Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số – Toán lớp 12 Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số- Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

1. Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng y = y₀ gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=y_0$ hoặc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=y_0$.

Ví dụ 1. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2}{x-1}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{x-1}=0$ ; $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2}{x-1}=0$ .

Vậy y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

2. Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng x = x₀ gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty ;\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty ;\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty ;\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

Ví dụ 2. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{3x+6}{x-2}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{3x+6}{x-2}=+\infty ;\underset{x\to 2^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{3x+6}{x-2}=-\infty$ .

Do đó đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

3. Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0$.

Ví dụ 3. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=2x+1-\frac{1}{x+2}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(2x+1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{x+2}\right)=0$ ;

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(2x+1\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{x+2}\right)=0$.

Do đó y = 2x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chú ý:

Ta biết rằng nếu đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) thì $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0$.

Do đó $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[f\left(x\right)-(ax+b)].\frac{1}{x}=0$ hoặc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}[f\left(x\right)-(ax+b)].\frac{1}{x}=0$.

Từ đây suy ra $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$ hoặc $a=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$.

Khi đó, ta có $b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]$ hoặc $b=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]$.

Ngược lại, với a và b xác định như trên, đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x). Đặc biệt, nếu a = 0 thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.

Ví dụ 4. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x^2-2x}{x+1}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-2x}{x^2+x}=1$; $b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-3x}{x+1}=-3$.

Tương tự $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=1$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-x\right]=-3$.

Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x – 3.

Nhận xét:

Trong thực hành, để tìm tiệm cận xiên của hàm phân thức trong ví dụ 4, ta viết:

$y=f\left(x\right)=\frac{x^2-2x}{x+1}=x-3+\frac{3}{x+1}$.

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(x-3\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3}{x+1}=0$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(x-3\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3}{x+1}=0$.

Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x – 3.

B. Bài tập Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Trong các mệnh đề sau về hàm số y = f(x), mệnh đề nào đúng?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1.

B. Hàm số nghịch biến trên ℝ.

C. Hàm số đồng biến trên ℝ.

D. Hàm số có một điểm cực trị.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

+) Hàm số không có cực trị

+) Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 2. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}$.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{2x+1}{x+1}=+\infty ;\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{2x+1}{x+1}=-\infty$

Do đó đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x+1}=2;\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x+1}=2$.

Do đó đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 3. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Có $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{x^2+x+1}{x+1}=+\infty ;\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{x^2+x+1}{x+1}=-\infty$

Do đó đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}=x+\frac{1}{x+1}$.

Có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(y-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x+\frac{1}{x+1}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x+1}=0;$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(y-x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x+\frac{1}{x+1}-x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x+1}=0$.

Do đó đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bài 4. Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức $f\left(t\right)=\frac{26t+10}{t+5}$ (f(t) được tính bằng nghìn người).

Xem y = f(t) là một hàm số xác định trên nửa khoảng [0; +∞). Hãy tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải

Ta có $\underset{t\to +\infty }{\lim }f\left(t\right)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{26t+10}{t+5}=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{26+\frac{10}{t}}{1+\frac{5}{t}}=26$ .

Do đó y = 26 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Trên nửa khoảng [0; +∞) đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Bài 5. Đồ thị hàm số $y=\frac{1-3x}{x+2}$ có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:

A. x = −2 và y = −3. B. x = −2 và y = 1.

C. x = −2 và y = 3. D. x = 2 và y = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Có $\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }\frac{1-3x}{x+2}=+\infty ;\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }\frac{1-3x}{x+2}=-\infty$

Do đó x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-3x}{x+2}=-3;\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1-3x}{x+2}=-3$.

Do đó y = −3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.