Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán lớp 12 (Kết nối tri thức)

Lý thuyết Toán 12 Bài 17: Phương trình mặt cầu- Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Phương trình mặt cầu

1. Phương trình mặt cầu

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình:

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².

Chú ý

+) Điểm M(x; y; z) nằm trong mặt cầu (S) nếu (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² < R².

+) Điểm M(x; y; z) nằm ngoài mặt cầu (S) nếu (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² > R².

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; −4; 0) và bán kính bằng 3.

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt cầu là: (x – 1)² + (y + 4)² + z² = 9.

Nhận xét. Với a, b, c, d là các hằng số, phương trình x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 có thể viết lại thành (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = a² + b² + c² – d và là phương trình của một mặt cầu (S) khi và chỉ khi a² + b² + c² – d > 0. Khi đó, (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ứng với phương trình đó.

a) x² + y² + z² + x – 2y + 4z – 3 = 0.

b) x² + y² + z² – 2x + 4y – 4z + 10 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đã cho tương ứng với $a=-\frac{1}{2}$ ; b = 1; c = −2 và d = −3.

Có a² + b² + c² – d = $\frac{33}{4}>0$ .

Do đó đây là phương trình mặt cầu với tâm $\mathrm{I}\left(-\frac{1}{2};1;-2\right);\mathrm{R}=\frac{\sqrt{33}}{2}$ .

b) Phương trình đã cho tương ứng với a = 1; b = −2; c = 2; d = 10.

Có a² + b² + c² – d = −1 < 0 nên đây không phải là phương trình mặt cầu.

B. Bài tập Phương trình mặt cầu

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 2)² + (y + 1)² + (z – 3)² = 4. Tâm của (S) có tọa độ là

A. (−2; 1; −3).

B. (−4; 2; −6).

C. (4; −2; 6).

D. (2; −1; 3).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Mặt cầu (S) có tâm I(2; −1; 3).

Bài 2. Trong không gian Oxyz, xác định phương trình mặt cầu (S) biết:

a) mặt cầu (S) có tâm A(2; 1; 0), đi qua điểm B(0; 1; 2).

b) mặt cầu (S) có đường kính AB với A(1; 2; 3), B(5; 4; −1).

Hướng dẫn giải

a) Ta có R = AB = $\sqrt{{\left(0-2\right)}^2+{\left(1-1\right)}^2+{\left(2-0\right)}^2}=2\sqrt{2}$ .

Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x – 2)² + (y – 1)² + z² = 8.

b) Gọi I(3; 3; 1) là trung điểm của AB,

$R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{{\left(5-1\right)}^2+{\left(4-2\right)}^2+{\left(-1-3\right)}^2}}{2}=3$ .

Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x – 3)² + (y – 3)² + (z – 1)² = 9.

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x – 2y – 2z – 22 = 0 và mặt phẳng (P): 3x – 2y + 6z + 14 = 0. Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải

Mặt cầu (S) có tâm là I(1; 1; 1).

Có $d\left(I,\left(P\right)\right)=\frac{\left|3.1-2.1+6.1+14\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-2\right)}^2+6^2}}=\frac{21}{7}=3$ .

Bài 4. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) một trạm phát sóng rađa của Nga được đặt trên bán đảo Crimea ở vị trí I(−2; 1; −1) và được thiết kế phát hiện máy bay của địch ở khoảng cách tối đa 500 km.

a) Sử dụng phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phủ sóng của rađa trong không gian.

b) Hai chiếc máy bay do thám của Mỹ và Anh đang bay ở vị trí có tọa độ lần lượt là M(−200; 100; −250) và N(350; −100; 300). Hỏi rađa của Nga có thể phát hiện ra hai chiếc máy bay do thám của Mỹ và Anh không?

Hướng dẫn giải

a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phủ sóng của rađa trong không gian là (x + 2)² + (y – 1)² + (z + 1)² = 250000.

b)

Có $\mathrm{IM}=\sqrt{{\left(-200+2\right)}^2+{\left(100-1\right)}^2+{\left(-250+1\right)}^2}\approx 333,18<\mathrm{R}$ .

$\mathrm{IN}=\sqrt{{\left(350+2\right)}^2+{\left(-100-1\right)}^2+{\left(300+1\right)}^2}\approx 474,03<R$.

Vậy rađa của Nga có thể phát hiện ra hai chiếc máy bay do thám của Mỹ và Anh.

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + (y – 2)² + (z + 1)² = 6. Đường kính của (S) bằng

A. $\sqrt{6}$ .

B. 12.

C. $2\sqrt{6}$ .

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mặt cầu (S) có bán kính là $\sqrt{6}$ . Suy ra đường kính là $2\sqrt{6}$ .

Trắc nghiệm: Phương trình mặt cầu

I. Nhận biết

Câu 1. Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm $I\left(x_0;y_0;z_0\right)$ bán kính R có phương trình là:

A. ${\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2+{\left(z-z_0\right)}^2=R^2.$

B. $\left(x-x_0\right)+\left(y-y_0\right)+\left(z-z_0\right)=R.$

C. $\left(x-x_0\right)+\left(y-y_0\right)+\left(z-z_0\right)=R^2.$

D. ${\left(x-x_0\right)}^2-{\left(y-y_0\right)}^2-{\left(z-z_0\right)}^2=R^2.$

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu

A. $x^2+y^2+z^2-2x=0.$

B. $x^2+y^2-z^2+2x-y+1=0.$

C. $2x^2+y^2={\left(x+y\right)}^2-z^2+2x+1.$

D. ${\left(x+y\right)}^2=2xy-z^2-1.$

Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình (S): ${\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z+3\right)}^2=16$ có tâm là

A. $I\left(1;0;3\right).$

B. $I\left(-1;0;-3\right).$

C. $I\left(1;0;-3\right).$

D. $I\left(1;2;-3\right).$

Câu 4. Cho điểm M nằm ngoài mặt cầu $S\left(O;R\right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $OM<R.$

B. $OM=R.$

C. $OM>R.$

D. $OM\le R.$

Câu 5. Điều kiện đề phương trình $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ là phương trình mặt cầu là

A. $a+b+c-d>0.$

B. $a^2+b^2+c^2+d>0.$

C. $a^2+b^2+c^2-d>0.$

D. $a^2+b^2+c^2-d\ge 0.$

II. Thông hiểu

Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-4x-2y+2z-3=0$ và một điểm $M\left(4;2;-2\right)$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Điểm M là tâm của mặt cầu (S).

B. Điểm M nằm trên mặt cầu (S).

C. Điểm M nằm trong mặt cầu (S).

D. Điểm M nằm ngoài mặt cầu (S).

Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+10y+3z+1=0$ đi qua điểm có tọa độ nào sau đây

A. $\left(3;-2;-4\right).$

B. $\left(4;-1;0\right).$

C. $\left(2;1;9\right).$

D. $\left(-1;3;-1\right).$

Câu 8. Phương trình mặt cầu tâm $I\left(1;-2;3\right)$ bán kính R = 3 là

A. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=3.$

B. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=9.$

C. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=9.$

D. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=3.$

Câu 9. Xác định tâm và bán kính mặt cầu $x^2+y^2+z^2+8x-6y+2z-10=0$ ta được

A. Tâm $I\left(-4;3;-1\right)$ và bán kính R = 6

B. Tâm $I\left(-4;3;-1\right)$ và bán kính R = 36

C. Tâm $I\left(-4;3;-1\right)$ và bán kính R = 6

D. Tâm $I\left(-4;3;-1\right)$ và bán kính R = 36

III. Vận dụng

Câu 10. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) đi qua điểm O và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác O thỏa mãn tam giác ABC có trọng tâm là điểm $G\left(-6;-12;18\right)$. Tọa độ tâm của mặt cầu (S) là

A. $\left(9;18;-27\right).$

B. $\left(-3;-6;9\right).$

C. $\left(3;6;-9\right).$

D. $\left(-9;-18;27\right).$

XXem thêm tóm tắt lý thuyết Toán 12 sách Kết nối tri thức, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

Lý thuyết Bài 16: Công thức tính góc trong không gian

Lý thuyết Bài 17: Phương trình mặt cầu

Lý thuyết Bài 18: Xác suất có điều kiện

Lý thuyết Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Xem thêm tài liệu Toán lớp 12:

Giải Toán 12 Bài 17: Phương trình mặt cầu

Giải SBT Toán 12 Bài 17: Phương trình mặt cầu

Giáo án Phương trình mặt cầu lớp 12

Giáo án điện tử Phương trình mặt cầu lớp 12