Lý thuyết Nguyên hàm– Toán lớp 12 Kết nối tri thức
Với lý thuyết Toán lớp 12 Bài 11: Nguyên hàm chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 12.
Lý thuyết Toán 12 Bài 11: Nguyên hàm- Kết nối tri thức
A. Lý thuyết Nguyên hàm
1. Nguyên hàm của một hàm số
• Khái niệm nguyên hàm
Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.
Chú ý. Trường hợp K = [a; b] thì các đẳng thức F'(a) = f(a) và F'(b) = f(b) được hiểu là đạo hàm bên phải tại điểm x = a và đạo hàm bên trái tại điểm x = b của hàm số F(x), tức là và .
Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) = x3 – 3x2. Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ?
; .
Hướng dẫn giải
Ta có: F'(x) = x3 – 3x2, G'(x) = x3 + 3x2.
Vì F'(x) = f(x) với mọi x ℝ nên hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.
Hàm số G(x) không là nguyên hàm của f(x) trên ℝ vì với x = 1, ta có G'(1) = 4 ≠ −2 = f(1).
• Họ nguyên hàm của một hàm số
Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó:
a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K;
b) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x K.
Như vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số). Ta gọi F(x) + C (C ℝ) là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu bởi .
Chú ý
a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó C là hằng số.
b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số f(x) liên tục trên khoảng K thì f(x) có nguyên hàm trên khoảng đó.
c) Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x), kí hiệu dF(x). Vậy dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.
d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập K, ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định của nó.
Ví dụ 2. Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) = 5x4 trên ℝ. Từ đó hãy tìm .
Hướng dẫn giải
Vì (x5)' = 5x4 nên F(x) = x5 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ.
Do đó .
2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm
• Nguyên hàm của tích một hàm số với một hằng số khác 0
.
Ví dụ 3. Hãy tìm .
Hướng dẫn giải
Ta có .
• Nguyên hàm của một tổng
.
.
Ví dụ 4. Hãy tìm:
a) ; b) .
Hướng dẫn giải
a) .
b) .
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
• Nguyên hàm của hàm số lũy thừa
+) Hàm số lũy thừa
Hàm số y = xα, với α ∈ ℝ, được gọi là hàm số lũy thừa.
Tập xác định của hàm số lũy thừa y = xα tùy thuộc vào giá trị của α. Cụ thể:
- Với α nguyên dương, tập xác định là ℝ.
- Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ℝ\{0}.
- Với α không nguyên, tập xác định là (0; +∞).
+) Hàm số lũy thừa y = xα (α ℝ) có đạo hàm với mọi x > 0 và .
+) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa
.
.
Ví dụ 5. Hãy tìm:
a) ; b) .
Hướng dẫn giải
a)
.
b)
.
• Nguyên hàm của hàm số lượng giác
;
;
;
.
Ví dụ 6. Hãy tìm:
a) ;
b) .
Hướng dẫn giải
a)
.
b)
.
• Nguyên hàm của hàm số mũ
.
.
Ví dụ 7. Hãy tìm:
a) ; b) .
Hướng dẫn giải
a) .
b)
.
B. Bài tập Nguyên hàm
Bài 1. Một nguyên hàm của hàm số f(x) = 9x + 3x2 là:
A. F(x) = 9x + x3.
B. F(x) = 9xln9 + x3.
C. .
D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Vì nên là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 9x + 3x2.
Bài 2. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. .
B. .
C. .
D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Từ các tính chất của nguyên hàm, ta thấy đáp án B là sai.
Bài 3. Tìm
a) ; b) .
Hướng dẫn giải
a)
.
b)
.
Bài 4. Một vận động viên điền kinh chạy với gia tốc (m/s2), trong đó t là khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát. Hỏi vào thời điểm 5 (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Ta có .
Vì v(0) = 0 nên C = 0.
Do đó .
Vào thời điểm 5 (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của vận động viên là:
(m/s).
Bài 5. Tìm
a) ; b) ; c) .
Hướng dẫn giải
a)
.
b) .
c)
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn 12 Kết nối tri thức (hay nhất)
- Văn mẫu 12 - Kết nối tri thức
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12 – Kết nối tri thức
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 12 - Kết nối tri thức
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn 12 – Kết nối tri thức
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Tiếng Anh 12 - Global success
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 12 Global success đầy đủ nhất
- Trọn bộ Ngữ pháp Tiếng Anh 12 Global success đầy đủ nhất
- Giải sbt Tiếng Anh 12 – Global Success
- Giải sgk Vật lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Vật lí 12 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Vật lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Vật lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Hóa học 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Hóa 12 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Hóa 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Hóa 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Sinh học 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Sinh học 12 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Sinh học 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Sinh học 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Lịch sử 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Lịch sử 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Lịch sử 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Địa lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Địa lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Địa lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Tin học 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Tin học 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Tin học 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Công nghệ 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Kinh tế pháp luật 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Kinh tế pháp luật 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Kinh tế pháp luật 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 – Kết nối tri thức