Lý thuyết Tích phân– Toán lớp 12 Kết nối tri thức
Với lý thuyết Toán lớp 12 Bài 12: Tích phân chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 12.
Lý thuyết Toán 12 Bài 12: Tích phân- Kết nối tri thức
A. Lý thuyết Tích phân
1. Khái niệm tích phân
• Diện tích hình thang cong
+) Hình thang cong: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b, (a < b), trong đó f(x) là hàm liên tục không âm trên đọan [a; b], gọi là một hình thang cong.
+) Diện tích hình thang cong
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là S = F(b) – F(a), trong đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
Ví dụ 1. Tính diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2.
Hướng dẫn giải
Một nguyên hàm của hàm số là .
Do đó, diện tích của hình thang cong cần tính là:
S = F(2) – F(1) = .
• Định nghĩa tích phân
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là .
Chú ý
a) Hiệu F(b) – F(a) thường được kí hiệu là . Như vậy .
b) Ta gọi là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.
c) Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước:
.
Ví dụ 2. Tính
a) ; b) .
Hướng dẫn giải
a) .
b) .
• Ý nghĩa hình học của tích phân
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì tích phân là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy S = .
Ví dụ 3. Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính .
Hướng dẫn giải
Ta có là phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc tọa độ O và bán kính 3. Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa phía trên trục hoành của hình tròn tương ứng.
Vậy .
2. Tính chất của tích phân
1) (k là hằng số);
2) ;
3) ;
4) (a < c < b).
Ví dụ 4. Tính
a) ; b) .
Hướng dẫn giải
a)
.
b)
.
B. Bài tập Tích phân
Bài 1. Biết . Giá trị của bằng
A. 7.
B. .
C. 64.
D. 12.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có = 3.4 = 12.
Bài 2. Biết F(x) = x3 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ. Giá trị của bằng
A. .
B. 7.
C. 9.
D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có
= 9.
Bài 3. Tính .
Hướng dẫn giải
Bài 4. Cho hai quả bóng A, B di chuyển ngược chiều nhau va chạm với nhau. Sau va chạm mỗi quả bóng nảy ngược lại một đoạn thì dừng hẳn. Biết sau khi va chạm, quả bóng A nảy ngược lại với vận tốc vA(t) = 8 – 2t (m/s) và quả bóng B nảy ngược lại với vận tốc vB(t) = 12 – 4t (m/s). Tính khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi đã dừng hẳn (giả sử hai quả bóng đều chuyển động thẳng).
Hướng dẫn giải
Thời gian quả bóng A chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là
vA(t) = 0 8 – 2t = 0 t = 4 (s).
Quãng đường quả bóng A di chuyển là
(m).
Thời gian quả bóng B chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là
vB(t) = 0 12 – 4t = 0 t = 3 (s).
Quãng đường quả bóng B đi được là
(m).
Khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi đã dừng hẳn là:
S = SA + SB = 16 + 18 = 34 (m).
Bài 5. Tính
a) ; b) .
Hướng dẫn giải
a)
= 9.
b)
.
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn 12 Kết nối tri thức (hay nhất)
- Văn mẫu 12 - Kết nối tri thức
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12 – Kết nối tri thức
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 12 - Kết nối tri thức
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn 12 – Kết nối tri thức
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Tiếng Anh 12 - Global success
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 12 Global success đầy đủ nhất
- Trọn bộ Ngữ pháp Tiếng Anh 12 Global success đầy đủ nhất
- Giải sbt Tiếng Anh 12 – Global Success
- Giải sgk Vật lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Vật lí 12 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Vật lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Vật lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Hóa học 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Hóa 12 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Hóa 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Hóa 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Sinh học 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Sinh học 12 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Sinh học 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Sinh học 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Lịch sử 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Lịch sử 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Lịch sử 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Địa lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Địa lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Địa lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Tin học 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Tin học 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Tin học 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Công nghệ 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Kinh tế pháp luật 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Kinh tế pháp luật 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Kinh tế pháp luật 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 – Kết nối tri thức