Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Lý thuyết Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác – Toán lớp 7 Kết nối tri thức

    Với lý thuyết Toán lớp 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 7.

    1 1,184 29/03/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    A. Lý thuyết Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác - Kết nối tri thức

    1. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác

    a) Đường trung tuyến của tam giác

    Trong hình dưới đây, đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC) của tam giác ABC.

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác (ảnh 1)

    b) Sự đồng quy của ba đường trung tuyến

    Định lí 1: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (hay đồng quy tại một điểm). Điểm đó cách mổi đỉnh một khoảng bằng 23 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

    Ví dụ: Trong tam giác ABC có các đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại điểm G.

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác (ảnh 2)

    Ta có: GAMA=GBNB=GCPC=23.

    Chú ý: Điểm đồng quy của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm tam giác.

    Ví dụ: Tam giác ABC có các đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại điểm G.

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác (ảnh 3)

    Khi đó, G được gọi là trọng tâm tam giác ABC.

    2. Sự đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác

    a) Đường phân giác của tam giác

    Trong hình dưới đây, cho tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D thì đoạn thẳng AD được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC.

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác (ảnh 4)

    b) Sự đồng quy của ba đường phân giác

    Định lí 2: Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

    Ví dụ: Trong tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF đồng quy tại điểm O.

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác (ảnh 5)

    Ta có: OI = OJ = OK.

    Bài tập Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác

    Bài 1: Gọi M là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC và D là điểm sao cho M là trung điểm của AD. Đường thẳng qua D và trung điểm của AB cắt BC tại U, đường thẳng qua D và trung điểm của AC cắt BC tại V. Chứng minh BU = UV = VC.

    Hướng dẫn giải

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác (ảnh 6)

    +) Tam giác BAC có M là trung điểm của BC nên suy ra MB = MC (1)

    +) Xét tam giác ABD có U là giao của 2 đường trung tuyến BM và DE nên U là trọng tâm tam giác ABD.

    Áp dụng định lí 1 ta có: BUMB=23⇒BU=23MB (2)

    Từ đó ta có: UM=BM−BU=MB−23MB=13MB (3)

    +) Xét tam giác ACD có V là giao của 2 đường trung tuyến CM và DF nên V là trọng tâm tam giác AVD

    Áp dụng định lí 1 ta có: VCMC=23⇒VC=23MC (4)

    Từ đó ta có: MV=CM−VC=MC−23MC=13MC (5)

    Từ (1), (3), (5) ta có:

    UV=UM+MV=13MB+13MC=23MB (6)

    Từ (1), (2), (4), (6) ta có: BU=UV=VC=23MB .

    Vậy BU = UV = VC (đpcm).

    Bài 2: Tam giác ABC có AD, BE là hai đường phân giác và BAC^=120° . Chứng minh rằng DE là tia phân giác của góc ADC.

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác (ảnh 7)

    Hướng dẫn giải

    Gọi Ax là tia đối của tia AB thì ba góc BAD, DAC, CAx có cùng số đo 60º.

    Hạ EH ⏊ Bx, EI ⏊ AD, EK ⏊ BC

    Ta có: Vì BE là phân giác góc ABC nên suy ra EH = EK (Áp dụng định lí 2)

    Vì AE là phân giác góc DAx nên suy ra EH = EI (Áp dụng định lí 2)

    Suy ra EK = EI hay E nằm trên tia phân giác của ADC

    Vậy suy ra DE là đường phân giác của góc ADC (đpcm).

    Bài 3: Cho tam giác ABC với M là trung điểm của BC. Lấy điểm N sao cho C là trung điểm của đoạn thẳng BN. Lấy điểm P sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AP. Chứng minh đường thẳng AC đi qua trung điểm của PN, đường thẳng PC đi qua trung điểm của AN.

    Hướng dẫn giải

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác (ảnh 8)

    Trong tam giác ANP có đường trung tuyến NM và NC = BC = 2CM nên C là trọng tâm của tam giác ANP.

    Vậy AC, PC là hai đường tung tuyến của tam giác ANP

    Vì thế suy ra AC đi qua trung điểm của PN và PC đi qua trung điểm của AN.

    Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

    Lý thuyết Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

    Lý thuyết Ôn tập Chương 9

    Lý thuyết Bài 36: Hình hộp chữ nhật và hình lập phương

    Lý thuyết Bài 37: Hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác

    Lý thuyết Ôn tập Chương 10

    Tham khảo các loạt bài Toán 7 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 1,184 29/03/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: