < 0

Hàm số có 3 cực trị là:

$$\begin{gathered} A(0;c), \\ B\left(-\sqrt{-\frac{b}{2a}};-\frac{\Delta }{4a}\right), \\ C\left(\sqrt{-\frac{b}{2a}};-\frac{\Delta }{4a}\right) \end{gathered}$$.

Độ dài các đoạn thẳng:

$$\begin{gathered} AB=AC=\sqrt{\frac{b^4}{16a^2}-\frac{b}{2a}}, \\ BC=2\sqrt{-\frac{b}{2a}} \end{gathered}$$

CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Dạng 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số.

Quy tắc 1: Áp dụng định lý 2

- Tìm f’(x)

- Tìm các điểm x_i (i = 1, 2, 3,…) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

- Xét dấu của f’(x). Nếu f’(x) đổi dấu khi x qua điểm x_o thì hàm số có cực trị tại điểm x_o

Quy tắc 2: Áp dụng định lý 3

- Tìm f’(x)

- Tìm các nghiệm x_i (i = 1, 2, 3,…) của phương trình f ‘(x) = 0

- Với mỗi x_i tính f ”(x_i)

- Nếu f ”(x_i) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x_i

- Nếu f ”(x_i) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x_i

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.

Sử dụng định lí 2 và định lí 3

a, Cực trị của hàm số bậc ba:

Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d, a ≠ 0.

y’ = 0 ⇔ 3ax² + 2bx + c = 0 (1) ; Δ’_y’ = b² – 3ac

- Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.

→ Hàm số bậc 3 không có cực trị ⇔ b² – 3ac ≤ 0

- Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 cực trị.

→ Hàm số bậc 3 có 2 cực trị ⇔ b² – 3ac > 0

b, Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương:

Cho hàm số: y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

y' = 4ax³ + 2bx; y' = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=-\frac{b}{2a}\end{array}\right.$

- Nếu (C)có một điểm cực trị thì y' = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.

- Nếu (C)có ba điểm cực trị thì y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.

Chú ý

* Hàm số f (xác định trên D) có cực trị ⇔ ∃ x_o ∈ D thỏa mãn hai điều kiện sau:

- Tại đạo hàm của hàm số tại x_o phải bằng 0 hoặc hàm số không có đạo hàm tại x_o

- f ‘(x) phải đổi dấu qua điểm x_o hoặc f ”(x_o) ≠ 0.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết Cực trị của hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12 

Cực trị của hàm số và cách giải các dạng bài tập (2024) mới nhất 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Cực trị hàm số (có đáp án 2024) - Toán 12