Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{4-x}$.

* Lời giải:

TXĐ: x ≠ 4, x ∈ ℝ

Ta có:

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x-2}{4-x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(-1+\frac{2}{4-x}\right)=-1$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-2}{4-x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-1+\frac{2}{4-x}\right)=-1$

Vậy đồ thị hàm số đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{4-x}$ có 1 tiệm cận ngang là y = –1.

* Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc giới hạn của hiệu

Áp dụng quy tắc giới hạn của tích với hằng số

Giới hạn của hằng số

Thay các giá trị đã biết

* Lý thuyết nắm thêm:

I. Đường tiệm cận ngang

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng $(a;+\infty );(-\infty ;b);$$\hspace{0.17em}(-\infty ;+\infty )$). Đường thẳng y = y₀ là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0;\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$

Ví dụ 1. Cho hàm số $y=\frac{x+\text{}2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}$.

Hàm số xác định trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 vì $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+\text{}2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}=0;$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+\text{}2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}=0\hspace{0.17em}$

II. Đường tiệm cận đứng

- Định nghĩa:

Đường thẳng x = x₀ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

- Ví dụ 2. Tìm đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x\text{\hspace{0.17em}}+2}{x-4}$.

Lời giải:

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+\text{}2}{x-4}=1;$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+\text{}2}{x-4}=1$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1.

Lại có: $\underset{x\to 4_{}^{+}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}{x-4}=+\infty ;$$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}{x-4}=-\infty ;$

Suy ra: đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 4.

Xem thêm một số bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Đường tiệm cận (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

50 bài tập về tiệm cận của đồ thị hàm số (có đáp án 2025) và cách giải