Lý thuyết Công thức tính góc trong không gian Toán lớp 12 (Kết nối tri thức)

Lý thuyết Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Công thức tính góc trong không gian

1. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $∆$ và $∆$' tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right),\overrightarrow{u^{\text{'}}}=\left(a^{\text{'}};b^{\text{'}};c^{\text{'}}\right)$ . Khi đó:

$\cos \left(\Delta ,{\Delta }^{\text{'}}\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\text{'}}}\right)\right|=\frac{\left|a{a}^{\text{'}}+b{b}^{\text{'}}+c{c}^{\text{'}}\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{{a^{\text{'}}}^2+{b^{\text{'}}}^2+{c^{\text{'}}}^2}}$

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1+t\\ z=3\end{array}\right.$ và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2\\ z=-2+t\end{array}\right.$ . Tính góc giữa hai đường thẳng trên.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;1;0\right)$ .

Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u^{\text{'}}}=\left(-1;0;1\right)$ .

$\cos \left(\Delta ,{\Delta }^{\text{'}}\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\text{'}}}\right)\right|=\frac{\left|1.\left(-1\right)+1.0+0.1\right|}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}.\sqrt{{\left(-1\right)}^2+0^2+1^2}}=\frac{1}{2}$

Suy ra ($∆$, $∆$') = 60°.

2. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $∆$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$ và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ . Khi đó:

$\sin \left(\Delta ,\left(P\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right)\right|=\frac{\left|aA+bB+cC\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng $∆$: $\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{1}$ và mặt phẳng (P): 5x + 11y + 2z – 4 = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có đường thẳng $∆$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;-2;1\right)$ và mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(5;11;2\right)$ .

Có $\sin \left(\Delta ,\left(P\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right)\right|=\frac{\left|1.5+\left(-2\right).11+1.2\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+1^2}.\sqrt{5^2+{11}^2+2^2}}=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$

Suy ra ($∆$, (P)) = 30°.

3. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ , $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(A^{\text{'}};B^{\text{'}};C^{\text{'}}\right)$ . Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)), được tính theo công thức:

$\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\text{'}}}\right)\right|=\frac{\left|A{A}^{\text{'}}+B{B}^{\text{'}}+C{C}^{\text{'}}\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}.\sqrt{{A^{\text{'}}}^2+{B^{\text{'}}}^2+{C^{\text{'}}}^2}}$.

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 1 = 0 và (Q): x + 2y – 2z – 3 = 0.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;-1;2\right)$ và mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(1;2;-2\right)$ .

Ta có

$\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\text{'}}}\right)\right|=\frac{\left|2.1+\left(-1\right).2+2.\left(-2\right)\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+2^2}.\sqrt{1^2+2^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{4}{9}$

Suy ra ((P), (Q)) ≈ 63,6°.

B. Bài tập Công thức tính góc trong không gian

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng d₁: $\frac{x}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{2}$ và d₂: $\frac{x+1}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z-3}{1}$ .

A. 45°.

B. 30°.

C. 60°.

D. 90°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d₁; d₂ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;2\right),\overrightarrow{u^{\text{'}}}=\left(-1;1;1\right)$ .

Ta có

$\cos \left(\Delta ,{\Delta }^{\text{'}}\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\text{'}}}\right)\right|=\frac{\left|1.\left(-1\right)+\left(-1\right).1+2.1\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2+2^2}.\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2+1^2}}=0$

Suy ra ($∆$, $∆$') = 90°.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): $-\sqrt{3}x+y+1=0$ . Tính góc tạo bởi (P) với trục Ox?

A. 60°.

B. 30°.

C. 120°.

D. 150°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(-\sqrt{3};1;0\right)$ .

Trục Ox có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{i}=\left(1;0;0\right)$ .

$\sin \left(Ox,\left(P\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right)\right|=\frac{\left|1.\left(-\sqrt{3}\right)\right|}{\sqrt{{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+1^2+0^2}.\sqrt{1^2+0^2+0^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Suy ra (Ox, (P)) = 60°.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (P): 2x + 11y – 5z + 3 = 0 và (Q): −x + 2y + z – 5 = 0.

Hướng dẫn giải

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt là $\overrightarrow{n}=\left(2;11;-5\right),\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(-1;2;1\right)$ .

Ta có

$\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\text{'}}}\right)\right|=\frac{\left|2.\left(-1\right)+11.2+\left(-5\right).1\right|}{\sqrt{2^2+{11}^2+{\left(-5\right)}^2}.\sqrt{{\left(-1\right)}^2+2^2+1^2}}=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$

Suy ra ((P), (Q)) = 60°.

Bài 4. Một công ty xây dựng đang thiết kế một tòa nhà mới. Để tối ưu hóa ánh sáng tự nhiên trong tòa nhà, họ cần xác định góc giữa ánh sáng mặt trời (được biểu diễn bằng một đường thẳng) và mặt phẳng của một bức tường kính. Giả sử rằng:

+) Bức tường kính được đặt trong mặt phẳng (α) có phương trình 2x – 3y + z = 5.

+) Tia sáng mặt trời được biểu diễn bởi đường thẳng d có phương trình tham số $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-3}{1}$ .

Hãy tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α).

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;-3;1\right)$ .

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;-1;1\right)$ .

Ta có

$\sin \left(d,\left(\alpha \right)\right)=\frac{\left|2.2+\left(-3\right).\left(-1\right)+1.1\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-3\right)}^2+1^2}.\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+1^2}}=\frac{8}{\sqrt{84}}=\frac{4}{\sqrt{21}}$

Suy ra (d, (α)) ≈ 60,8°.

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x – y – 5 = 0, biết hình chiếu của O lên mặt phẳng (P) là H(2; −1; −2). Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (P), (Q).

Hướng dẫn giải

Vì OH $\perp$ (P) nên mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow{OH}=\left(2;-1;-2\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-1;0\right)$ .

Ta có

$\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\frac{\left|2.1+\left(-1\right).\left(-1\right)+\left(-2\right).0\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}.\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2+0^2}}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Suy ra ((P), (Q)) = 45°.

Trắc nghiệm: Công thức tính góc trong không gian

I. Nhận biết

Câu 1. Trong hệ tọa độ Oxyz, góc giữa đường thẳng Ox và đường thẳng Oy là

A. $0°.$

B. $90°.$

C. $45°.$

D. $30°.$

Câu 2. Trong hệ tọa độ Oxyz, góc giữa đường thẳng Ox và mặt phẳng (Oxyz) là

A. $0°.$

B. $90°.$

C. $45°.$

D. $30°.$

Câu 3. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_1}=\left(a_1;b_1;c_1\right)$, $\overrightarrow{u_2}=\left(a_2;b_2;c_2\right)$. Khi đó, khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\cos \left|\left(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right)\right|.$

B. $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|a_1{a}_2+b_1{b}_2+c_1{c}_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}.$

C. $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}\right|}{\left|\overrightarrow{u_1}\right|.\left|\overrightarrow{u_2}\right|}.$

D. $\left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\left(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right)$ hoặc $\left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=180°-\left(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right).$

Câu 4. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{2}.$Tính cosin của góc giữa đường thẳng $\Delta$ và trục Ox.

A. $\frac{2}{3}.$

B. $-\frac{2}{3}.$

C. $\frac{1}{3}.$

D. 0

Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_1}=\left(a_1;b_1;c_1\right), \overrightarrow{u_2}=\left(a_2;b_2;c_2\right)$. Gọi $\phi$ là góc giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ .Xét các khẳng định sau:

a) $\cos \phi =\frac{\left|a_1{a}_2+b_1{b}_2+c_1{c}_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}.$

b) $\cos \phi =\frac{a_1{a}_2+b_1{b}_2+c_1{c}_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}.$

c) ${\Delta }_1\perp {\Delta }_2\iff a_1{a}_2+b_1{b}_2+c_1{c}_2=0.$

d) $\sin \phi =\frac{a_1{a}_2+b_1{b}_2+c_1{c}_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}.$

Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3.

II. Thông hiểu

Câu 6. Cho hai đường thẳng . Góc giữa ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ là

A. $0°.$

B. $90°.$

C. $45°.$

D. $30°.$

Câu 7. Tính góc tạo bởi đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-5}{2}=\frac{z+1}{-1}$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x+y+z-1=0.$

A. $0°.$

B. $90°.$

C. $45°.$

D. $30°.$

Câu 8. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):2x-y-z-3=0$ và $\left(Q\right):x-z-2=0$. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng

A. $0°.$

B. $90°.$

C. $45°.$

D. $30°.$

Câu 9. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $M\left(1;0;0\right), N\left(0;1;0\right)$ và $P\left(0;0;1\right)$. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng $\left(MNP\right)$ và $\left(Oxy\right)$ bằng

A. $\frac{1}{\sqrt{3}}.$

B. $\frac{1}{\sqrt{5}}.$

C. $\frac{2}{\sqrt{5}}.$

D. $\frac{1}{3}.$

III. Vận dụng

Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):3x+4y+5z+2=0$ và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(\alpha \right):x-2y+1=0$ và $\left(\beta \right):x-2y-3z=0$. Hãy tính số đo góc $\alpha$ giữa d và (P)

A. $60°.$

B. $90°.$

C. $45°.$

D. $30°.$

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán 12 sách Kết nối tri thức, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

Lý thuyết Bài 16: Công thức tính góc trong không gian

Lý thuyết Bài 17: Phương trình mặt cầu

Lý thuyết Bài 18: Xác suất có điều kiện

Lý thuyết Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Xem thêm tài liệu Toán lớp 12:

Giải Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian

Giải SBT Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian

Giáo án Công thức tính góc trong không gian lớp 12

Giáo án điện tử Công thức tính góc trong không gian lớp 12