Lý thuyết Công thức tính góc trong không gian– Toán lớp 12 Kết nối tri thức
Với lý thuyết Toán lớp 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 12.
Lý thuyết Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian - Kết nối tri thức
A. Lý thuyết Công thức tính góc trong không gian
1. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng và ' tương ứng có vectơ chỉ phương . Khi đó:
Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1: và d2: . Tính góc giữa hai đường thẳng trên.
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương là .
Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương là .
Suy ra (, ') = 60°.
2. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng có vectơ chỉ phương và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến . Khi đó:
.
Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng : và mặt phẳng (P): 5x + 11y + 2z – 4 = 0.
Hướng dẫn giải
Ta có đường thẳng có một vectơ chỉ phương là và mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là .
Có
Suy ra (, (P)) = 30°.
3. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là , . Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)), được tính theo công thức:
.
Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 1 = 0 và (Q): x + 2y – 2z – 3 = 0.
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến và mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến .
Ta có
Suy ra ((P), (Q)) ≈ 63,6°.
B. Bài tập Công thức tính góc trong không gian
Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng d1: và d2: .
A. 45°.
B. 30°.
C. 60°.
D. 90°.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng d1; d2 lần lượt có vectơ chỉ phương là .
Ta có
Suy ra (, ') = 90°.
Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): . Tính góc tạo bởi (P) với trục Ox?
A. 60°.
B. 30°.
C. 120°.
D. 150°.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến .
Trục Ox có vectơ chỉ phương là .
.
Suy ra (Ox, (P)) = 60°.
Bài 3. Trong không gian Oxyz, tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (P): 2x + 11y – 5z + 3 = 0 và (Q): −x + 2y + z – 5 = 0.
Hướng dẫn giải
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt là .
Ta có
Suy ra ((P), (Q)) = 60°.
Bài 4. Một công ty xây dựng đang thiết kế một tòa nhà mới. Để tối ưu hóa ánh sáng tự nhiên trong tòa nhà, họ cần xác định góc giữa ánh sáng mặt trời (được biểu diễn bằng một đường thẳng) và mặt phẳng của một bức tường kính. Giả sử rằng:
+) Bức tường kính được đặt trong mặt phẳng (α) có phương trình 2x – 3y + z = 5.
+) Tia sáng mặt trời được biểu diễn bởi đường thẳng d có phương trình tham số .
Hãy tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α).
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là .
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là .
Ta có
Suy ra (d, (α)) ≈ 60,8°.
Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x – y – 5 = 0, biết hình chiếu của O lên mặt phẳng (P) là H(2; −1; −2). Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (P), (Q).
Hướng dẫn giải
Vì OH (P) nên mặt phẳng (P) nhận làm vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến .
Ta có
Suy ra ((P), (Q)) = 45°.
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn 12 Kết nối tri thức (hay nhất)
- Văn mẫu 12 - Kết nối tri thức
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12 – Kết nối tri thức
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 12 - Kết nối tri thức
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn 12 – Kết nối tri thức
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Tiếng Anh 12 - Global success
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 12 Global success đầy đủ nhất
- Trọn bộ Ngữ pháp Tiếng Anh 12 Global success đầy đủ nhất
- Giải sbt Tiếng Anh 12 – Global Success
- Giải sgk Vật lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Vật lí 12 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Vật lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Vật lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Hóa học 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Hóa 12 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Hóa 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Hóa 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Sinh học 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Sinh học 12 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Sinh học 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Sinh học 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Lịch sử 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Lịch sử 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Lịch sử 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Địa lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Địa lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Địa lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Tin học 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Tin học 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Tin học 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Công nghệ 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Kinh tế pháp luật 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Kinh tế pháp luật 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Kinh tế pháp luật 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 – Kết nối tri thức