Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Lý thuyết Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác – Toán lớp 7 Kết nối tri thức

    Với lý thuyết Toán lớp 7 Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 7.

    1 1,086 29/03/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    A. Lý thuyết Toán 7 Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác - Kết nối tri thức

    1. Sự đồng quy của ba đường trung trực trong một tam giác

    a) Đường trung trực của tam giác

    Trong tam giác ABC, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác. Ở hình dưới đây, a là đường trung trực ứng với cạnh BC của tam giác ABC.

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác (ảnh 1)

    b) Sự đồng quy của ba đường trung trực

    Định lí 1: Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.

    Ví dụ: Trong tam giác ABC có các đường trung trực a, b, c đồng quy tại điểm O.

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác (ảnh 2)

    Khi đó: OA = OB = OC.

    Nhận xét: Vì giao điểm O của ba đường trung trực trong tam giác ABC cách đều ba đỉnh của tam giác đó (OA = OB = OC) nên có một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A, B, C.

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác (ảnh 3)

    2. Sự đồng quy của ba đường cao trong tam giác

    a) Đường cao của tam giác

    Trong hình dưới đây, đoạn thẳng AH kẻ từ đỉnh A, vuông góc với cạnh đối diện BC là một đường cao của tam giác ABC. Ta còn nói AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A (hay đường cao ứng với cạnh BC).

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác (ảnh 4)

    b) Sự đồng quy của ba đường cao

    Định lí 2: Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm.

    Ví dụ: Trong tam giác ABC có các đường cao AI, BJ, CK đồng quy tại điểm H.

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác (ảnh 5)

    Chú ý:

    - Điểm đồng quy của ba đường cao của một tam giác gọi là trực tâm của tam giác đó.

    Ví dụ:Cho tam giác ABC có các đường cao AI, BJ, CK đồng quy tại điểm H.

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác (ảnh 6)

    Khi đó, H được gọi là trực tâm của tam giác ABC.

    - Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, ta có:

    +) Khi ABC là tam giác nhọn thì H nằm bên trong tam giác.

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác (ảnh 7)

    +) Khi ABC là tam giác vuông thì H trùng với A (kí hiệu H ≡ A).

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác (ảnh 8)

    +) Khi ABC là tam giác tù thì H nằm bên ngoài tam giác.

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác (ảnh 9)

    Bài tập Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

    Bài 1: Cho tam giác ABC vuông. Kẻ đường thẳng vuông góc với cạnh huyền BC của tam giác ABC tại điểm D không thuộc đoạn BC. Nó cắt đường thẳng chứa cạnh AB tại E và cắt đường thẳng chứa cạnh AC tại F. Xác định trực tâm của tam giác BEF.

    Hướng dẫn giải

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác (ảnh 10)

    Trong tam giác BEF, đường cao xuất phát từ B là đường thẳng BD, đường cao xuất phát từ F là đường thẳng FA.

    Hai đường cao BD và FA cắt nhau tại C.

    Vậy suy ra C là trực tâm của tam giác BEF.

    Bài 2: Cho P là một điểm nằm trong góc nhọn xOy. Gọi M là điểm sao cho Ox là đường trung trực của đoạn thẳng PM, gọi N là điểm sao cho Oy là đường trung trực của đoạn thẳng PN. Đường thẳng MN cắt Ox tại R, cắt Oy tại S. Chứng minh tia PO là tia phân giác của góc RPS.

    Hướng dẫn giải

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác (ảnh 11)

    Tam giác OPM là tam giác cân tại O (Vì Ox là đường trung trực của đoạn thẳng PM)

    Suy ra OPM^=OMP^ (1) và OM = OP.

    Lại có tam giác RPM là tam giác cân tại R (Vì Ox, hay chính là Rx là đường trung trực của đoạn thẳng PM).

    Suy ra RPM^=RMP^ (2)

    Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta có:

    OPM^−RPM^=OMP^−RMP^

    Hay OPR^=OMR^(*)

    Tương tự ta có tam giác OPN là tam giác cân tại O (Vì Oy là đường trung trực của đoạn thẳng PN)

    Suy ra OPN^=ONP^ (3) và ON = OP.

    Lại có tam giác SPN là tam giác cân tại R (Vì Oy, hay chính là Sy là đường trung trực của đoạn thẳng PN).

    Suy ra SPN^=SNP^ (4)

    Trừ vế với vế của (3) cho (4) ta có:

    OPN^−SPN^=ONP^−SNP^.

    Hay OPS^=ONS^(**)

    Vì OM = ON (= OP) nên tam giác OMN là tam giác cân tại O.

    Do đó: OMR^=ONS^(***)

    Từ (*), (**), (***) ta suy ra được OPR^=OPS^.

    Vậy suy ra PO là tia phân giác của góc RPS (đpcm).

    Bài 3: Gọi H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Khi AH = BC, hãy chứng minh BAC^=45°.

    Hướng dẫn giải

    Lý thuyết Toán 7 Kết nối tri thức Bài 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác (ảnh 12)

    Gọi BJ là đường cao xuất phát từ B của tam giác ABC.

    Xét hai tam giác AHJ và tam giác BCJ có:

    AH = BC (gt)

    AJH^=BJC^=90°

    JAH^=JBC^ (cùng phụ với JBC^)

    Do đó ∆AHJ = ∆BCJ (cạnh huyền – góc nhọn)

    Suy ra AJ = BJ (hai cạnh tương ứng)

    Xét tam giác JAB vuông tại J và có AJ = BJ (cmt)

    Nên JAB là tam giác vuông cân tại J.

    Vậy BAJ^=BAC^=45°(đpcm).

    Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

    Lý thuyết Ôn tập Chương 9

    Lý thuyết Bài 36: Hình hộp chữ nhật và hình lập phương

    Lý thuyết Bài 37: Hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác

    Lý thuyết Ôn tập Chương 10

    Lý thuyết Bài 12: Tổng các góc trong một tam giác

    Tham khảo các loạt bài Toán 7 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 1,086 29/03/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: