Lý thuyết Đại lượng tỉ lệ thuận – Toán lớp 7 Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Toán 7 Bài 22: Đại lượng tỉ lệ thuận - Kết nối tri thức

1. Đại lượng tỉ lệ thuận

• Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = ax (a là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a.

Chú ý:

Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ $\frac{1}{a}$. Khi đó ta nói x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Ví dụ: Nếu y = 5x thì y tỉ lệ thuận với x theo hệ số 5, hay x tỉ lệ thuận với y theo hệ số $\frac{1}{5}$ .

Nhận xét:

Nếu đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x thì:

• Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (và bằng hệ số tỉ lệ):

$\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}=\frac{y_3}{x_3}=\mathrm{...}=a$

• Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:

$\frac{y_1}{y_2}=\frac{x_1}{x_2};\frac{y_1}{y_3}=\frac{x_1}{x_3};\frac{y_2}{y_3}=\frac{x_2}{x_3};\mathrm{...}$

Ví dụ: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:

Hướng dẫn giải:

Ta có: x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên y = a . x

Khi x = 2 thì y = -4 nên ta có $a=\frac{y}{x}=\frac{-4}{2}=-2$

Vậy y tỉ lệ thuận với x theo tỉ số -2, hay y = -2 . x

Từ đó:

Với x = -3 thì y = (-2).(-3) = 6

Với x = -1 thì y = (-2).(-1) =2

Với x = 1 thì y = (-2).1 = -2

Với x= 5 thì y = (-2).5 = -10

Vậy ta có bảng sau:

2. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận

Để giải toán về đại lượng tỉ lệ thuận, ta cần nhận biết hai đại lượng tỉ lệ thuận trong bài toán. Từ đó ta có thể lập các tỉ số bằng nhau và dựa vào tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm các yếu tố chưa biết.

Ví dụ:

Học sinh của ba lớp 7 cần phải trồng và chăm sóc 24 cây xanh. Lớp 7A có 32 học sinh, lớp 7B có 28 học sinh, lớp 7C có 36 học sinh. Hỏi mỗi lớp phải trồng và chăm sóc bao nhiêu cây xanh biết rằng số cây xanh tỉ lệ với số học sinh?

Hướng dẫn giải:

Gọi số cây trồng của các lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là x, y, z (cây) (x; y; z $\in {\mathbb{N}}^{*}$; x; y; z < 24)

Số cây xanh tỉ lệ với số học sinh nghĩa là x : y : z = 32 : 28 : 36, hay $\frac{x}{32}=\frac{y}{28}=\frac{z}{36}$

Tổng số cây xanh phải chăm sóc là 24 cây nghĩa là x + y + z = 24.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{32}=\frac{y}{28}=\frac{z}{36}=\frac{x+y+z}{32+28+36}=\frac{24}{96}=\frac{1}{4}$

Vậy:

$\frac{x}{32}=\frac{1}{4}\Rightarrow x=32.\frac{1}{4}=8$

$\frac{y}{28}=\frac{1}{4}\Rightarrow y=28.\frac{1}{4}=7$

$\frac{z}{36}=\frac{1}{4}\Rightarrow z=36.\frac{1}{4}=9$

Vậy số cây trồng của các lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự là 8, 7, 9 (cây).

Bài tập Đại lượng tỉ lệ thuận

Bài 1. Cho biết y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a = $-\frac{3}{5}$. Hỏi x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ nào?

Hướng dẫn giải:

Ta có y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a = $-\frac{3}{5}$⇒ y = $-\frac{3}{5}$. x

⇒ x = $-\frac{5}{3}$ . y Hay x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là $-\frac{5}{3}$ .

Bài 2. Hai đại lượng x và y có tỉ lệ thuận với nhau hay không nếu:

a)

x	1	2	3	4	5
y	9	18	27	36	45

b)

x	1	2	5	6	9
y	12	24	60	72	90

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\frac{x}{y}=\frac{1}{9}=\frac{2}{18}=\frac{3}{27}=\frac{4}{36}=\frac{5}{45}$

⇒ y = 9x

Vậy x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

b) Ta có:

$\frac{1}{12}=\frac{2}{24}=\frac{5}{60}=\frac{6}{72}\ne \frac{9}{90}$

Do đó, hai đại lượng x và y không tỉ lệ thuận với nhau.

Bài 3. Gọi x, y, z theo thứ tự là số vòng quay của kim giờ, kim phút và kim giây trong cùng một thời gian. Tìm hệ số tỉ lệ của z đối với x.

Hướng dẫn giải:

Trên đồng hồ có 12 số chia mặt đồng hồ thành 12 khoảng bằng nhau.

Khi kim phút quay được một vòng thì kim giờ quay được một khoảng. Do đó, khi kim phút quay được 12 vòng thì kim giờ quay được một vòng.

Vậy y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ là 12 tức là y = 12x.

Khi kim giây quay được 60 vòng thì kim phút quay được một vòng. Do đó, z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ là 60 tức là z = 60y.

Suy ra, z = 60y = 60 . 12x = 720x

Vậy z tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ là 720.

Bài 4. Hạnh và Vân định làm mứt dẻo từ 2,5kg dâu. Theo công thức, cứ 2kg dâu thì cần 3kg đường. Hạnh bảo cần 3,75kg đường còn Vân bảo cần 3,25kg. Theo em ai đúng và vì sao?

Hướng dẫn giải:

Gọi khối lượng đường là y (kg), khối lượng dâu là x (kg). (x, y > 0)

Vì khối lượng đường tỉ lệ thuận với khối lượng dâu nên ta có y = ax

Theo điều kiện đề bài x = 2 thì y = 3 suy ra 3 = a . 2 hay $a=\frac{3}{2}$.

Do đó: $y=\frac{3}{2}x$

Khi x = 2,5kg thì $y=\frac{3}{2}.2,5=3,75$(kg).

Vậy khi làm 2,5kg dâu thì cần 3,75kg đường, tức là Hạnh nói đúng.

B. Trắc nghiệm Đại lượng tỉ lệ thuận (Kết nối tri thức 2023) có đáp án

Câu 1. Cho biết đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a ( a khác 0) . Hãy biểu diễn y theo x.

A. x = ay;

B. y = –ax;

C. y = ax;

D. y = x.

Hướng dẫn giải

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a nên y liên hệ với x theo công thức y = ax với a khác 0.

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 2. Chọn câu đúng. Nếu y = ax ( a khác 0 ) thì ta nói

A. y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a;

B. x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ a;

C. a tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ y;

D. a tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ x.

Hướng dẫn giải

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a nên y liên hệ với x theo công thức y = ax với a khác 0.

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 3. Chọn câu đúng. Nếu y = 3x thì ta nói

A. y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ 3;

B. y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ 3;

C. y không tỉ lệ thuận với x;

D. Không kết luận được điều gì về x và y.

Hướng dẫn giải

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = ax với a khác 0 thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a ( nhận biết đại lượng tỉ lệ thuận).

Như vậy nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = 3x thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ 3.

Vậy chọn đáp án A.

Câu 4. Cho biết đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ –$\frac{1}{2}$. Hãy biểu diễn y theo x.

A. y = –2x;

B. y = –$\frac{1}{2}$x;

C. y = 2x;

D. y = $\frac{1}{2}$x.

Hướng dẫn giải

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a thì đại lượng x cũng tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ $\frac{\text{1}}{\text{a}}$.

Như vậy y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ –2 thì đại lượng x cũng tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ –$\frac{1}{2}$.

Khi y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ –2 thì ta biểu diễn y theo x qua công thức y = –2x.

Vậy đáp án A đúng.

Câu 5. Chọn câu sai. Nếu y = 2x thì ta nói

A. y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ 2;

B. x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ $\frac{1}{2}$;

C. Cả A và B đều đúng;

D. Cả A và B đều sai.

Hướng dẫn giải

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = 2x thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ 2. Khẳng định A đúng.

Khi y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ 2 thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ $\frac{1}{2}$. Khẳng định B đúng.

Như vậy khẳng định C đúng. Khẳng định D sai.

Chọn đáp án D.

II. Thông hiểu

Câu 1. Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Khi x = 3 thì y = 6. Khi y = 10 thì giá trị tương ứng của x là

A. 20;

B. 3;

C. 5;

D. Không đáp án nào đúng.

Hướng dẫn giải

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Do x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có thể biểu diễn y theo x qua công thức:

y = ax với a khác 0.

Khi x = 3 thì y = 6. Như vậy a = y : x = 6 : 3 = 2.

Ta được công thức biểu diễn y theo x là: y = 2x.

Khi y = 10 thì 2x = 10. Suy ra x = 5.

Vậy khi y = 10 thì giá trị tương ứng của x là 5.

Chọn đáp án C.

Câu 2. Cho biết đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ $\frac{-1}{3}$. Cặp giá trị nào thỏa mãn trong các cặp giá trị tương ứng với hai đại lượng đã cho sau đây:

A. x = 1, y = –3;

B. x = 2, y = 3;

C. x = –3, y = 1 ;

D. x = 3, y = 1.

Hướng dẫn giải

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ $\frac{-1}{3}$ nên ta biểu diễn x theo y qua công thức x = $\frac{-1}{3}$y .

Ta có 1 = $\frac{-1}{3}$.(–3) đúng với công thức x = $\frac{-1}{3}$y  nên cặp x = 1, y = –3 thỏa mãn. Đáp án A đúng.

Ta có 2 ≠ $\frac{-1}{3}$ . 3 không thỏa mãn công thức x = $\frac{-1}{3}$y  nên cặp x = 2, y = 3 không thỏa mãn. Đáp án B sai.

Ta có –3 ≠ $\frac{-1}{3}$ . 1 không thỏa mãn công thức x = $\frac{-1}{3}$y  nên cặp x = –3, y = 1 không thỏa mãn. Đáp án C sai.

Ta có 3 ≠ $\frac{-1}{3}$ . 1 không thỏa mãn công thức x = $\frac{-1}{3}$y  nên cặp x = 3, y = 1 không thỏa mãn. Đáp án D sai.

Vậy chọn đáp án A.

Câu 3. Giả sử x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận trong đó x₁, x₂ là hai giá trị khác nhau của x và y₁, y₂ là hai giá trị của y. Tính x₁ biết x₂ = 3, y₁ = 7, y₂ = 9.

A. 21;

B. $\frac{7}{3}$;

C. $\frac{3}{7}$;

D. 14.

Hướng dẫn giải

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên có thể biểu diễn y theo x qua công thức

y = ax với a khác 0.

Thay x₂ = 3 và y₂ = 9 vào công thức y = ax ta được 9 = 3a. Suy ra a = 3.

Viết lại công thức y = 3x.

Như vậy y₁ = 3x₁ nên x₁ = y₁ : 3 = $\frac{7}{3}$.

Vậy x₁ = $\frac{7}{3}$. Chọn đáp án B.

Câu 4. Giả sử x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận x1 , x2 là hai giá trị khác nhau của x có tổng bằng 7 và y1 , y2 là hai giá trị của y có tổng bằng 21. Biểu diễn y theo x.

A. y = –3x;

B. y = $\frac{1}{3}$ x;  

C. y = –$\frac{1}{3}$x;

D. y = 3x.

Hướng dẫn giải

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Do x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có thể biểu diễn y theo x qua công thức

y = ax.

Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có: $\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: $\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}=\frac{y_1+y_2}{x_1+x_2}=\frac{21}{7}=3$

Suy ra a = 3 nên ta có hàm số y = 3x.

Vậy chọn đáp án D.

Câu 5. Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận theo hệ số k. Khi x = 32 thì y = 8. Công thức biểu diễn y theo x là:

A. y = –4x;

B. y = 4x;

C. y = x;

D. y = –x.

Hướng dẫn giải

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Do x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta biểu diễn y theo x qua công thức y = ax với a khác 0.

Thay x = 32 và y = 8 vào công thức y = ax ta được: 8 = 32a

Suy ra a = $\frac{1}{4}$.

Như vậy ta được công thức biểu diễn y theo x là y = $\frac{1}{4}$x.

Chọn đáp án C.

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 23: Đại lượng tỉ lệ nghịch

Lý thuyết Ôn tập Chương 6

Lý thuyết Bài 24: Biểu thức đại số

Lý thuyết Bài 25: Đa thức một biến

Lý thuyết Bài 26: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến