Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Lý thuyết Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên – Toán lớp 7 Kết nối tri thức

    Với lý thuyết Toán lớp 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 7.

    1 771 29/03/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    A. Lý thuyết Toán 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên - Kết nối tri thức

    1. Khái niệm đường vuông góc và đường xiên

    Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, kẻ đường thẳng vuông góc với d tại H. Lấy một điểm M trên d (M khác H), kẻ đoạn thẳng AM.

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên (ảnh 1)

    Trong hình trên đây:

    + Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

    + H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống d.

    + Đoạn thẳng AM là một đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng d.

    2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

    Định lí: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.

    Ví dụ: Từ một điểm A nằm ngoài đường thẳng d, kẻ AH vuông góc với d và H nằm trên đường thẳng d. Lấy bất kì ba điểm B, C, D thuộc đường thẳng d và không trùng với H. So sánh độ dài đoạn AH và các đoạn AB, AC, AD.

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên (ảnh 2)

    Trong hình vẽ trên đây, AH được gọi là đường vuông góc và AB, AC, AD lần lượt là các đường xiên.

    Theo định lí 1 ta suy ra đươc trong các đoạn thẳng MH, MA, MB, MC thì MH là đường ngắn nhất hay AH < AB, AH < AC, AH < AD.

    Chú ý: Vì độ dài đoạn thẳng AH là ngắn nhất trong các đoạn thẳng kẻ từ A đến d nên độ dài đoạn thẳng AH được gọi là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d.

    Bài tập Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

    Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Chứng minh rằng khoảng cách từ B đến đường thẳng AC bằng khoảng cách từ C đến đường thẳng AB.

    Hướng dẫn giải

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên (ảnh 3)

    Kẻ BD ⊥ AC; CE ⊥ AB (D ∈ AC, E ∈ AB).

    Xét ∆ADB và ∆AEC có:

    A^ chung

    ADB^=AEC^=90°

    AB = AC (do tam giác ABC cân tại A).

    Do đó ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền – góc nhọn).

    Suy ra BD = CE (hai cạnh tương ứng) (đpcm).

    Bài 2: Cho hai điểm phân biệt A, B ở cùng phía đối với đường thẳng d (A, B không thuộc d). Chứng minh rằng nếu A, B có cùng khoảng cách đến đường thẳng d thì AB song song với d.

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên (ảnh 4)

    Hướng dẫn giải

    Kẻ AC, BD vuông góc với d nên suy ra được AC // BD.

    Suy ra CAD^=BDA^(hai góc ở vị trí so le trong)

    Theo giả thiết ta có: AC = BD

    Xét ∆ACD và ∆DBA có:

    AD là cạnh chung

    CAD^=BDA^(cmt)

    AC = BD (giả thiết)

    Do đó ∆ACD = ∆DBA (g.c.g).

    Suy ra ADC^=DAB^(hai góc tương ứng)

    Mà ADC^và DAB^ở vị trí so le trong.

    Do đó AB // CD hay AB // d (đpcm).

    Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A và một điểm M thuộc đoạn thẳng BC, M khác B và C. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ điểm M đến các đường thẳng AB, AC là một số không đổi.

    Hướng dẫn giải

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên (ảnh 5)

    Gọi BG và CH là đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC.

    Gọi MD, ME lần lượt là khoảng cách từ M đến AB và AC.

    Kẻ MF song song với cạnh AC (F thuộc AB)

    MF giao với BG tại điểm I.

    Tương tự cách làm của Bài 1 thì ta dễ dàng suy ra được: BG = CH (4)

    Tổng khoảng cách từ M đến AB và AC là MD + ME (1)

    Ta có:

    +) BG và ME cùng vuông góc với AC nên suy ra ME // BG hay ME // IG

    Lại có: MF song song với AC hay MI // EG

    Nên suy ra MIGE là hình chữ nhật. Từ đó ta có ME = IG (2)

    +) Tam giác FBM cân tại F do hai góc B và M bằng nhau.

    Với MD là khoảng cách từ M đến FB và BI là khoảng cách từ điểm B đến FM.

    Chứng minh tương tự Bài 1, ta dễ dàng suy ra được MD = BI (3)

    Từ (1), (2), (3), (4) nên suy ra: MD + ME = BI + IG = BG = CH.

    Vậy suy ra tổng khoảng cách từ M đến AB và AC chính bằng khoảng cách từ C đến AB nên không đổi (đpcm).

    Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

    Lý thuyết Bài 33: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

    Lý thuyết Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác

    Lý thuyết Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

    Lý thuyết Ôn tập Chương 9

    Lý thuyết Bài 36: Hình hộp chữ nhật và hình lập phương

    Tham khảo các loạt bài Toán 7 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 771 29/03/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: