Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:

a) AB² = BH . BC;

b) AH² = BH . HC;

c) AB . AC = AH . BC;

d) AC² = CH . BC.

*Lời giải:

a) Xét ∆ABH và ∆CBA có:

$\widehat{BHA}=\widehat{BAC}={90}^{\circ }$

$\widehat{ABC}$ chung.

Do đó  (g.g)

Suy ra $\frac{AB}{CB}=\frac{BH}{BA}$ (tỉ số đồng dạng)

Do đó AB² = BH . BC.

b) Vì tam giác AHC vuông tại H nên  $\widehat{HCA}+\widehat{HAC}={90}^{\circ }$(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Mà $\widehat{BAH}+\widehat{HAC}=\widehat{BAC}={90}^{\circ }$

Suy ra $\widehat{BAH}=\widehat{HCA}$

Xét ∆AHB và ∆CHA có:

$\widehat{BHA}=\widehat{AHC}={90}^{\circ }$

$\widehat{BAH}=\widehat{HCA}$(chứng minh trên)

Do đó  (g.g)

Suy ra $\frac{AH}{CH}=\frac{BH}{AH}$ (tỉ số đồng dạng)

Do đó AH² = BH . CH.

c) Ta có $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}AH.BC$

Suy ra AB . AC = AH . BC.

d) Xét ∆CAH và ∆CBA có:

$\widehat{CHA}=\widehat{BAC}={90}^{\circ }$.

$\widehat{ACB}$ chung.

Do đó  (g.g)

Suy ra $\frac{AC}{BC}=\frac{HC}{AC}$ (tỉ số đồng dạng)

Do đó AC² = CH . BC.

*Phương pháp giải:

Xét các tam giác đồng dạng

*Lý thuyết cần nắm

Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

$\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC};\widehat{A^{\prime }}=\hat{A},\widehat{B^{\prime }}=\hat{B},\widehat{C^{\prime }}=\hat{C}$

Kí hiệu: $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$ (viết theo thứ tự cặp đỉnh tương ứng).

Tỉ số $k=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}$ là tỉ số đồng dạng của $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với $\mathrm{\Delta }ABC$.

Nhận xét:

- $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$với tỉ số đồng dạng k thì $\mathrm{\Delta }ABC\backsim \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với tỉ số đồng dạng $\frac{1}{k}$. Ta nói hai tam giác A’B’C’ và ABC đồng dạng với nhau.

- Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau theo tỉ số đồng dạng k = 1. Mọi tam giác đồng dạng với chính nó.

- $\mathrm{\Delta }{A}^{″}{B}^{″}{C}^{″}\backsim \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với tỉ số đồng dạng k và $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC$ với tỉ số đồng dạng m thì $\mathrm{\Delta }{A}^{″}{B}^{″}{C}^{″}\backsim \mathrm{\Delta }ABC$ với tỉ số đồng dạng k.m.

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác là song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

$\mathrm{\Delta }ABC,MN//BC(M\in AB;N\in AC)\Rightarrow \mathrm{\Delta }AMN\backsim \mathrm{\Delta }ABC$

Chú ý. Định lí trên vẫn đúng nếu thay bằng đường thẳng cắt phần kéo dài của hai cạnh tam giác.

$ED//BC\Rightarrow \mathrm{\Delta }ADE\backsim \mathrm{\Delta }ABC$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Hai tam giác đồng dạng – Toán lớp 8 Kết nối tri thức 

Toán 8 Bài 33 (Kết nối tri thức): Hai tam giác đồng dạng