Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán lớp 12 (Kết nối tri thức)

Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số- Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

1. Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng y = y₀ gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=y_0$ hoặc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=y_0$.

Ví dụ 1. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2}{x-1}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{x-1}=0$ ; $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2}{x-1}=0$ .

Vậy y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

2. Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng x = x₀ gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty ;\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty ;\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty ;\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

Ví dụ 2. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{3x+6}{x-2}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{3x+6}{x-2}=+\infty ;\underset{x\to 2^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{3x+6}{x-2}=-\infty$ .

Do đó đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

3. Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0$.

Ví dụ 3. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=2x+1-\frac{1}{x+2}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(2x+1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{x+2}\right)=0$ ;

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(2x+1\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{x+2}\right)=0$.

Do đó y = 2x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chú ý:

Ta biết rằng nếu đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) thì $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0$.

Do đó $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[f\left(x\right)-(ax+b)].\frac{1}{x}=0$ hoặc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}[f\left(x\right)-(ax+b)].\frac{1}{x}=0$.

Từ đây suy ra $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$ hoặc $a=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$.

Khi đó, ta có $b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]$ hoặc $b=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]$.

Ngược lại, với a và b xác định như trên, đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x). Đặc biệt, nếu a = 0 thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.

Ví dụ 4. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x^2-2x}{x+1}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-2x}{x^2+x}=1$; $b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-3x}{x+1}=-3$.

Tương tự $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=1$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-x\right]=-3$.

Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x – 3.

Nhận xét:

Trong thực hành, để tìm tiệm cận xiên của hàm phân thức trong ví dụ 4, ta viết:

$y=f\left(x\right)=\frac{x^2-2x}{x+1}=x-3+\frac{3}{x+1}$.

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(x-3\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3}{x+1}=0$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(x-3\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3}{x+1}=0$.

Vậy đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x – 3.

B. Bài tập Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Trong các mệnh đề sau về hàm số y = f(x), mệnh đề nào đúng?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1.

B. Hàm số nghịch biến trên ℝ.

C. Hàm số đồng biến trên ℝ.

D. Hàm số có một điểm cực trị.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

+) Hàm số không có cực trị

+) Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 2. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}$.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{2x+1}{x+1}=+\infty ;\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{2x+1}{x+1}=-\infty$

Do đó đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x+1}=2;\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x+1}=2$.

Do đó đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 3. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Có $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{x^2+x+1}{x+1}=+\infty ;\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{x^2+x+1}{x+1}=-\infty$

Do đó đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}=x+\frac{1}{x+1}$.

Có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(y-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x+\frac{1}{x+1}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x+1}=0;$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(y-x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x+\frac{1}{x+1}-x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x+1}=0$.

Do đó đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bài 4. Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức $f\left(t\right)=\frac{26t+10}{t+5}$ (f(t) được tính bằng nghìn người).

Xem y = f(t) là một hàm số xác định trên nửa khoảng [0; +∞). Hãy tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải

Ta có $\underset{t\to +\infty }{\lim }f\left(t\right)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{26t+10}{t+5}=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{26+\frac{10}{t}}{1+\frac{5}{t}}=26$ .

Do đó y = 26 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Trên nửa khoảng [0; +∞) đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Bài 5. Đồ thị hàm số $y=\frac{1-3x}{x+2}$ có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:

A. x = −2 và y = −3. B. x = −2 và y = 1.

C. x = −2 và y = 3. D. x = 2 và y = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Có $\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }\frac{1-3x}{x+2}=+\infty ;\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }\frac{1-3x}{x+2}=-\infty$

Do đó x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-3x}{x+2}=-3;\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1-3x}{x+2}=-3$.

Do đó y = −3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Trắc nghiệm: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

I. Nhận biết

Câu 1. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ

Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng bằng

A. x = 1.

B. x = −1.

C. x = 0.

D. y = −1.

Câu 2. Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.

B. Hàm số nghịch biến trên .

C. Hàm số có một cực trị.

D. Giao điểm của đồ thị và trục tung là $\left(-1;0\right)$

Câu 3.Cho hàm số $y=\frac{2x+1}{x-2}$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. Hàm số có cực trị.

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x=2.

C. Đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left(1;3\right)$.

D. Hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;2\right)\cup \left(2;+\infty \right)$.

Câu 4. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ

Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 4.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Câu 5. Đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x+3}$ có một đường tiệm cận ngang là

A. x= 3.

B. y= 2.

C. x= -3.

D. y= -2.

II. Thông hiểu

Câu 6. Đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x-3}$có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 7. Viết phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{x+3}{2-x}$?

A.x= 2 và y= -1.

B. x= -1 và y= 2.

C. x= 2và $y=\frac{1}{2}$.

D. x= -1và $y=\frac{1}{2}$.

Câu 8. Đường thẳng y = −1 là tiệm cận của đồ thị hàm số nào dưới đây?

A.$y=\frac{x+3}{2-x}$ .

B.$y=\frac{1}{x+1}$.

C. $y=\frac{-2x+1}{2+x}$.

D. $y=\frac{-x^2+3}{x-1}$.

Câu 9. Đường thẳng $x=-1$ không là tiệm cận của đồ thị hàm số nào dưới đây?

B. $y=\frac{1}{x^3+1}.$

C. $y=\frac{-x^2+x+2}{x+1}.$

D. $y=\frac{2}{x^2+3x+2}.$

III. Vận dụng

Câu 10. Đồ thị hàm số nào dưới đây có đường tiệm cận ngang qua điểm $A\left(2;3\right)$

A. $y=\frac{x+3}{3x+2}$.

B. $y=\frac{2x+1}{x-2}$.

C. $y=\frac{3x+1}{2x-2}$.

D. $y=\frac{3x+2}{x+3}$.

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán 12 sách Kết nối tri thức, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Lý thuyết Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Lý thuyết Bài 6: Vectơ trong không gian

Lý thuyết Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian

Lý thuyết Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Xem thêm tài liệu Toán lớp 12:

Giải Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Giải SBT Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Giáo án Đường tiệm cận của đồ thị hàm số lớp 12

Giáo án điện tử Đường tiệm cận của đồ thị hàm số lớp 12