Lý thuyết Phương trình mặt cầu – Toán lớp 12 Kết nối tri thức
Với lý thuyết Toán lớp 12 Bài 17: Phương trình mặt cầu chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 12.
Lý thuyết Toán 12 Bài 17: Phương trình mặt cầu- Kết nối tri thức
A. Lý thuyết Phương trình mặt cầu
1. Phương trình mặt cầu
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình:
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2.
Chú ý
+) Điểm M(x; y; z) nằm trong mặt cầu (S) nếu (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 < R2.
+) Điểm M(x; y; z) nằm ngoài mặt cầu (S) nếu (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 > R2.
Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; −4; 0) và bán kính bằng 3.
Hướng dẫn giải
Phương trình mặt cầu là: (x – 1)2 + (y + 4)2 + z2 = 9.
Nhận xét. Với a, b, c, d là các hằng số, phương trình x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 có thể viết lại thành (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = a2 + b2 + c2 – d và là phương trình của một mặt cầu (S) khi và chỉ khi a2 + b2 + c2 – d > 0. Khi đó, (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ứng với phương trình đó.
a) x2 + y2 + z2 + x – 2y + 4z – 3 = 0.
b) x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 4z + 10 = 0.
Hướng dẫn giải
a) Phương trình đã cho tương ứng với ; b = 1; c = −2 và d = −3.
Có a2 + b2 + c2 – d = .
Do đó đây là phương trình mặt cầu với tâm .
b) Phương trình đã cho tương ứng với a = 1; b = −2; c = 2; d = 10.
Có a2 + b2 + c2 – d = −1 < 0 nên đây không phải là phương trình mặt cầu.
B. Bài tập Phương trình mặt cầu
Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 2)2 + (y + 1)2 + (z – 3)2 = 4. Tâm của (S) có tọa độ là
A. (−2; 1; −3).
B. (−4; 2; −6).
C. (4; −2; 6).
D. (2; −1; 3).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Mặt cầu (S) có tâm I(2; −1; 3).
Bài 2. Trong không gian Oxyz, xác định phương trình mặt cầu (S) biết:
a) mặt cầu (S) có tâm A(2; 1; 0), đi qua điểm B(0; 1; 2).
b) mặt cầu (S) có đường kính AB với A(1; 2; 3), B(5; 4; −1).
Hướng dẫn giải
a) Ta có R = AB = .
Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x – 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 8.
b) Gọi I(3; 3; 1) là trung điểm của AB,
.
Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x – 3)2 + (y – 3)2 + (z – 1)2 = 9.
Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 2y – 2z – 22 = 0 và mặt phẳng (P): 3x – 2y + 6z + 14 = 0. Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P).
Hướng dẫn giải
Mặt cầu (S) có tâm là I(1; 1; 1).
Có .
Bài 4. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) một trạm phát sóng rađa của Nga được đặt trên bán đảo Crimea ở vị trí I(−2; 1; −1) và được thiết kế phát hiện máy bay của địch ở khoảng cách tối đa 500 km.
a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phủ sóng của rađa trong không gian.
b) Hai chiếc máy bay do thám của Mỹ và Anh đang bay ở vị trí có tọa độ lần lượt là M(−200; 100; −250) và N(350; −100; 300). Hỏi rađa của Nga có thể phát hiện ra hai chiếc máy bay do thám của Mỹ và Anh không?
Hướng dẫn giải
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phủ sóng của rađa trong không gian là (x + 2)2 + (y – 1)2 + (z + 1)2 = 250000.
b)
Có .
.
Vậy rađa của Nga có thể phát hiện ra hai chiếc máy bay do thám của Mỹ và Anh.
Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + (y – 2)2 + (z + 1)2 = 6. Đường kính của (S) bằng
A. .
B. 12.
C. .
D. 3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Mặt cầu (S) có bán kính là . Suy ra đường kính là .
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn 12 Kết nối tri thức (hay nhất)
- Văn mẫu 12 - Kết nối tri thức
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12 – Kết nối tri thức
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 12 - Kết nối tri thức
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn 12 – Kết nối tri thức
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn 12 – Kết nối tri thức
- Bài tập Tiếng Anh 12 Global success theo Unit có đáp án
- Giải sgk Tiếng Anh 12 - Global success
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 12 Global success đầy đủ nhất
- Trọn bộ Ngữ pháp Tiếng Anh 12 Global success đầy đủ nhất
- Giải sbt Tiếng Anh 12 – Global Success
- Giải sgk Vật lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Vật lí 12 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Vật lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Vật lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Hóa học 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Hóa 12 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Hóa 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Hóa 12 – Kết nối tri thức
- Chuyên đề dạy thêm Hóa 12 cả 3 sách (chương trình mới 2025)
- Giải sgk Sinh học 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Sinh học 12 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Sinh học 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Sinh học 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Lịch sử 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Lịch sử 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Lịch sử 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Địa lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Địa lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Địa lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Tin học 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Tin học 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Tin học 12 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Tin học 12 - Kết nối tri thức
- Giải sgk Công nghệ 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Kinh tế pháp luật 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Kinh tế pháp luật 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Kinh tế pháp luật 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 – Kết nối tri thức