Lý thuyết Phương trình mặt phẳng– Toán lớp 12 Kết nối tri thức
Với lý thuyết Toán lớp 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 12.
Lý thuyết Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng- Kết nối tri thức
A. Lý thuyết Phương trình mặt phẳng
1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
• Khái niệm vectơ pháp tuyến
Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu giá của vuông góc với (α).
Chú ý
+) Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.
+) Nếu là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) thì (với k là một số khác 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của (α).
Ví dụ 1. Cho hình chóp đều S.ABCD. Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD).
Hướng dẫn giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO ^ (ABCD).
Do đó là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD).
• Cách tìm một vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ và . Khi đó vectơ vuông góc với cả hai vectơ và , được gọi là tích có hướng của và , kí hiệu là .
Chú ý
+) khi và chỉ khi , cùng phương.
+) Với bốn số x, y, x', y', ta kí hiệu . Khi đó tích có hướng của và là .
Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho và . Tìm .
Hướng dẫn giải
Ta có .
• Khái niệm cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
+) Trong không gian Oxyz, hai vectơ được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) nếu chúng không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P).
+) Nếu là cặp vectơ chỉ phương của (P) thì là một vectơ pháp tuyến của (P).
Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho các vectơ và . Gọi (P) là một mặt phẳng song song với các giá của . Hãy tìm một vectơ pháp tuyến của (P).
Hướng dẫn giải
Ta có là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
• Khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.
Chú ý. Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0) xác định một mặt phẳng nhận làm một vectơ pháp tuyến.
Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x + y – z + 5 = 0. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng (P) nhận làm một vectơ pháp tuyến.
3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng
• Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến
Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng (α) đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và có vectơ pháp tuyến thì có phương trình là:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ⇔ Ax + By + Cz + D = 0, với D = −(Ax0 + By0 + Cz0).
Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(0; 2; 3) và có vectơ pháp tuyến .
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng (P) có phương trình là:
2(x – 0) + 1(y – 2) – 1(z – 3) = 0 Û 2x + y – z + 1 = 0.
• Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương
Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương có thể thực hiện theo các bước sau:
+) Tìm vectơ pháp tuyến .
+) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến .
Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1; 2; −2), B(2; −1; 4) và song song với giá của vectơ .
Hướng dẫn giải
Ta có ; .
Có .
Mặt phẳng (P) đi qua A(1; 2; −2) và nhận làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là:
15(x – 1) + 7(y – 2) + (z + 2) = 0 hay 15x + 7y + z – 27 = 0.
• Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng
Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:
+) Tìm cặp vectơ chỉ phương .
+) Tìm vectơ pháp tuyến .
+) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và có vectơ pháp tuyến .
Ví dụ 7. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; 0; −2), B(1; 1; 1), C(0; −1; 2).
Hướng dẫn giải
Ta có , .
Có .
Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến .
Mặt phẳng (ABC) đi qua A(1; 0; −2), có vectơ pháp tuyến có phương trình là: 7(x – 1) – 3y + (z + 2) = 0 hay 7x – 3y + z – 5 = 0.
4. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: (α): Ax + By + Cz + D = 0, (β): A'x + B'y + C'z + D' = 0 với hai vectơ pháp tuyến tương ứng. Khi đó: (α) (β) .
Ví dụ 8. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y + z + 1 = 0 và mặt phẳng (Q): 3x – 2y + z + 5 = 0. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải
Ta có .
Vì . Do đó (P) (Q).
5. Điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0, (β): A'x + B'y + C'z + D' = 0, với các vectơ pháp tuyến , tương ứng. Khi đó: với k nào đó.
Chú ý
+) Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng kia.
+) Hai mặt phẳng (α) và (β) trùng nhau khi và chỉ khi tồn tại số k khác 0 sao cho A' = kA, B' = kB, C' = kC, D' = kD.
Ví dụ 9. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0; 1; 3) và song song với mặt phẳng (Q): 2x – 3z + 1 = 0.
Hướng dẫn giải
Có là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).
Vì (P) // (Q) nên mặt phẳng (P) nhận làm một vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0; 1; 3), có là vectơ pháp tuyến có phương trình là: 2x – 3(z – 3) = 0 hay 2x – 3z + 9 = 0.
6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là .
Ví dụ 10. Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ điểm I(−1; 2; 1) đến mặt phẳng (α): x + 2y – 2z + 8 = 0.
Hướng dẫn giải
Ta có .
B. Bài tập Phương trình mặt phẳng
Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α): 3x + 2y – z + 1 = 0. Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là:
A. .
B. .
C. .
D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Mặt phẳng (α): 3x + 2y – z + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là .
Bài 2. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(−1; −2; 5) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x + 2y – 3z + 1 = 0 và (R): 2x – 3y + z + 1 = 0.
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng (Q) và (R) có vectơ pháp tuyến lần lượt là
Ta có
.
Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(−1; −2; 5) nhận làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: (x + 1) + (y + 2) + (z – 5) = 0 hay x + y + z – 2 = 0.
Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oy và đi qua điểm M(1; 1; −1).
b) Tính khoảng cách từ A(1; 2; 3) đến mặt phẳng (P).
Hướng dẫn giải
a) Trục Oy có vectơ chỉ phương là , .
Mặt phẳng (P) chứa trục Oy và đi qua điểm M(1; 1; −1) nhận có phương trình là: −1(x – 1) −1(z + 1) = 0 hay x + z = 0.
b) .
Bài 4. Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Ba bức tường (P), (Q), (R) (như hình vẽ) của tòa nhà lần lượt có phương trình (P): x + 2y – 2z + 1 = 0, (Q): 2x + y + 2z – 3 = 0, (R): 2x + 4y – 4z – 19 = 0.
a) Hãy kiểm tra tính song song hoặc vuông góc giữa các bức tường (P), (Q), (R) của tòa nhà.
b) Tính khoảng cách giữa hai bức tường (P) và (R) của tòa nhà.
Hướng dẫn giải
a) Vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt là
.
Có . Do đó (Q) (R).
Có nên (P) // (R).
b) Lấy A(−1; 0; 0) (P).
Vì (P) // (R) nên
d((P),(R)) = d(A, (R)) =
Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), abc ≠ 0. Khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) là:
A. .
B. .
C. .
D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), abc ≠ 0. Khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) là: .
.
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn 12 Kết nối tri thức (hay nhất)
- Văn mẫu 12 - Kết nối tri thức
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12 – Kết nối tri thức
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 12 - Kết nối tri thức
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn 12 – Kết nối tri thức
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Tiếng Anh 12 - Global success
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 12 Global success đầy đủ nhất
- Trọn bộ Ngữ pháp Tiếng Anh 12 Global success đầy đủ nhất
- Giải sbt Tiếng Anh 12 – Global Success
- Giải sgk Vật lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Vật lí 12 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Vật lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Vật lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Hóa học 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Hóa 12 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Hóa 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Hóa 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Sinh học 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Sinh học 12 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Sinh học 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Sinh học 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Lịch sử 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Lịch sử 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Lịch sử 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Địa lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Địa lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Địa lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Tin học 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Tin học 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Tin học 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Công nghệ 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Kinh tế pháp luật 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Kinh tế pháp luật 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Kinh tế pháp luật 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 – Kết nối tri thức