Cho hàm số $y=a{x}^3+cx+d, a\ne 0$ có $\underset{x\in (-\infty ; 0)}{min}f\left(x\right)=f(-2)$. Giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn $\left[1; 3\right]$ bằng

Đáp án đúng: B

* Lời giải:

Vì y = $a{x}^3+cx+d,a\ne 0$ là hàm số bậc ba và có $\underset{x\in \left(-\infty ;0\right)}{min}f\left(x\right)=f(-2)$ nên a < 0 và y' = 0   có hai nghiệm phân biệt.

Ta có  có hai nghiệm phân biệt $\iff$ ac < 0

Vậy với a < 0, c > 0 thì y' = 0 có hai nghiệm đối nhau 

Từ đó suy ra

$\iff$ c = -12a

Ta có bảng biến thiên

Ta suy ra 

* Phương pháp giải: 

Tìm đạo hàm và dùng điều kiện nghiệm của đạo hàm để liên hệ a và c

Sử dụng điểm cực trị để tìm ra c=−12a

Thay c vào biểu thức hàm số và dùng bảng biến thiên để xác định giá trị lớn nhất

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x0 thuộc D sao cho f(x0) = M. Kí hiệu $M=\underset{D}{\max }f\left(x\right)$

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x0 thuộc D sao cho f(x0) = m. Kí hiệu $m=\underset{D}{\min }f\left(x\right)$

Chú ý:

- Ta quy ước khi chỉ nói giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) (mà không cho rõ tập hợp D) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập xác định của nó.

- Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường được tìm bằng cách sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên.

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = −x3 + 3x + 1 trên khoảng (0; +∞).

Hướng dẫn giải

Ta có y' = −3x2 + 3; y' = 0 $\iff$ x = −1 (loại) hoặc x = 1 (nhận).

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy $\underset{\left(0;+\infty \right)}{\max }f\left(x\right)=f\left(1\right)=3$ và hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

* Các bước tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b].

Bước 1: Tìm các điểm x1; x2; …; xn thuộc khoảng (a; b) mà tại đó f'(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2: Tính f(a); f(x1); f(x2); …; f(xn); f(b).

Bước 3: Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: $M=\underset{\left(a;b\right)}{\max }f\left(x\right);m=\underset{\left(a;b\right)}{\min }f\left(x\right)$

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2+3}{x-1}$ trên đọan [2; 4].

Hướng dẫn giải

Với x $\in$ [2; 4]

Có $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{2x\left(x-1\right)-\left(x^2+3\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{{\left(x-1\right)}^2}$

Có f'(x) = 0 $\iff$ x2 – 2x – 3 = 0 $\iff$ x = −1 (loại) hoặc x = 3 (nhận).

Có f(2) = 7; f(3) = 6; f(4) = $\frac{19}{3}$

$\underset{\left[2;4\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(2\right)=7;\underset{\left[2;4\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(3\right)=6$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo

50 Bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 mới nhất