Lý thuyết Định lí và chứng minh định lí Toán lớp 7 (Kết nối tri thức)

Lý thuyết Toán 7 Bài 11. Định lí và chứng minh định lí - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết

1. Định lí. Giả thiết và kết luận của định lí

• Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết. Mỗi định lí thường được phát biểu dưới dạng:

Nếu … thì …

+ Phần giữa từ “nếu” và từ “thì” là giả thiết của định lí.

+ Phần sau từ “thì” là kết luận của định lí.

Giả thiết, kết luận viết tắt tương ứng là GT và KL.

Ví dụ:

+ Định lí “Nếu hai góc đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau” được suy ra từ khẳng định đúng là “hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180°).

Giả thiết là: hai góc đối đỉnh

Kết luận là: hai góc đó bằng nhau.

Ta viết giả thiết và kết luận của định lý trên bằng kí hiệu như sau:

2. Chứng minh định lí

• Chứng minh một định lí là dùng lập luận để từ giả thiết và những khẳng định đúng đã biết suy ra kết luận của định lí.

Ví dụ:

+ Chứng minh định lí: “Nếu hai góc đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau” như sau:

Ta có: $\widehat{\mathrm{xOy}}$ + $\widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}$ = 180° (hai góc kề bù)

$\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{xOy}}$ = 180° − $\widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}$ (1)

Lại có: $\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{Oy}\text{'}}$+ $\widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}$ = 180° (hai góc kề bù)

$\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{Oy}\text{'}}$ = 180° − $\widehat{\mathrm{xOy}\text{'}}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{xOy}}$ = $\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{Oy}\text{'}}$ (đpcm)

B. Bài tập tự luyện

B1. Bài tập tự luận

Bài 1. Vẽ hình, viết giả thiết, kết luận và chứng minh định lí: “Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông”.

Hướng dẫn giải

Vì Px là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{aPy}}$ nên $\widehat{\mathrm{xPy}}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{aPy}}$

Vì Pz là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{yPb}}$ nên $\widehat{\mathrm{yPz}}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{yPb}}$

Nên $\widehat{\mathrm{xPy}}+\widehat{\mathrm{yPz}}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{aPy}}+\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{yPb}}=\frac{1}{2}\left(\widehat{\mathrm{aPy}}+\widehat{\mathrm{yPb}}\right)$

Mà ta có: $\widehat{\mathrm{aPy}}$ + $\widehat{\mathrm{yPb}}$ = 180° (hai góc kề bù)

Do đó: $\widehat{\mathrm{xPy}}+\widehat{\mathrm{yPz}}=\frac{1}{2}\cdot 180°=90°$

Mặt khác: $\widehat{\mathrm{xPy}}+\widehat{\mathrm{yPz}}=\widehat{\mathrm{xPz}}$

Vậy $\widehat{\mathrm{xPz}}=90°$, tức là $\widehat{\mathrm{xPz}}$ là góc vuông.

Bài 2. Cho hình vẽ dưới đây. Biết Ax song song với Cy.

Chứng minh rằng $\widehat{\mathrm{xAB}}+\widehat{\mathrm{BCy}}=\widehat{\mathrm{ABC}}$

Hướng dẫn giải

Qua B, kẻ đường thẳng mn song song với đường thẳng chứa tia Ax.

Vì $\text{Ax\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{mn}$ nên $\widehat{\mathrm{xAB}}=\widehat{{\mathrm{B}}_1}$ (hai góc so le trong) (1)

Vì $\text{Ax\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{mn}$ mà $\text{Ax\hspace{0.17em}//}\mathrm{Cy}$ (giả thiết)

Do đó: $\text{mn\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{Cy}$ (tính chất hai đường thẳng song song)

Vì $\text{mn\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{Cy}$ nên $\widehat{\mathrm{BCy}}=\widehat{{\mathrm{B}}_2}$ (hai góc so le trong) (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat{\mathrm{xAB}}+\widehat{\mathrm{BCy}}=\widehat{{\mathrm{B}}_1}+\widehat{{\mathrm{B}}_2}$

Mà $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{{\mathrm{B}}_1}+\widehat{{\mathrm{B}}_2}$

Vậy $\widehat{\mathrm{xAB}}+\widehat{\mathrm{BCy}}=\widehat{\mathrm{ABC}}$ (đpcm)

Bài 3. Vẽ hình, viết giả thiết, kết luận và chứng minh định lí: “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”.

Hướng dẫn giải

Vì $\mathrm{xx}\text{'}\perp \mathrm{zz}\text{'}$ tại A nên $\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{AB}}=90°$

Vì $\mathrm{yy}\text{'}\perp \mathrm{zz}\text{'}$ tại B nên $\widehat{\mathrm{z}\text{'}\mathrm{By}\text{'}}=90°$

Nên $\widehat{\mathrm{x}\text{'}\mathrm{AB}}=\widehat{\mathrm{z}\text{'}\mathrm{By}\text{'}}=90°$

Mà hai góc ở vị trí đồng vị.

Do đó $\mathrm{xx}\text{'}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{yy}\text{'}$ (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

B2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 4. Cho định lí: “Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại”.

Hình vẽ minh hoạ cho định lí trên là:

A. Hình 1, Hình 2;

B. Hình 2, Hình 3;

C. Hình 3, Hình 4;

D. Hình 1, Hình 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hình 2 không thỏa mãn điều kiện hai đường thẳng song song nên loại phương án A, B.

Hình 4 không thỏa mãn điều kiện vuông góc với một trong hai đường thẳng nên loại phương án C.

Hình 1, 3 thỏa mãn cả hai điều kiện trên.

Vậy chọn phương án D.

Bài 5. Phát biểu định lí sau bằng lời.

A. Nếu đường thẳng t cắt hai đường thẳng m, n và trong số các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng m, n vuông góc với nhau;

B. Nếu đường thẳng t cắt hai đường thẳng m, n và trong số các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng m, n song song với nhau;

C. Nếu đường thẳng t cắt hai đường thẳng m, n và trong số các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng m, n song song với nhau;

D. Nếu đường thẳng t cắt hai đường thẳng m, n và trong số các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng m, n vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nếu một đường thẳng t cắt hai đường thẳng m, n và trong số các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng m, m song song với nhau.

Vậy chọn đáp án B.

Bài 6. Điền vào chỗ trống nội dung phù hợp.

A. kết luận;

B. khẳng định;

C. chứng minh;

D. Cả 3 đáp án đều đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phần nằm giữa từ “Nếu” và từ “thì” là phần giả thiết vậy phần nằm sau từ “thì” là phần kết luận.

Vậy chọn đáp án A.

Trắc nghiệm Toán 7 Bài 11: Định lí và chứng minh định lí

Câu 1. Định lý là

A. một khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết;

B. một khẳng định được suy ra từ những khẳng định không đúng đã biết;

C. một tính chất được suy ra từ những khẳng định đúng;

D. một tính chất được suy ra từ những khẳng định chưa biết.

Câu 2. Định lí thường được phát biểu dưới dạng:

A.Thì … là…;

B. Do … nên …,

C.Vì … nên …;

D. Nếu … thì ….

Câu 3. Trong định lý “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thứ ba thì chúng song song với nhau”, thì có

A. Giả thiết là “hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba”;

B. Giả thiết là “chúng song song với nhau”;

C. Giả thiết là “hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thứ ba thì chúng song song với nhau”;

D. Giả thiết là “hai đường thẳng phân biệt cùng song song”.

Câu 4. Chọn phát biểu sai.

A. Giả thiết của định lí là điều cho biết;

B. Kết luận của định lí là điều suy ra;

C.Giả thiết của định lí là điều suy ra;

D. Cả A và B đều đúng.

Câu 5. Điền vào chỗ trống những nội dung thích hợp để được định lí đúng.

Cho đoạn thẳng AB nếu M là trung điểm của AB thì ...

A. M thuộc AB;

B. M không thuộc AB và cách đều A, B;

C.M thuộc AB và cách đều A, B;

D. M không thuộc AB.

Câu 6. Điền vào chỗ trống nội dung thích hợp.

“Nếu Ot là tia phân giác của góc aOb thì….”

A. $\widehat{aOt}=\widehat{tOb}$ ;

B. $\widehat{aOb}=\widehat{tOb}$ ;

C. $\widehat{aOt}=\frac{1}{2}\widehat{aOb}$ ;

D. Đáp án A và C đúng.

Câu 7. Chọn câu trả lời đúng.

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì …

A. Hai góc kề bù bằng nhau;

B. Hai góc so le trong bằng nhau;

C. Hai góc trong cùng phía bằng nhau;

D. Hai góc kề nhau bằng nhau.

Câu 8. Cho định lí: “Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại”.

Hình vẽ minh hoạ cho định lí trên là:

A. Hình 1, Hình 2;

B. Hình 2, Hình 3;

C.Hình 3, Hình 4;

D. Hình 1, Hình 3.

Câu 9. “Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng khác thì hai đường thẳng đó song song với nhau”.

Hình vẽ minh hoạ cho định lí trên là:

A. Hình 1;

B. Hình 2;

C. Hình 3;

D.Hình 4.

Câu 10. Điền vào chỗ trống.

Nếu hai góc đối đỉnh thì ….

A. hai góc đó có tổng số đo bằng 180°;

B. hai góc đó có tổng số đo bằng 90^o;

C. hai góc đó bằng nhau;

D. hai góc đó không bằng nhau.

Câu 11. Trong định lí, phần nằm giữa từ “Nếu” và từ “thì” là phần?

A. giả thiết;

B. trả lời;

C. ý nghĩa;

D. định nghĩa.

Câu 12.Phát biểu định lí sau bằng lời.

A. Nếu đường thẳng t cắt hai đường thẳng m, n và trong số các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng m, n vuông góc với nhau;

B. Nếu đường thẳng t cắt hai đường thẳng m, n và trong số các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng m, n song song với nhau;

C. Nếu đường thẳng t cắt hai đường thẳng m, n và trong số các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng m, n song song với nhau;

D. Nếu đường thẳng t cắt hai đường thẳng m, n và trong số các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng m, n vuông góc với nhau.

Câu 13. “Nếu hai góc đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau”

Hình minh họa nội dung định lí trên là

A. Hình 1;

B. Hình 2;

C. Hình 3;

D. Hình 4.

Câu 14. Viết giả thiết, kết luận cho định lí sau:

“Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng phân biệt và trong số các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song với nhau.”

Câu 15.Điền vào chỗ trống nội dung phù hợp.

A. kết luận;

B. khẳng định;

C. chứng minh;

D. Cả 3 đáp án đều đúng.

Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai

Câu hỏi. Hình vẽ dưới đây biểu diễn bài toán: “Cho hai góc kề bù $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOz}$. Gọi Ot là tia phân giác của $\widehat{xOy}$. Trong góc $\widehat{yOz}$, vẽ tia Ot' vuông góc với tia Ot. Chứng minh Ot' là tia phân giác của $\widehat{zOy}$”.

Khi đó:

a) Giả thiết của bài toán là $\widehat{xOy}$ và $\widehat{yOz}$ là hai góc kề bù; Ot là tia phân giác của $\widehat{xOy}$.

b) Kết luận của bài toán là “Ot' là tia phân giác của $\widehat{zOy}$”.

c) $\widehat{xOt}=\widehat{tOy}.$

d) $\widehat{zO{t}^{\text{'}}}=\widehat{t^{\text{'}}Oy}.$

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Cho các khẳng định sau:

(I). Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.

(II). Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì tạo ra các cặp góc so le trong, cặp góc đồng vị bằng nhau.

(III). Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

(IV). Hai góc kề nhau thì tổng số đo là 180°.

Hỏi có bao nhiêu khẳng định không cho một định lí?

Câu 2. Cho hình vẽ với phần giả thiết sau: $a\cap b=\left\{A\right\};c\cap b=\left\{B\right\},\widehat{A_1}=\widehat{B_1}$.

Khi đó phát biểu thành lời được:

(1). Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành hai góc so le trong bù nhau thì hai đường thẳng đó song song.

(2). Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song.

(3). Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành hai góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song.

(4). Nếu hai đường thẳng cắt nhau một đường thẳng thứ ba tạo thành hai góc trong cùng kề nhau thì hai đường thẳng đó song song.

Hỏi khẳng định số mấy là khẳng định đúng trong câu trên?

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 3

Lý thuyết Bài 8. Góc ở vị trí đặc biệt. Tia phân giác của một góc

Lý thuyết Bài 9. Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết

Lý thuyết Bài 10. Tiên đề Euclid. Tính chất của hai đường thẳng song song

Lý thuyết Bài 6. Số vô tỉ. Căn bậc hai số học

Xem thêm tài liệu Toán lớp 7:

Trắc nghiệm Định lí và chứng minh định lí lớp 7

Giải Toán 7 Bài 11: Định lí và chứng minh định lí

Giải SBT Toán 7 Bài 11: Định lí và chứng minh định lí

Giáo án Định lí và chứng minh định lí lớp 7

Giáo án điện tử Định lí và chứng minh định lí lớp 7