Lý thuyết Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ – Toán lớp 12 Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ

• Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ trong không gian

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=(x;y;z)$ và $\overrightarrow{b}=(x^{\text{'}};y^{\text{'}};z^{\text{'}})$ . Ta có:

+) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x+x^{\text{'}};y+y^{\text{'}};z+z^{\text{'}})$;

+) $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(x-x^{\text{'}};y-y^{\text{'}};z-z^{\text{'}})$;

+) $\overrightarrow{a}=(kx;ky;kz)$ với k là một số thực.

Nhận xét: Vectơ $\overrightarrow{a}=(x;y;z)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{b}=(x^{\text{'}};y^{\text{'}};z^{\text{'}})\ne \overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho$\left\{\begin{array}{l}x=k{x}^{\text{'}}\\ y=k{y}^{\text{'}}\\ z=kz\end{array}\right.$.

Ví dụ 1. Cho các vectơ $\overrightarrow{a}=(-2;-3;5)$, $\overrightarrow{b}=(3;5;-7)$. Tính $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b};\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b};3\overrightarrow{a}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(-2+3;-3+5;5-7)=(1;2;-2)$.

$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(-2-3;-3-5;5+7)=(-5;-8;12)$.

$\overrightarrow{3a}=(-6;-9;15)$.

• Tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B) và C(x_C; y_C; z_C). Khi đó:

- Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là $(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2})$.

- Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là $(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3})$.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho DABC có ba đỉnh A(2; 1; −3), B(4; 2; 1), C(3; 0; 5). Tìm tọa độ trọng tâm G của DABC.

Hướng dẫn giải

Vì G là trọng tâm của DABC nên $\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{2+4+3}{3}=3\\ y_G=\frac{1+2+0}{3}=1\\ z_G=\frac{-3+1+5}{3}=1\end{array}\right.$.

Vậy G(3; 1; 1).

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

• Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong không gian

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}=(x;y;z)$và $\overrightarrow{b}=(x^{\text{'}};y^{\text{'}};z^{\text{'}})$ được xác định bởi công thức: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=x.x^{\text{'}}+y.y^{\text{'}}+z.z^{\text{'}}$.

Nhận xét:

- Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu xx' + yy' + zz' = 0.

- Nếu $\overrightarrow{a}=(x;y;z)$ thì $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

- Nếu $\overrightarrow{a}=(x;y;z)$ và $\overrightarrow{b}=(x^{\text{'}};y^{\text{'}};z^{\text{'}})$ là hai vectơ khác $\overrightarrow{0}$ thì $\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{x.x\text{'}+y.y\text{'}+z.z\text{'}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2+z{\text{'}}^2}}$.

Ví dụ 3. Cho $\overrightarrow{a}=(2;3;5)$ và $\overrightarrow{b}=(7;1;8)$. Tính góc giữa hai vetơ $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.7+3.1+5.8=57$; $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{2^2+3^2+5^2}=\sqrt{38}$; $\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{7^2+1^2+8^2}=\sqrt{114}$.

Có $\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{57}{\sqrt{38}.\sqrt{114}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})={30}^{\circ }$.

Chú ý: Nếu A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B) thì

$=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{(x_B-x_A)}^2+{(y_B-y_A)}^2+{(z_B-z_A)}^2}$.

Đặc biệt, khi B trùng O thì ta nhận được công thức $OA=\sqrt{x_A+y_A+z_A}$.

Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(−5; −2; 5), B(−3; 4; 9), C(1; 2; 3). Tính diện tích của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Có $\overrightarrow{AB}=(-3+5;4+2;9-5)=(2;6;4)\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{2^2+6^2+4^2}=\sqrt{56}$.

$\overrightarrow{AC}=(1+5;2+2;3-5)=(6;4;-2)\Rightarrow \left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{6^2+4^2+{(-2)}^2}=\sqrt{56}$.

$\overrightarrow{BC}=(1+3;2-4;3-9)=(4;-2;-6)\Rightarrow \left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{4^2+{(-2)}^2+{(-6)}^2}=\sqrt{56}$

Nhận thấy AB = AC = BC. Do đó DABC đều.

Suy ra diện tích DABC là $A{B}^2\frac{\sqrt{3}}{4}={\left(\sqrt{56}\right)}^2.\frac{\sqrt{3}}{4}=14\sqrt{3}$.

3. Vận dụng tọa độ của vectơ trong một số bài toán có liên quan đến thực tiễn

Ví dụ 5. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}(20;30;-10)$ (đơn vị: N) tạo bởi một drone giao hàng khi thực hiện một độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}=(150;200;100)$ (đơn vị: m).

Hướng dẫn giải

Công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ là $A=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{d}=20.150+30.200+(-10).100=8000$ J.

B. Bài tập Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{a}=(5;7;2)$, $\overrightarrow{b}=(3;0;4),\overrightarrow{c}=(-6;1;-1)$. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{m}=3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$.

A. $\overrightarrow{m}=(3;-22;3)$.

B. $\overrightarrow{m}=(3;22;-3)$.

C. $\overrightarrow{m}=(3;22;3)$.

D. $\overrightarrow{m}=(-3;22;-3)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có $\overrightarrow{a}=(15;21;6)$; $\overrightarrow{b}=(6;0;8)$.

Khi đó $\overrightarrow{m}=3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=(15-6-6;21-0+1;6-8-1)=(3;22;-3)$.

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 0; 2), B(1; 1; 4) và trọng tâm G(1; −1; 2).

a) Tìm tọa độ điểm C.

b) Tính chu vi tam giác ABC.

c) Tính $\widehat{BAC}$.

Hướng dẫn giải

a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

$\left\{\begin{array}{l}{x}_C=3x_G-x_A-x_B\\ y_C=3y_G-y_A-y_B\\ z_C=3z_G-z_A-z_B\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_C=3.1-1-1=1\\ y_C=3.(-1)-0-1=-4\\ z_C=3.2-2-4=0\end{array}\right.$.

Vậy C(1; −4; 0).

b) Có $\overrightarrow{AB}=(1-1;1-0;4-2)=(0;1;2)\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{0^2+1^2+2^2}=\sqrt{5}$.

$\overrightarrow{AC}=(1-1;-4-0;0-2)=(0;-4;-2)\Rightarrow \left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{{(-4)}^2+{(-2)}^2}=2\sqrt{5}$

$\overrightarrow{BC}=(1-1;-4-1;0-4)=(0;-5;-4)\Rightarrow \left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{{(-5)}^2+{(-4)}^2}=\sqrt{41}$

Chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC = $\sqrt{5}+\sqrt{41}$.

c) $\cos \widehat{BAC}=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\frac{0.0+1.(-4)+2.(-2)}{\sqrt{5}.2\sqrt{5}}=-\frac{4}{5}$.

Suy ra $\widehat{BAC}\approx {143}^{\circ }$.

Bài 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 4; 1) và B(1; 2; 1).

a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB.

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oy và cách đều hai điểm A và B.

Hướng dẫn giải

a) Vì I là trung điểm của AB nên $\left\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{x_A+x_B}{2}\\ y_I=\frac{y_A+y_B}{2}\\ z_I=\frac{z_A+z_B}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{{\displaystyle 3+1}}{{\displaystyle 2}}=2\\ y_I=\frac{{\displaystyle 4+2}}{{\displaystyle 2}}=3\\ z_I=\frac{{\displaystyle 1+1}}{{\displaystyle 2}}=1\end{array}\right.$.

Vậy I(2; 3; 1).

b) Vì M thuộc Oy nên M(0; y; 0).

Do M cách đều hai điểm A và B nên MA = MB

$\iff \sqrt{10+{(4-y)}^2}=\sqrt{2+{(2-y)}^2}$.

$\iff 26-8y+y^2=6-4y+y^2$

$\iff 4y=20\iff y=5$.

Vậy M(0; 5; 0).

Bài 4. Cho biết máy bay A đang bay với vectơ vận tốc $\overrightarrow{a}=(300;200;400)$ (đơn vị: km/h). Máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ gấp hai lần tốc độ của máy bay A.

a) Tìm tọa độ vectơ vận tốc $\overrightarrow{b}$ của máy bay B.

b) Tính tốc độ của máy bay B.

Hướng dẫn giải

a) Có $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}=(600;400;800)$.

b) Tốc độ của máy bay B là:

$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{{600}^2+{400}^2+{800}^2}\approx 1077,03$km/h.

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3; 2; 1), B(−1; 3; 2), C(2; 4; −3). Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ là

A. 10.

B. −6.

C. 2.

D. −2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Có $\overrightarrow{AB}=(-4;1;1)$ và $\overrightarrow{AC}=(-1;2;-4)$.

Khi đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=(-4).(-1)+1.2+1.(-4)=2$.