Cho a+b=1. Tìm GTNN của $a^3+b^3$

* Lời giải: 

* Phương pháp giải: 

Sử dụng bất đẳng thức (a+b)²≥4ab để tìm giá trị lớn nhất của ab.

Áp dụng hằng đẳng thức a³+b³=(a+b)³−3ab(a+b).

Thay giá trị lớn nhất của ab vào biểu thức a³+b³ để tìm giá trị nhỏ nhất.

Xác định điều kiện để dấu bằng xảy ra, từ đó tìm giá trị của a và b khi A đạt giá trị nhỏ nhất.

* Lý thuyết nắm thêm: 

Giải phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai.

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1,  (1)

- Nếu  a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1,  (2)

- Nếu không rơi vào trường hợp (1) và (2) thì tính ∆ = b2 – 4ac

+ ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: 

+ ∆ < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Lưu ý: Nếu b = 2bꞌ thì giải phương trình theo công thức nghiệm thu gọn

Ta có ∆ꞌ = (bꞌ)2 – ac

+ Nếu ∆ꞌ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ꞌ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:  

+ Nếu ∆ꞌ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

a. Dạng tổng quát bất đẳng thức cosi

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực không âm ta có:

Dạng 1: $\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n }\ge \sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}$

Dạng 2: x1 + x2 +...+xn $\ge n.\sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}$

Dạng 3: ${\left(\frac{x_{1 }+x_2+...+x_n}{n}\right)}^n\ge x_1.x_2...x_n$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =....= xn

Cho x₁, x₂, x₃ ,…, x_n là các số thực dương ta có:

Dạng 1:$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\ge \frac{n^2}{x_1+x_2+...+x_n}$

Dạng 2: (x1 + x2 + ... + xn) $(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n})\ge n^2$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán 9 Bài 19 (Kết nối tri thức): Phương trình bậc hai một ẩn

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, tìm GTLN - GTNN của biểu thức (2025 + Bài tập)