Lý thuyết Phương sai và độ lệch chuẩn Toán lớp 12 (Kết nối tri thức)

Lý thuyết Toán 12 Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn- Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Phương sai và độ lệch chuẩn

1. Phương sai và độ lệch chuẩn

• Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s², là một số được tính theo công thức sau: $s^2=\frac{m_1{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+m_k{\left(x_k-\overline{x}\right)}^2}{n}$; trong đó, n = m₁ + …+ m_k; $x_i=\frac{a_i+a_{i+1}}{2}$ với i = 1, 2, …, k là giá trị đại diện cho nhóm [a_i; a_{i + 1}) và $\overline{x}=\frac{m_1{x}_1+\mathrm{...}+m_k{x}_k}{n}$ là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

• Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là $s=\sqrt{s^2}$.

Nhận xét: Ta có thể tính phương sai theo công thức: $s^2=\frac{1}{n}\left(m_1{x}_1^2+\mathrm{...}+m_k{x}_k^2\right)-{\left(\overline{x}\right)}^2$.

Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu.

Ý nghĩa: Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

Chú ý: Người ta còn sử dụng các đại lượng sau để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm:

${\hat{s}}^2=\frac{m_1{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+m_k{\left(x_k-\overline{x}\right)}^2}{n-1},\hat{s}=\sqrt{{\hat{s}}^2}$.

Ví dụ 1. Chiều cao của 40 mẫu cây ở một vườn thực vật (đơn vị: centimét) được thống kê lại như sau:

Tìm phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu ghép nhóm này.

Hướng dẫn giải

Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu, ta có bảng sau:

Ta có giá trị trung bình của mẫu số liệu là

$\overline{x}=\frac{35.4+45.10+55.14+65.6+75.4+85.2}{40}=55,5$.

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

$s^2=\frac{1}{40}\left({4.35}^2+{10.45}^2+{14.55}^2+{6.65}^2+{4.75}^2+{2.85}^2\right)-55,5^2=\frac{659}{4}$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là

$s=\sqrt{\frac{659}{4}}=\frac{\sqrt{659}}{2}$.

2. Sử dụng phương sai, độ lệch chuẩn đo độ rủi ro

Ví dụ 2. Giá đóng cửa của một cổ phiếu là giá của cổ phiếu đó cuối một phiên giao dịch. Bảng sau thống kê giá đóng cửa (đơn vị: nghìn đồng) của hai mã cổ phiếu A và B trong 50 ngày giao dịch liên tiếp.

Người ta có thể dùng phương sai và độ lệch chuẩn để so sánh mức độ rủi ro của các loại cổ phiếu có giá trị trung bình gần bằng nhau. Cổ phiếu nào có phương sai, độ lệch chuẩn cao hơn thì được coi là có độ rủi ro lớn hơn.

Theo quan điểm trên, hãy so sánh độ rủi ro của cổ phiếu A và cổ phiếu B.

Hướng dẫn giải

Ta có bảng thống kê giá đóng cửa theo giá trị đại diện

Mẫu số liệu của cổ phiếu A:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

$\overline{x_1}=\frac{8.121+9.123+12.125+10.127+11.129}{50}=125,28$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

$s_1^2=\frac{1}{50}\left({8.121}^2+{9.123}^2+{12.125}^2+{10.127}^2+{11.129}^2\right)-{\left(125,28\right)}^2=7,5216$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

$s_1=\sqrt{7,5216}\approx 2,74$.

Mẫu số liệu của cổ phiếu B

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

$\overline{x_2}=\frac{16.121+4.123+3.125+6.127+21.129}{50}=125,48$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

$s_2^2=\frac{{16.121}^2+{4.123}^2+{3.125}^2+{6.127}^2+{21.129}^2}{50}-{\left(125,48\right)}^2=12,4096$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

$s_2=\sqrt{12,4096}\approx 3,52$.

Nếu đánh giá mức độ rủi ro theo phương sai và độ lệch chuẩn thì cổ phiếu A có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu B.

B. Bài tập Phương sai và độ lệch chuẩn

Bài 1. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng:

A. Căn bậc hai số học của phương sai.

B. Một nửa căn bậc hai số học của phương sai.

C. Căn bậc ba của phương sai.

D. Căn bậc hai số học của phương sai trừ 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng căn bậc hai số học của phương sai.

Bài 2. An tìm hiểu hàm lượng chất béo (đơn vị: g) có trong 100 g mỗi loại thực phẩm. Sau khi thu thập dữ liệu về 60 loại thực phẩm, An lập được bảng thống kê

Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải

Ta có bảng thống kê hàm lượng chất béo theo giá trị đại diện

Giá trị trung bình là:

$\overline{x}=\frac{2.4+6.8+10.12+13.16+16.20+13.24}{60}\approx 16,9$.

Phương sai của mẫu số liệu là

$s^2=\frac{{2.4}^2+{6.8}^2+{10.12}^2+{13.16}^2+{16.20}^2+{13.24}^2}{60}-{\left(16,9\right)}^2\approx 32,25$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

$s=\sqrt{32,25}\approx 5,68$.

Bài 3. Khảo sát cân nặng của 30 bạn học sinh (đơn vị: kilogam), ta có mẫu số liệu sau

Xác định cân nặng trung bình, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải

Ta có mẫu số liệu theo giá trị đại diện như sau

Cân nặng trung bình là

$\overline{x}=\frac{1.17,5+1.32,5+10.37,5+17.42,5+1.52,5}{30}=40$.

Phương sai của mẫu số liệu là

$s^2=\frac{1.17,5^2+1.32,5^2+10.37,5^2+17.42,5^2+1.52,5^2}{30}-{40}^2\approx 29,58$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

$s=\sqrt{29,58}\approx 5,44$.

Bài 4. Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả cam ở mỗi lô hàng A và B được cho ở bảng sau:

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên và so sánh cân nặng cam ở lô hàng nào đồng đều hơn?

Hướng dẫn giải

Ta có mẫu số liệu số lượng cam theo giá trị đại diện

Xét lô hàng A.

Cân nặng trung bình của mỗi quả là

$\overline{x_1}=\frac{2.152,5+6.157,5+12.162,5+4.167,5+1.172,5}{25}=161,7$.

Phương sai của mẫu số liệu là

$s_1^2=\frac{2.152,5^2+6.157,5^2+12.162,5^2+4.167,5^2+1.172,5^2}{25}-{\left(161,7\right)}^2=21,36$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

$s_1=\sqrt{21,36}\approx 4,62$.

Xét lô hàng B.

Cân nặng trung bình của mỗi quả là

$\overline{x_2}=\frac{1.152,5+3.157,5+7.162,5+10.167,5+4.172,5}{25}=165,1$.

Phương sai của mẫu số liệu là

$s_2^2=\frac{1.152,5^2+3.157,5^2+7.162,5^2+10.167,5^2+4.172,5^2}{25}-{\left(165,1\right)}^2=26,24$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

$s_2=\sqrt{26,24}\approx 5,12$.

Dựa vào phương sai và độ lệch chuẩn ta thấy lô hàng A khối lượng các quả cam đồng đều hơn.

Bài 5. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, được tính bởi công thức:

A. $s=\frac{1}{n}\left(m_1{x}_1^2+m_2{x}_2^2+\mathrm{...}+m_k{x}_k^2\right)$.

B. $s=\frac{1}{n}\left(m_1{x}_1^2+m_2{x}_2^2+\mathrm{...}+m_k{x}_k^2\right)-{\overline{x}}^2$.

C. $s^2=\frac{1}{n}\left(m_1{x}_1^2+m_2{x}_2^2+\mathrm{...}+m_k{x}_k^2\right)-{\overline{x}}^2$.

D. $s^2=\frac{1}{n}\left(m_1{x}_1^2+m_2{x}_2^2+\mathrm{...}+m_k{x}_k^2\right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, được tính bởi công thức:

$s^2=\frac{1}{n}\left(m_1{x}_1^2+m_2{x}_2^2+\mathrm{...}+m_k{x}_k^2\right)-{\overline{x}}^2$.

Trắc nghiệm: Phương sai và độ lệch chuẩn

I. Nhận biết

Câu 1. Một mẫu số liệu ghép nhóm có độ lệch chuẩn bằng 4 thì có phương sai bằng

A. 2

B. -2

C. 16

D. -16

Câu 2. Một mẫu số liệu ghép nhóm có phương sai bằng 25 thì có độ lệch chuẩn bằng:

A. 5

B. -5

C. 50

D. 256

Câu 3. Cân nặng của một quả mít trong một khu vườn được thông kê ở bảng sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

A. 8

B. 9

C. $8,72.$

D. 8,5

Câu 4. Khối lượng 66 quả bưởi da xanh ở lô hàng A được ghi lại ở bảng sau:

Khối lượng trung bình của mỗi quả bưởi gần nhất với kết quả nào dưới đây:

A. 1,533 kg.

B. 1,897 kg.

C. 1,95 kg.

D. 2,056 kg.

Câu 5. Bảng thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của một số cây giống sau khi nảy mầm được 2 tuần:

Chiều cao trung bình của cây giống là (làm tròn kết quả đến phần trăm nếu cần).

A. 7,35 cm.

B. 7,36 cm.

C. 7,38 cm.

D. 6,94 cm.

II. Thông hiểu

Câu 6. Nhiệt độ trong 55 ngày của một địa phương được cho trong bảng số liệu sau:

Phương sai của mẫu số liệu được làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất nằm trong khoảng

A. $\left(17;19\right).$

B. $\left(20;21\right).$

C.$\left(19;20\right).$

D. $\left(23;25\right).$

Câu 7. Thành tích môn nhảy cao của các vận động viên tại một giải điền kinh danh cho học sinh học phổ thông như sau:

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu được làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai là

A. $2,75.$

B. $1,66.$

C. $2,57.$

D. $1,60.$

Câu 8. Một cửa hàng sách thống kê số truyện thiếu nhi bán được trong hai tháng ở bảng sau:

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây:

A. $7,11.$

B. 9, 8

C. 7, 21

D. 9, 6

Câu 9. Khảo sát số tiền làm thêm (đơn vị: nghìn đồng) trong một khoảng thời gian của một nhóm học sinh được ghi lại ở bảng sau:

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây:

A. $487,65.$

B. $488,67.$

C. $460,29.$

D. $793,25.$

III. Vận dụng

Câu 10. Kiểm tra khả năng tính nhẩm nhanh của hai đứa trẻ A và B bằng 50 câu hỏi cộng 2 số tự nhiên có hai chữ số, trừ số tự nhiên có hai chữ số cho số tự nhiên có một chữ số. Bấm giờ từ lúc màn hình hiển thị đề bài đến khi học sinh trả lời đúng, ta được bảng sau:

Khi đó:

a) Trung bình thì em A tính nhẩm nhanh hơn em B là 1, 2 giây.

b) Khả năng lớn nhất em A đưa ra câu trả lời ở giây thứ 12.

c) Thời gian tính nhẩm của em B đồng đều hơn.

d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu của em B lớn hơn 12.

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán 12 sách Kết nối tri thức, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 11: Nguyên hàm

Lý thuyết Bài 12: Tích phân

Lý thuyết Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân

Lý thuyết Bài 14: Phương trình mặt phẳng

Lý thuyết Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

• Xem thêm tài liệu Toán lớp 12:

Giải Toán 12 Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn

Giải SBT Toán 12 Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn

Giáo án Phương sai và độ lệch chuẩn lớp 12

Giáo án điện tử Phương sai và độ lệch chuẩn lớp 12