Lý thuyết Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng – Toán lớp 7 Kết nối tri thức

A.   Lý thuyết Toán 7 Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng - Kết nối tri thức

1. Tam giác cân và tính chất

• Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Ví dụ: Trong hình dưới đây, $\Delta ABC$có cạnh AB = AC được gọi là tam giác cân tại đỉnh A, hai cạnh AB và AC là hai cạnh bên, BC là cạnh đáy, $\hat{B}$và $\hat{C}$là hai góc ở đáy, $\hat{A}$ là góc ở đỉnh.

• Tính chất:

+ Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

+ Tam giác có hai góc ở đáy bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Ví dụ: Tam giác ABC cân tại A thì $\hat{B}$=$\hat{C}$. Ngược lại, tam giác ABC có $\hat{B}$=$\hat{C}$thì tam giác ABC cân tại A.

Chú ý:

• Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. Khi đó ba góc cũng bằng nhau và bằng 60°.

Ví dụ: Tam giác ABC có AB = AC = BC thì tam giác ABC được gọi là tam giác đều. Tam giác ABC đều có $\hat{A}$= $\hat{B}$=$\hat{C}$= 60°.

• Một tam giác có ba cạnh hoặc ba góc bằng nhau thì tam giác ấy là tam giác đều.

• Tam giác cân có 1 góc bằng 60° thì tam giác ấy là tam giác đều.

2. Đường trung trực của một đoạn thẳng

• Định nghĩa: Đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Ví dụ: Đường thẳng d vuông góc với đoạn AB tại M và M là trung điểm của AB. Khi đó d được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

• Đường trung trực của đoạn thẳng cũng là trục đối xứng của đoạn thẳng đó.

• Tính chất: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Ví dụ: Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB và D ∈ d.

Khi đó DA = DB.

• Đường trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Chú ý:

• Cách vẽ đường trung trực của đoạn thẳng bằng compa và thước thẳng.

Chẳng hạn: Vẽ đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB như sau:

+ Vẽ đoạn thẳng AB;

+ Lấy A làm tâm, vẽ cung tròn (bán kính lớn hơn $\frac{AB}{2}$). Sau đó lấy B làm tâm, vẽ cung tròn cùng bán kính sao cho hai cung này cắt nhau tại hai điểm M và N;

+ Dùng thước thẳng vẽ đường thẳng đi qua M và N. Đường thẳng đó là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài tập Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BH và CK lần lượt vuông góc với AC và AB (H ∈ AC; K ∈ AB). Chứng minh rằng BH = CK.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác BHA (vuông tại H) và tam giác CKA (vuông tại K) có:

AB = AC ($\Delta ABC$ cân tại A)

$\hat{A}$ là góc chung

⇒ $\Delta BHA=\Delta CKA$ (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ BH = CK (hai cạnh tương ứng)

Vậy BH = CK (đpcm).

Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A. I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh AI vuông góc với BC và AI là tia phân giác của góc BAC.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác AIB và tam giác AIC có:

AB = AC ($\Delta ABC$ cân tại A)

BI = CI (theo giả thiết)

AI là cạnh chung

⇒ $\Delta AIB=\Delta AIC$ (c.c.c)

⇒ $\widehat{AIB}=\widehat{AIC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180°$

⇒ $\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=90°$

⇒ AI ⊥ BC (đpcm)

Vì $\Delta AIB=\Delta AIC$ (chứng minh trên)

⇒ $\widehat{IAB}=\widehat{IAC}$ (hai góc tương ứng)

⇒ AI là tia phân giác của góc BAC (đpcm).

Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh tam giác ADE là tam giác cân.

Hướng dẫn giải

$\Delta ABC$ cân tại A ⇒ $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (tính chất)

Mà: $\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=180°$ (hai góc kề bù)

$\widehat{ACB}+\widehat{ACE}=180°$ (hai góc kề bù)

Do đó, $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$

Xét tam giác ADB và tam giác AEC có:

AB = AC ($\Delta ABC$ cân tại A)

$\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (chứng minh trên)

BD = CE (theo giả thiết)

⇒ $\Delta ADB=\Delta AEC$ (c.g.c)

⇒ AD = AE (hai cạnh tương ứng)

⇒ $\Delta ADE$ cân tại A (đpcm).

Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A có AH là đường phân giác của góc BAC (H ∈ BC). Chứng minh AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABH và tam giác ACH có:

AB = AC ($\Delta ABC$ cân tại A)

$\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (AH là đường phân giác của $\widehat{BAC}$)

AH là cạnh chung

⇒ $\Delta ABH=\Delta ACH$ (c.g.c)

⇒ HB = HC (hai cạnh tương ứng) (1)

Và $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180°$ (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90°$ ⇒ AH ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) ⇒AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC (đpcm).

B. Trắc nghiệm Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng (Kết nối tri thức 2023) có đáp án

I. Nhận biết

Câu 1. Phát biểu nào sau đây đúng nhất?

A. Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau;                   

B. Một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân;                    

C. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau;                    

D. Cả A, B, C đều đúng.

Hướng dẫn giải

Câu 2. Đường trung trực của một đoạn thẳng là:

A. Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó;                       

B. Đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó;               

C. Đường thẳng vừa đi qua trung điểm, vừa vuông góc với đoạn thẳng đó;                    

D. Đường thẳng song song với đoạn thẳng đó.

Hướng dẫn giải

Câu 3. Cho ∆ABC có AB = BC = 5 cm và $\widehat{C}=60°$C XXXv
. Khi đó ∆ABC là:

A. Tam giác đều;              

B. Tam giác cân tại A;                 

C. Tam giác cân tại B;                 

D. Tam giác vuông cân.

Hướng dẫn giải

Câu 4. Cho P là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng CD. Kết luận nào sau đây đúng?

A. P là trung điểm của CD;                   

B. PC = PD;             

C. DP = DC;            

D. CP = CD.

Hướng dẫn giải

Câu 5. Cho ∆MNP cân tại M và $\widehat{M}=80°$. Số đo của $\widehat{N}$ bằng:

A. 40°;                      

B. 100°;                   

C. 50°;                      

D. 90°.

Hướng dẫn giải

II. Thông hiểu

Câu 1. Cho đoạn thẳng CD. Gọi A là trung điểm của CD. Kẻ một đường thẳng vuông góc với CD tại A. Trên đường thẳng đó, lấy điểm B sao cho $\widehat{BCD}=60°$. Khi đó ∆BCD là tam giác gì?

A. Tam giác tù;                  

B. Tam giác đều;              

C. Tam giác vuông cân;              

D. Tam giác vuông.

Hướng dẫn giải

Câu 2. Cho ∆ABC cân tại A. Lấy điểm D ∈ AC, E ∈ AB sao cho AD = AE. Gọi I là giao điểm của BD và CE. Kết luận nào sau đây đúng nhất?

A. AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC;                 

B. ∆IBC cân tại I;              

C. Cả A và B đều đúng;              

D. Cả A và B đều sai.

Hướng dẫn giải

Câu 3. Cho ∆ABC vuông tại A có hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC cắt nhau tại D. Vị trí của điểm D là:

A. D là trung điểm BC;   

B. D là trung điểm của AB;                   

C. D là trung điểm của AC;                   

D. D là điểm trong tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Câu 4. Cho ∆ABC có $\widehat{B}=2\widehat{C}$. Kẻ đường phân giác BD, từ D kẻ DE //BC (E ∈ AB). Số tam giác cân là:

A. 0;              

B. 1;              

C. 2;              

D. 3.

Hướng dẫn giải

Câu 5. Cho $\widehat{xOy}$ khác góc bẹt, từ một điểm M trên tia phân giác của $\widehat{xOy}$. Từ M kẻ MA vuông góc với Ox và MB vuông góc với Oy. Phát biểu nào dưới đây là sai?

A. M cách đều hai cạnh của góc $\widehat{xOy}$;                      

B. ∆OAB đều;                    

C. OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB;               

D. ∆MAB cân tại M.

Hướng dẫn giải

Câu 6. Cho ∆ABC đều. Lấy các điểm D, E, F lần lượt trên các cạnh AB, BC, CA sao cho AD = BE = CF. Khi đó ∆DEF là:

A. Tam giác cân;               

B. Tam giác đều;              

C. Tam giác vuông;                      

D. Tam giác vuông cân.

Hướng dẫn giải

Câu 7. Cho ∆ABC vuông tại A, AB < AC. Tia phân giác của  cắt AC tại E. Từ E kẻ ED vuông góc với BC tại D. Kết luận nào sau đây đúng nhất?

A. ∆ABE = ∆DBE;             

B. ∆BAD cân tại B;                       

C. BE là đường trung trực của đoạn thẳng AD;                

D. Cả A, B, C đều đúng.

Hướng dẫn giải

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Lý thuyết Ôn tập chương 4

Lý thuyết Bài 17: Thu thập và phân loại dữ liệu

Lý thuyết Bài 18: Biểu đồ hình quạt tròn

Lý thuyết Bài 19: Biểu đồ đoạn thẳng