Lý thuyết Nguyên hàm Toán lớp 12 (Kết nối tri thức)

Lý thuyết Toán 12 Bài 11: Nguyên hàm- Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Nguyên hàm

1. Nguyên hàm của một hàm số

• Khái niệm nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Chú ý. Trường hợp K = [a; b] thì các đẳng thức F'(a) = f(a) và F'(b) = f(b) được hiểu là đạo hàm bên phải tại điểm x = a và đạo hàm bên trái tại điểm x = b của hàm số F(x), tức là $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{F\left(x\right)-F\left(a\right)}{x-a}=f\left(a\right)$ và $\underset{x\to b^{-}}{\lim }\frac{F\left(x\right)-F\left(b\right)}{x-b}=f\left(b\right)$.

Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) = x³ – 3x². Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ?

$F\left(x\right)=\frac{x^4}{4}-x^3$; $G\left(x\right)=\frac{x^4}{4}+x^3$.

Hướng dẫn giải

Ta có: F'(x) = x³ – 3x², G'(x) = x³ + 3x².

Vì F'(x) = f(x) với mọi x $\in$ ℝ nên hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.

Hàm số G(x) không là nguyên hàm của f(x) trên ℝ vì với x = 1, ta có G'(1) = 4 ≠ −2 = f(1).

• Họ nguyên hàm của một hàm số

Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó:

a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K;

b) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x $\in$ K.

Như vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số). Ta gọi F(x) + C (C $\in$ ℝ) là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu bởi $\int f\left(x\right)dx$.

Chú ý

a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó C là hằng số.

b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số f(x) liên tục trên khoảng K thì f(x) có nguyên hàm trên khoảng đó.

c) Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x), kí hiệu dF(x). Vậy dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.

d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập K, ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định của nó.

Ví dụ 2. Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) = 5x⁴ trên ℝ. Từ đó hãy tìm $\int 5x^{4}dx$ .

Hướng dẫn giải

Vì (x⁵)' = 5x⁴ nên F(x) = x⁵ là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ.

Do đó $\int 5x^{4}dx=x^5+C$.

2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

• Nguyên hàm của tích một hàm số với một hằng số khác 0

$\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx\left(k\ne 0\right)$.

Ví dụ 3. Hãy tìm $\int \frac{1}{2}{x}^{3}dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\int \frac{1}{2}{x}^{3}dx=\frac{1}{2}\int x^{3}dx=\frac{1}{2}.\frac{x^4}{4}+C=\frac{x^4}{8}+C$ .

• Nguyên hàm của một tổng

$\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$.

$\int \left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx-\int g\left(x\right)dx$.

Ví dụ 4. Hãy tìm:

a) $\int \left(x-x^2\right)dx$; b) $\int \left(5x^4+3x^2\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int \left(x-x^2\right)dx$ $=\int xdx-\int x^{2}dx$ $=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+C$.

b) $\int \left(5x^4+3x^2\right)dx$$=5\int x^{4}dx+3\int x^{2}dx$$=5.\frac{x^5}{5}+3.\frac{x^3}{3}+C$$=x^5+x^3+C$ .

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

• Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

+) Hàm số lũy thừa

Hàm số y = x^α, với α ∈ ℝ, được gọi là hàm số lũy thừa.

Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x^α tùy thuộc vào giá trị của α. Cụ thể:

- Với α nguyên dương, tập xác định là ℝ.

- Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ℝ\{0}.

- Với α không nguyên, tập xác định là (0; +∞).

+) Hàm số lũy thừa y = x^α (α $\in$ ℝ) có đạo hàm với mọi x > 0 và ${\left(x^{\alpha }\right)}^{\text{'}}=\alpha x^{\alpha -1}$.

+) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

$\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C\left(\alpha \ne -1\right)$.

$\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$.

Ví dụ 5. Hãy tìm:

a) $\int \left(\sqrt{x}-x^2\right)dx$; b) $\int \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int \left(\sqrt{x}-x^2\right)dx$$=\int \sqrt{x}dx-\int x^{2}dx$$=\int x^{\frac{1}{2}}dx-\int x^{2}dx$

$=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{x^3}{3}+C$ .

b) $\int \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx$$=\int \frac{1}{x}dx-\int \frac{1}{x^2}dx$$=\int \frac{1}{x}dx-\int x^{-2}dx$

$=\ln \left|x\right|+\frac{1}{x}+C$.

• Nguyên hàm của hàm số lượng giác

$\int \cos xdx=\sin x+C$;

$\int \sin xdx=-\cos x+C$;

$\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$;

$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$.

Ví dụ 6. Hãy tìm:

a) $\int \left(2\cos x+\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$;

b) $\int \left(\sqrt{2}\sin x+\frac{2}{{\cos }^{2}x}\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int \left(2\cos x+\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$$=\int 2\cos xdx+\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx$

$=2\sin x-\cot x+C$.

b) $\int \left(\sqrt{2}\sin x+\frac{2}{{\cos }^{2}x}\right)dx$$=\sqrt{2}\int \sin xdx+2\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$

$=-\sqrt{2}\cos x+2\tan x+C$.

• Nguyên hàm của hàm số mũ

$\int e^{x}dx=e^x+C$.

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\left(0<a\ne 1\right)$.

Ví dụ 7. Hãy tìm:

a) $\int \left(e^x-2^x\right)dx$; b) $\int \left(x+\frac{1}{2^x}\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\int \left(e^x-2^x\right)dx$$=\int e^{x}dx-\int 2^{x}dx$$=e^x-\frac{2^x}{\ln 2}+C$ .

b) $\int \left(x+\frac{1}{2^x}\right)dx$$=\int xdx+\int {\left(\frac{1}{2}\right)}^{x}dx$$=\frac{x^2}{2}+{\frac{\left(\frac{1}{2}\right)}{\ln \frac{1}{2}}}^x+C$

$=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2^x\ln 2}+C$ .

B. Bài tập Nguyên hàm

Bài 1. Một nguyên hàm của hàm số f(x) = 9^x + 3x² là:

A. F(x) = 9^x + x³.

B. F(x) = 9^xln9 + x³.

C. $F\left(x\right)=\frac{9^x}{\ln 9}+6x$.

D. $F\left(x\right)=\frac{9^x}{\ln 9}+x^3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $F^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\frac{9^x}{\ln 9}+x^3\right)}^{\text{'}}=9^x+3x^2$nên $F\left(x\right)=\frac{9^x}{\ln 9}+x^3$là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 9^x + 3x².

Bài 2. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $\int kf\left(x\right)dx=k\int f\left(x\right)dx,k\ne 0$.

B. $\int f\left(x\right).g\left(x\right)dx=\int f\left(x\right)dx.\int g\left(x\right)dx$.

C. $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$.

D. $\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Từ các tính chất của nguyên hàm, ta thấy đáp án B là sai.

Bài 3. Tìm

a) $\int \left(2x+e^x\right)dx$; b) $\int \left(\sin x-\cos x\right)dx$.

Hướng dẫn giải

a) $\int \left(2x+e^x\right)dx$$=2\int xdx+\int e^{x}dx$$=2.\frac{x^2}{2}+e^x+C$

$=x^2+e^x+C$.

b) $\int \left(\sin x-\cos x\right)dx$$=\int \sin xdx-\int \cos xdx$

$=-\cos x-\sin x+C$.

Bài 4. Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc $a\left(t\right)=-\frac{1}{24}{t}^3+\frac{5}{16}{t}^2$(m/s²), trong đó t là khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát. Hỏi vào thời điểm 5 (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Ta có $v\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt=\int \left(-\frac{1}{24}{t}^3+\frac{5}{16}{t}^2\right)dt$$=-\frac{1}{96}{t}^4+\frac{5}{48}{t}^3+C$ .

Vì v(0) = 0 nên C = 0.

Do đó $v\left(t\right)=-\frac{1}{96}{t}^4+\frac{5}{48}{t}^3$ .

Vào thời điểm 5 (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là:

$v\left(5\right)=-\frac{1}{96}{.5}^4+\frac{5}{48}{.5}^3=\frac{625}{96}\approx 6,51$ (m/s).

Bài 5. Tìm

a) $\int \frac{x^2+2\sqrt{x}+3}{x^3}dx$; b) $\int {10}^{2x}dx$; c) $\int \frac{2^x-1}{e^x}dx$.

Hướng dẫn giải

a) $\int \frac{x^2+2\sqrt{x}+3}{x^3}dx$$=\int \frac{1}{x}dx+2\int x^{\frac{-5}{2}}dx+3\int x^{-3}dx$

$=\ln \left|x\right|-\frac{4}{3}{x}^{\frac{-3}{2}}-\frac{3}{2}{x}^{-2}+C$ .

b) $\int {10}^{2x}dx$$=\int {100}^{x}dx=\frac{{100}^x}{\ln 100}+C$ .

c) $\int \frac{2^x-1}{e^x}dx$$=\int \frac{2^x}{e^x}dx-\int \frac{1}{e^x}dx$$=\int {\left(\frac{2}{e}\right)}^{x}dx-\int {\left(\frac{1}{e}\right)}^{x}dx$

$=\frac{{\left(\frac{2}{e}\right)}^x}{\ln \frac{2}{e}}-\frac{{\left(\frac{1}{e}\right)}^x}{\ln \frac{1}{e}}+C$$=\frac{2^x}{e^x\left(\ln 2-1\right)}+\frac{1}{e^x}+C$

Trắc nghiệm: Nguyên hàm

I. Nhận biết

Câu 1. Hàm số $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ trên khoảng K nếu

A. $F^{\text{'}}\left(x\right)=-f\left(x\right),\forall x\in K.$

B. $f^{\text{'}}\left(x\right)=F\left(x\right),\forall x\in K.$

C. $F^{\text{'}}\left(x\right)=f\left(x\right),\forall x\in K.$

D. $f^{\text{'}}\left(x\right)=F\left(x\right),\forall x\in K.$

Câu 2. Cho $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right),\int g\left(x\right)dx=G\left(x\right)$. Khi đó, bằng

A. $2F\left(x\right)+G\left(x\right).$

B. $2F\left(x\right)-G\left(x\right).$

C. $2G\left(x\right)-F\left(x\right).$

D. $F\left(x\right)-2G\left(x\right).$

Câu 3. $\int x^{5}dx$ bằng

A. $5x^4+C.$

B. $\frac{x^6}{6}+C.$

C. $x^4+C.$

D. $-\frac{x^6}{6}+C.$

Câu 4. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\cos x$ bằng

A. $\int \cos xdx=\sin x+C.$

B. $\int \cos xdx=\frac{\sin x}{2}+C.$

C. $\int \cos xdx=-\sin x+C.$

D. $\int \cos xdx=\frac{{\cos }^{2}x}{2}+C.$

Câu 5. Cho hai hàm số $f\left(x\right),g\left(x\right)$ là hàm số liên tục, có $F\left(x\right),G\left(x\right)$ lần lượt là nguyên hàm của $f\left(x\right),g\left(x\right)$. Xét các mệnh đề sau:

(I). $F\left(x\right)+G\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)+g\left(x\right).$

(II).$kF\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $kf\left(x\right)$ với $k\ne 0.$

(III). $F\left(x\right).G\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right).g\left(x\right)$.

Các mệnh đề đúng là

A. (I) và (II).

B. (II) và (III).

C. (I) và (III).

D. Cả ba mệnh đề.

II. Thông hiểu

Câu 6. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\cos 3x$ bằng

A. $\int \cos 3xdx=3\sin 3x+C.$

B. $\int \cos 3xdx=\frac{\sin 3x}{3}+C.$

C. $\int \cos 3xdx=-3\sin 3x+C.$

D. $\int \cos 3xdx=-\frac{\sin 3x}{3}+C.$

Câu 7. Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2-3x+\frac{1}{x}$ là

A. $2x-3-\frac{1}{x^2}+C.$

B. $\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\ln \left(x\right)+C.$

C. $\frac{x^3}{3}+\frac{3}{2}{x}^2+\ln x+C.$

D. $\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\ln x+C.$

Câu 8. Hàm số $F\left(x\right)=2\sin x-3\cos x+1$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. $f\left(x\right)=2\sin x-3\cos x.$

B. $f\left(x\right)=-2\cos x+3\sin x.$

C. $f\left(x\right)=2\cos x+3\sin x.$

D. $f\left(x\right)=-2\cos x-3\sin x.$

Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=e^{3x}\left(1-3e^{-5x}\right)$

A. $\frac{1}{3}{e}^{3x}+\frac{3}{2}{e}^{-2x}+C.$

B. $\frac{1}{3}{e}^{3x}-\frac{3}{2}{e}^{-2x}+C.$

C. $e^{3x}-3e^{-2x}+C.$

D. $e^{3x}+6e^{-2x}+C.$

III. Vận dụng

Câu 10. Một vật chuyển động với gia tốc $a\left(t\right)=3t^2+t\left(m/s^2\right)$. Biết rằng vận tốc ban đầu của vật là $2\left(m/s\right).$ Vận tốc của vật đó sau hai giây là.

A. $\text{8}\left(m/s\right).$

B. $\text{12}\left(m/s\right).$

C. $\text{10}\left(m/s\right).$

D. $\text{16}\left(m/s\right).$

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán 12 sách Kết nối tri thức, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 12: Tích phân

Lý thuyết Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân

Lý thuyết Bài 14: Phương trình mặt phẳng

Lý thuyết Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

Lý thuyết Bài 16: Công thức tính góc trong không gian

Xem thêm tài liệu Toán lớp 12:

Giải Toán 12 Bài 11: Nguyên hàm

Giải SBT Toán 12 Bài 11: Nguyên hàm

Giáo án Nguyên hàm lớp 12

Giáo án điện tử Nguyên hàm lớp 12