Lý thuyết Tích phân– Toán lớp 12 Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán 12 Bài 12: Tích phân- Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Tích phân

1. Khái niệm tích phân

• Diện tích hình thang cong

+) Hình thang cong: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b, (a < b), trong đó f(x) là hàm liên tục không âm trên đọan [a; b], gọi là một hình thang cong.

+) Diện tích hình thang cong

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là S = F(b) – F(a), trong đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

Ví dụ 1. Tính diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = $\frac{x^3}{3}$ , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2.

Hướng dẫn giải

Một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^3}{3}$ là $F\left(x\right)=\frac{x^4}{12}$ .

Do đó, diện tích của hình thang cong cần tính là:

S = F(2) – F(1) = $\frac{2^4}{12}-\frac{1^4}{12}=\frac{15}{12}=\frac{5}{4}$ .

• Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ .

Chú ý

a) Hiệu F(b) – F(a) thường được kí hiệu là $F\left(x\right)|\begin{array}{c}b\\ a\end{array}$ . Như vậy $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(x\right)|\begin{array}{c}b\\ a\end{array}$ .

b) Ta gọi $\underset{a}{\overset{b}{\int }}$ là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

c) Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước:

$\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=0;\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx$ .

Ví dụ 2. Tính

a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}4x^{3}dx$ ; b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{3}^{x}dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}4x^{3}dx$$=x^4{|}_0^1=1-0=1$ .

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{3}^{x}dx$$=\frac{3^x}{\ln 3}{|}_1^2=\frac{3^2}{\ln 3}-\frac{3}{\ln 3}=\frac{6}{\ln 3}$ .

• Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì tích phân $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy S = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ .

Ví dụ 3. Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính $\underset{-3}{\overset{3}{\int }}\sqrt{9-x^2}dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $y=\sqrt{9-x^2}$ là phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc tọa độ O và bán kính 3. Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa phía trên trục hoành của hình tròn tương ứng.

Vậy $\underset{-3}{\overset{3}{\int }}\sqrt{9-x^2}dx=\frac{1}{2}\pi {.3}^2=\frac{9\pi }{2}$ .

2. Tính chất của tích phân

1) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}kf\left(x\right)dx=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ (k là hằng số);

2) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$ ;

3) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$ ;

4) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ (a < c < b).

Ví dụ 4. Tính

a) $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(4x^3-e^x\right)dx$ ; b) $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(1+\sin x\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(4x^3-e^x\right)dx$$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}4x^{3}dx-\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x}dx$

$=x^4{|}_0^1-e^x{|}_0^1=1-e+1=2-e$ .

b) $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(1+\sin x\right)dx$$=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}1dx+\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin xdx$

$=x{|}_0^{\frac{\pi }{2}}-\cos x{|}_0^{\frac{\pi }{2}}$$=\frac{\pi }{2}+1$ .

B. Bài tập Tích phân

Bài 1. Biết $\underset{1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=4$ . Giá trị của $\underset{1}{\overset{5}{\int }}3f\left(x\right)dx$ bằng

A. 7.

B. $\frac{4}{3}$ .

C. 64.

D. 12.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\underset{1}{\overset{5}{\int }}3f\left(x\right)dx=3\underset{1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx$= 3.4 = 12.

Bài 2. Biết F(x) = x³ là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ. Giá trị của $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(2+f\left(x\right)\right)dx$ bằng

A. $\frac{23}{4}$ .

B. 7.

C. 9.

D. $\frac{15}{4}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(2+f\left(x\right)\right)dx$$=\underset{1}{\overset{2}{\int }}2dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

$=2x{|}_1^2+F\left(x\right){|}_1^2$$=2+x^3{|}_1^2$ = 9.

Bài 3. Tính $I=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-1\right|dx$ .

Hướng dẫn giải

$I=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-1\right|dx$$=\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}\left|x^2-1\right|dx+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|x^2-1\right|dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-1\right|dx$

$=\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}\left(x^2-1\right)dx+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(1-x^2\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-1\right)dx$

$=\left(\frac{x^3}{3}-x\right){|}_{-2}^{-1}+\left(x-\frac{x^3}{3}\right){|}_{-1}^1+\left(\frac{x^3}{3}-x\right){|}_1^2$

$=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=4$

Bài 4. Cho hai quả bóng A, B di chuyển ngược chiều nhau va chạm với nhau. Sau va chạm mỗi quả bóng nảy ngược lại một đoạn thì dừng hẳn. Biết sau khi va chạm, quả bóng A nảy ngược lại với vận tốc v_A(t) = 8 – 2t (m/s) và quả bóng B nảy ngược lại với vận tốc v_B(t) = 12 – 4t (m/s). Tính khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi đã dừng hẳn (giả sử hai quả bóng đều chuyển động thẳng).

Hướng dẫn giải

Thời gian quả bóng A chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là

v_A(t) = 0 $\iff$ 8 – 2t = 0 $\iff$ t = 4 (s).

Quãng đường quả bóng A di chuyển là

$S_A=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(8-2t\right)dt=\left(8t-t^2\right){|}_0^4=16$ (m).

Thời gian quả bóng B chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là

v_B(t) = 0 $\iff$ 12 – 4t = 0 $\iff$ t = 3 (s).

Quãng đường quả bóng B đi được là

$S_B=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(12-4t\right)dt=\left(12t-2t^2\right){|}_0^3=18$ (m).

Khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi đã dừng hẳn là:

S = S_A + S_B = 16 + 18 = 34 (m).

Bài 5. Tính

a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(3x+1\right)\left(x+3\right)dx$ ; b) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^2\frac{x}{2}dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(3x+1\right)\left(x+3\right)dx$$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(3x^2+10x+3\right)dx$

$=\left(x^3+5x^2+3x\right){|}_0^1$= 9.

b) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^2\frac{x}{2}dx$$=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{1+\cos x}{2}dx$$=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{1}{2}dx+\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\cos x}{2}dx$

$=\frac{1}{2}\left(x+\sin x\right){|}_0^{\frac{\pi }{2}}$$=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi }{2}+1\right)$ .