Lý thuyết Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ Toán lớp 7 (Kết nối tri thức)

Lý thuyết Toán 7 Bài 3. Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

• Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu xⁿ, là tích của n thừa số x (n là số tự nhiên lớn hơn 1).

${\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}=\underset{\mathrm{n} \mathrm{thừa} \mathrm{số}}{\underbrace{\mathrm{x}\cdot \mathrm{x}\cdot \mathrm{x}\cdot ...\cdot \mathrm{x}}}$ (x $\in \mathrm{\mathbb{Q}}$, n $\in \mathrm{\mathbb{N}}$, n >1)

xⁿ đọc là x mũ n hoặc x lũy thừa n hoặc lũy thừa bậc n của x.

x gọi là cơ số, n gọi là số mũ.

Quy ước: x⁰ = 1 (x ≠ 0); x¹ = x.

Ví dụ:

+ 5³ đọc là 5 mũ 3 hoặc 5 lũy thừa 3 hoặc lũy thừa bậc 3 của 5.

+ Tính ${\left(\frac{-1}{3}\right)}^4$

${\left(\frac{-1}{3}\right)}^4=\frac{-1}{3}\cdot \frac{-1}{3}\cdot \frac{-1}{3}\cdot \frac{-1}{3}=\frac{\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}=\frac{1}{81}$

+ Tính và so sánh: $\frac{{12}^2}{6^2}$ và ${\left(-\frac{12}{6}\right)}^2$

$\frac{{12}^2}{6^2}=\frac{144}{36}=4$ và ${\left(-\frac{12}{6}\right)}^2={\left(-2\right)}^2=4$ nên $\frac{{12}^2}{6^2}={\left(-\frac{12}{6}\right)}^2$

Chú ý:

• Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa; lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa.

${\left(\mathrm{x}\cdot \mathrm{y}\right)}^{\mathrm{n}}={\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\cdot {\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}$; ${\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}\right)}^{\mathrm{n}}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}{{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}}$ (y ≠ 0).

Ví dụ:

${\left(\frac{3}{4}\right)}^{15}.4^{15}={\left(\frac{3}{4}.4\right)}^{15}=3^{15}$;

25³ : 5³ = ${\left(\frac{25}{5}\right)}^3=5^3=125$.

2. Nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số

• Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ.

${\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}\cdot {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}={\mathrm{x}}^{\mathrm{m}+\mathrm{n}}$

• Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ số mũ của lũy thừa chia.

${\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}:{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}={\mathrm{x}}^{\mathrm{m}-\mathrm{n}}$ (x ≠ 0, m ≥ n)

Ví dụ: Tính:

a) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2.{\left(\frac{2}{3}\right)}^5$;

b) Tính ${\left(-9\right)}^5:{\left(-9\right)}^4$.

Hướng dẫn giải

a) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2.{\left(\frac{2}{3}\right)}^5={\left(\frac{2}{3}\right)}^{2+5}={\left(\frac{2}{3}\right)}^7=\frac{128}{2187}$;

b) ${\left(-9\right)}^5:{\left(-9\right)}^4={\left(-9\right)}^{5-4}={\left(-9\right)}^1=-9$.

3. Lũy thừa của lũy thừa

• Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ.

${\left({\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}\right)}^{\mathrm{n}}={\mathrm{x}}^{\mathrm{m}\cdot \mathrm{n}}$

Ví dụ: Tính ${\left[{\left(-3\right)}^5\right]}^7$

Ta có: ${\left[{\left(-3\right)}^5\right]}^7={\left(-3\right)}^{5\cdot 7}={\left(-3\right)}^{35}$.

Mở rộng

• Lũy thừa với số mũ nguyên âm của một số khác 0.

${\mathrm{x}}^{-\mathrm{n}}=\frac{1}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}$ với n là số nguyên dương, x ≠ 0.

Ví dụ: $\frac{1}{100}=\frac{1}{{10}^2}={10}^{-2}$

B. Bài tập tự luyện

B1. Bài tập tự luận

Bài 1. Tính:

a) ${\left(-2\frac{1}{2}\right)}^3$;

b) ${\left(-2\frac{1}{2}\right)}^4$;

c) ${\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {2022}^0$;

d) $2:{\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right)}^3$.

Hướng dẫn giải

a) ${\left(-2\frac{1}{2}\right)}^3$$={\left(-\frac{5}{2}\right)}^3=-\frac{125}{8}$

b) ${\left(-2\frac{1}{2}\right)}^4={\left(-\frac{5}{2}\right)}^4=\frac{625}{16}$

c) ${\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {2022}^0$$={\left(\frac{5}{4}\right)}^2\cdot 1=\frac{25}{16}$

d) $2:{\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right)}^3$$=2:{\left(\frac{3}{6}-\frac{4}{6}\right)}^3=2:{\left(-\frac{1}{6}\right)}^3=2:\frac{-1}{216}=2\cdot \left(-216\right)=-432$

Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ.

a) 25⁴ . 2⁸;

b) 27² : 25³;

c) 15⁸ . 9⁴;

d) (–27)⁵ : 32³.

Hướng dẫn giải

a) 25⁴ . 2⁸ $={\left(5^2\right)}^4\cdot 2^8=5^{2\cdot 4}\cdot 2^8=5^8\cdot 2^8={\left(5\cdot 2\right)}^8={10}^8$

b) 27² : 25³ $={\left(3^3\right)}^2:{\left(5^2\right)}^3=3^6:5^6={\left(\frac{3}{5}\right)}^6$

c) 15⁸ . 9⁴ $={15}^8\cdot {\left(3^2\right)}^4={15}^8\cdot 3^8={\left(15\cdot 3\right)}^8={45}^8$

d) (–27)⁵ : 32³ = ${\left[{\left(-3\right)}^3\right]}^5:{\left(2^5\right)}^3={\left(-3\right)}^{15}:2^{15}={\left(\frac{-3}{2}\right)}^{15}$.

Bài 3. Tìm x, biết:

a) $\mathrm{x}:{\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=-\frac{1}{2}$;

b) ${\left(\frac{3}{4}\right)}^5\cdot \mathrm{x}={\left(\frac{3}{4}\right)}^7$;

c) $\frac{343}{125}={\left(\frac{7}{5}\right)}^{\mathrm{x}}$;

d) ${\left(-\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{x}}=-\frac{1}{243}$.

Hướng dẫn giải

a) $\mathrm{x}:{\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=-\frac{1}{2}$

$\mathrm{x}=-\frac{1}{2}\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^3$

$\mathrm{x}={\left(-\frac{1}{2}\right)}^{3+1}$

$\mathrm{x}={\left(-\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{1}{16}$.

Vậy $\mathrm{x}=\frac{1}{16}$.

b) ${\left(\frac{3}{4}\right)}^5\cdot \mathrm{x}={\left(\frac{3}{4}\right)}^7$

$\mathrm{x}={\left(\frac{3}{4}\right)}^7:{\left(\frac{3}{4}\right)}^5$

$\mathrm{x}={\left(\frac{3}{4}\right)}^{7-5}$

$\mathrm{x}={\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{9}{16}$.

Vậy $\mathrm{x}=\frac{9}{16}$.

c) $\frac{343}{125}={\left(\frac{7}{5}\right)}^{\mathrm{x}}$

${\left(\frac{7}{5}\right)}^3={\left(\frac{7}{5}\right)}^{\mathrm{x}}$

$\mathrm{x}=3$.

Vậy x = 3.

d) ${\left(-\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{x}}=-\frac{1}{243}$

${\left(-\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{x}}={\left(-\frac{1}{3}\right)}^5$

$\mathrm{x}=5$.

Vậy x = 5.

B2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 4. Tính $\frac{{25}^2\cdot {25}^3}{5^{10}}$

A. 5;

B. 25;

C. 1;

D. $\frac{1}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$\frac{{25}^2\cdot {25}^3}{5^{10}}=\frac{{25}^5}{5^{10}}=\frac{{\left(5^2\right)}^5}{5^{10}}=\frac{5^{10}}{5^{10}}=1$

Bài 5. Khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời bằng khoảng 1,5 . 10⁸ km. Khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời khoảng 7,78 . 10⁸ km. Hỏi khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời gấp khoảng bao nhiêu lần khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời?

A. 5 lần;

B. 5 . 10⁸ lần;

C. 8 lần;

D. 10⁸ lần.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời gấp khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời số lần là: (7,78 . 10⁸) : (1,5 . 10⁸) = 7,78 : 1,5 ≈ 5 (lần).

Bài 6. Tìm x, biết $\mathrm{x}:{\left(-\frac{1}{2}\right)}^5={\left(-\frac{1}{2}\right)}^3$

A. $\mathrm{x}=\frac{1}{256}$;

B. $\mathrm{x}=\frac{1}{16}$;

C. $\mathrm{x}=-\frac{1}{256}$;

D. $\mathrm{x}=-\frac{1}{16}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$\mathrm{x}:{\left(-\frac{1}{2}\right)}^5={\left(-\frac{1}{2}\right)}^3$

$\mathrm{x}={\left(-\frac{1}{2}\right)}^3\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^5$

$\mathrm{x}={\left(-\frac{1}{2}\right)}^{5+3}$

$\mathrm{x}={\left(-\frac{1}{2}\right)}^8=\frac{1}{256}$. Vậy $\mathrm{x}=\frac{1}{256}$

Trắc nghiệm Toán 7 Bài 3: Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Câu 1. Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x được kí hiệu là

A. xⁿ;

B. x.n;

C. n^x;

D. x + n.

Câu 2. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $x^n=x\cdot x\cdot x\cdot \mathrm{...}\cdot x$ (có n thừa số x) $\left(x\in \mathbb{Q},n\in \mathbb{N},n>1\right)$

B. x⁰ = 0 (x ≠ 0);

C. x¹ = x;

D. 1ⁿ = 1 ($n\in \mathbb{N}$)

Câu 3. Tính ${\left(\frac{-1}{2}\right)}^3$

A. $\frac{1}{6}$;

B. $\frac{-1}{2}$;

C. $\frac{1}{8}$;

D. $\frac{-1}{8}$.

Câu 4. Công thức nào sau đây sai?

A. ${\left(x\cdot y\right)}^n=x^n\cdot y^n$

B. ${\left(x\cdot y\right)}^n=x^n\cdot y$

C. ${\left(\frac{x}{y}\right)}^n=\frac{x^n}{y^n}$ (y ≠ 0);

D. ${\left(\frac{x}{y}\right)}^n=x^n:y^n$ (y ≠ 0).

Câu 5. Tính ${\left(3\cdot \frac{1}{2}\right)}^4$

A. $\frac{81}{16}$;

B. 6;

C. $\frac{3}{4}$;

D. $\frac{12}{16}$.

Câu 6. Công thức đúng là

A. $x^m:x^n=x^{m-n}$ (x ≠ 0, m ≥ n);

B. $x^m\cdot x^n=x^{m.n}$;

C. ${\left(x^m\right)}^n=x^{m+n}$;

D. $\frac{x^m}{x^n}=x^{m:n}$ (x ≠ 0, m ≥ n).

Câu 7. Tính ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^2\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^3$

A. $-\frac{1}{32}$;

B. $\frac{1}{32}$;

C. $-\frac{1}{10}$;

D. $\frac{1}{10}$.

Câu 8. Tính ${\left(-7\right)}^5:{\left(-7\right)}^3$

A. − 49;

B. 14;

C. − 14;

D. 49.

Câu 9. Biểu thức (27)⁵ : (− 32)³ được viết dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ là

A. ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^{15}$;

B. ${\left(-\frac{27}{32}\right)}^2$;

C. ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{15}$;

D. ${\left(\frac{27}{32}\right)}^2$.

Câu 10. Tính $\frac{{25}^2\cdot {25}^3}{5^{10}}$

A. 5;

C. 1;

B. 25;

D. $\frac{1}{5}$.

Câu 11. Tìm x, biết $x:{\left(-\frac{1}{2}\right)}^5={\left(-\frac{1}{2}\right)}^3$

A. $x=\frac{1}{256}$;

B. $x=\frac{1}{16}$;

C. $x=-\frac{1}{256}$;

D. $x=-\frac{1}{16}$.

Câu 12. Tìm x, biết $x\cdot {\left(\frac{3}{5}\right)}^8={\left(\frac{3}{5}\right)}^{10}$

A. $x=\frac{25}{9}$;

B. $x=\frac{3}{5}$;

C. $x=\frac{9}{25}$;

D. $x=\frac{9}{5}$.

Câu 13. Tính ${\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{2021}{2022}\right)}^0$

A. 0;

B. $\frac{25}{16}$;

C. $\frac{5}{4}$;

D. Không xác định.

Câu 14. Tính $\frac{6^3+3\cdot 6^2+3^3}{-27}$

A. − 27;

B. $-\frac{1}{9}$;

C. − 13;

D. 1.

Câu 15. Khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời bằng khoảng 1,5 . 10⁸ km. Khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời khoảng 7,78 . 10⁸ km. Hỏi khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời gấp khoảng bao nhiêu lần khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời?

A. 5 lần;

B. 5 . 10⁸ lần;

C. 8 lần;

D. 10⁸ lần.

Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai

Câu hỏi. Theo các nhà khoa học, khoảng cách từ Trái Đất đến Sao Kim là $38,2\cdot {10}^8\text{km,}$ khoảng cách từ Trái Đất đến Sao Mộc là $58,5\cdot {10}^7\text{km.}$

a) Khoảng cách từ Trái Đất đến Sao Kim bằng $382\cdot {10}^7\text{km.}$

b) Khoảng cách từ Trái Đất đến Sao Mộc nhỏ hơn khoảng cách từ Trái Đất đến Sao Kim.

c) Hiệu khoảng cách từ Trái Đất đến Sao Kim và khoảng cách từ Trái Đất đến Sao Mộc là $\left(38,2-58,5\right)\cdot {10}^7\text{km.}$

d) Khoảng cách từ Trái Đất đến Sao Kim gấp hơn 6 lần khoảng cách từ Trái Đất đến Sao Mộc.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Tìm giá trị của $x$, biết: $2^x={\left(2^2\right)}^2$.

Câu 2. Tìm giá trị của $x$, biết: ${\left(-\frac{1}{2}+\frac{4}{5}x\right)}^3=\frac{27}{8}$. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 4. Thứ tự thực hiện các phép tính. Quy tắc chuyển vế

Lý thuyết Ôn tập chương 1

Lý thuyết Bài 5. Làm quen với số thập phân vô hạn tuần hoàn

Lý thuyết Bài 6. Số vô tỉ. Căn bậc hai số học

Lý thuyết Bài 7. Tập hợp các số thực

Xem thêm tài liệu Toán lớp 7:

Trắc nghiệm Lũy thừa với số mũ tự nhiên của 1 số hữu tỉ lớp 7

Giải SGK Toán 7 Bài 3: Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Giải SBT Toán 7 Bài 3: Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Giáo án Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ lớp 7