Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Lý thuyết Công thức tính góc trong không gian– Toán lớp 12 Kết nối tri thức

    Với lý thuyết Toán lớp 12 Bài 16:  Công thức tính góc trong không gian chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 12.

    1 249 15/08/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Lý thuyết Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian - Kết nối tri thức

    A. Lý thuyết Công thức tính góc trong không gian

    1. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ∆ và ∆' tương ứng có vectơ chỉ phương u→=a;b;c,u'→=a';b';c' . Khi đó:

    cosΔ,Δ'=cosu→,u'→=aa'+bb'+cc'a2+b2+c2.a'2+b'2+c'2

    Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1: x=2+ty=−1+tz=3 và d2: x=1−ty=2z=−2+t . Tính góc giữa hai đường thẳng trên.

    Hướng dẫn giải

    Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương là u→=1;1;0 .

    Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương là u'→=−1;0;1 .

    cosΔ,Δ'=cosu→,u'→=1.−1+1.0+0.112+12+02.−12+02+12=12

    Suy ra (∆, ∆') = 60°.

    2. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương u→=a;b;c và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n→=A;B;C . Khi đó:

    sinΔ,P=cosu→,n→=aA+bB+cCa2+b2+c2.A2+B2+C2.

    Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng ∆: x1=y−2=z1 và mặt phẳng (P): 5x + 11y + 2z – 4 = 0.

    Hướng dẫn giải

    Ta có đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là u→=1;−2;1 và mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là n→=5;11;2 .

    Có sinΔ,P=cosu→,n→=1.5+−2.11+1.212+−22+12.52+112+22=1530=12

    Suy ra (∆, (P)) = 30°.

    3. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là n→=A;B;C , n'→=A';B';C' . Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)), được tính theo công thức:

    cosP,Q=cosn→,n'→=AA'+BB'+CC'A2+B2+C2.A'2+B'2+C'2.

    Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 1 = 0 và (Q): x + 2y – 2z – 3 = 0.

    Hướng dẫn giải

    Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n→=2;−1;2 và mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n'→=1;2;−2 .

    Ta có

    cosP,Q=cosn→,n'→=2.1+−1.2+2.−222+−12+22.12+22+−22=49

    Suy ra ((P), (Q)) ≈ 63,6°.

    B. Bài tập Công thức tính góc trong không gian

    Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng d1: x1=y+1−1=z−12 và d2: x+1−1=y1=z−31 .

    A. 45°.

    B. 30°.

    C. 60°.

    D. 90°.

    Hướng dẫn giải

    Đáp án đúng là: D

    Đường thẳng d1; d2 lần lượt có vectơ chỉ phương là u→=1;−1;2,u'→=−1;1;1 .

    Ta có

    cosΔ,Δ'=cosu→,u'→=1.−1+−1.1+2.112+−12+22.−12+12+12=0

    Suy ra (∆, ∆') = 90°.

    Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): −3x+y+1=0 . Tính góc tạo bởi (P) với trục Ox?

    A. 60°.

    B. 30°.

    C. 120°.

    D. 150°.

    Hướng dẫn giải

    Đáp án đúng là: A

    Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n→=−3;1;0 .

    Trục Ox có vectơ chỉ phương là i→=1;0;0 .

    sinOx,P=cosu→,n→=1.−3−32+12+02.12+02+02=32.

    Suy ra (Ox, (P)) = 60°.

    Bài 3. Trong không gian Oxyz, tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (P): 2x + 11y – 5z + 3 = 0 và (Q): −x + 2y + z – 5 = 0.

    Hướng dẫn giải

    Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt là n→=2;11;−5,n'→=−1;2;1 .

    Ta có

    cosP,Q=cosn→,n'→=2.−1+11.2+−5.122+112+−52.−12+22+12=1530=12

    Suy ra ((P), (Q)) = 60°.

    Bài 4. Một công ty xây dựng đang thiết kế một tòa nhà mới. Để tối ưu hóa ánh sáng tự nhiên trong tòa nhà, họ cần xác định góc giữa ánh sáng mặt trời (được biểu diễn bằng một đường thẳng) và mặt phẳng của một bức tường kính. Giả sử rằng:

    +) Bức tường kính được đặt trong mặt phẳng (α) có phương trình 2x – 3y + z = 5.

    +) Tia sáng mặt trời được biểu diễn bởi đường thẳng d có phương trình tham số x−12=y+2−1=z−31 .

    Hãy tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α).

    Hướng dẫn giải

    Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là n→=2;−3;1 .

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u→=2;−1;1 .

    Ta có

    sind,α=2.2+−3.−1+1.122+−32+12.22+−12+12=884=421

    Suy ra (d, (α)) ≈ 60,8°.

    Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x – y – 5 = 0, biết hình chiếu của O lên mặt phẳng (P) là H(2; −1; −2). Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (P), (Q).

    Hướng dẫn giải

    Vì OH ⊥ (P) nên mặt phẳng (P) nhận OH→=2;−1;−2 làm vectơ pháp tuyến.

    Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n→=1;−1;0 .

    Ta có

    cosP,Q=2.1+−1.−1+−2.022+−12+−22.12+−12+02=332=12

    Suy ra ((P), (Q)) = 45°.

    Tham khảo các loạt bài Toán 12 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 249 15/08/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: