Lý thuyết Xác suất có điều kiện Toán lớp 12 (Kết nối tri thức)

Lý thuyết Toán 12 Bài 18: Xác suất có điều kiện- Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Xác suất có điều kiện

1. Xác suất có điều kiện

• Khái niệm xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A, được tính khi biết biến cố B đã xảy ra, được gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu P(A| B).

• Công thức tính xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố A và B bất kì, với P(B) > 0. Khi đó $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}$ .

Ví dụ 1. Trong hộp có 3 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đỏ. Lấy lần lượt mỗi lần một viên theo cách lấy không trả lại. Tính xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất cũng là màu đỏ?

Hướng dẫn giải

Gọi biến cố A: “Lần thứ hai lấy được viên bi màu đỏ”.

Biến cố B: “Lần thứ nhất lấy được viên bi màu đỏ”.

Biến cố AB: “Cả hai lần đều lấy được bi màu đỏ”.

Ta cần tính P(A| B).

Ta có $P\left(B\right)=\frac{7}{10}$ ; $P\left(AB\right)=\frac{7}{10}.\frac{6}{9}=\frac{7}{15}$ .

Do đó $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\frac{7}{15}:\frac{7}{10}=\frac{2}{3}$ .

2. Công thức nhân xác suất

Với hai biến cố A và B bất kì, ta có: P(AB) = P(B).P(A| B).

Công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất.

Nhận xét. Vì AB = BA nên với hai biến cố A và B bất kì, ta cũng có:

P(AB) = P(A).P(B| A).

Ví dụ 2. Trong hộp có 20 nắp khoen bia Tiger, trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã trúng thưởng xe Camry”. Bạn Minh Hiền được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp khoen. Tính xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng.

Hướng dẫn giải

Gọi biến cố A: “nắp khoen đầu trúng thưởng”.

Biến cố B: “nắp khoen thứ hai trúng thưởng”.

Ta cần tính P(AB).

Khi bạn Minh Hiền rút thăm lần đầu tiên trúng thưởng thì trong hộp có 20 nắp trong đó có 2 nắp trúng thưởng. Do đó $P\left(A\right)=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$ .

Khi biến cố A xảy ra thì còn lại 19 nắp trong đó có 1 nắp trúng thưởng.

Do đó $P\left(B|A\right)=\frac{1}{19}$ .

Áp dụng công thức nhân xác suất ta có:

$P\left(AB\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)=\frac{1}{10}.\frac{1}{19}=\frac{1}{190}$ .

B. Bài tập Xác suất có điều kiện

Bài 1. Cho hai biến cố A và B, với P(A) = 0,6; P(B) = 0,7; P(AÇB) = 0,3.

Tính P(A| B).

A. $\frac{3}{7}$.

B. $\frac{1}{2}$.

C. $\frac{6}{7}$.

D. $\frac{1}{7}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Có $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\frac{0,3}{0,7}=\frac{3}{7}$.

Bài 2. Một bình đựng 9 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 2 bi, mỗi lần lấy 1 bi không hoàn lại. Tính xác suất để bi thứ 2 màu xanh nếu biết bi thứ nhất màu đỏ.

Hướng dẫn giải

Gọi biến cố A: “Bi thứ nhất là màu đỏ”.

Biến cố B: “Bi thứ hai là màu xanh”.

Ta cần tính P(B| A).

Ta có $P\left(A\right)=\frac{7}{16}$; $P\left(AB\right)=\frac{7}{16}.\frac{9}{15}=\frac{21}{80}$.

Do đó $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}=\frac{21}{80}:\frac{7}{16}=\frac{3}{5}$.

Bài 3. Áo sơ mi An Phước trước khi xuất khẩu sang Mỹ phải trải qua 2 lần kiểm tra, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân 98% sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất và 95% sản phẩm qua được lần kiểm tra đầu sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Tính xác suất để 1 chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu?

Hướng dẫn giải

Gọi biến cố A: “Chiếc áo sơ mi đó qua được lần kiểm tra thứ nhất”.

Biến cố B: “Chiếc áo sơ mi qua được lần kiểm tra thứ hai”.

Cần tính P(AB).

Theo đề ta có: P(A) = 0,98; P(B| A) = 0,95.

Do đó P(AB) = P(A). P(B| A) = 0,98.0,95 = 0,931.

Bài 4. Lớp Toán Sư Phạm có 95 Sinh viên, trong đó có 40 nam và 55 nữ. Trong kỳ thi môn Xác suất thống kê có 23 sinh viên đạt điểm giỏi (trong đó có 12 nam và 11 nữ). Gọi ngẫu nhiên một sinh viên trong danh sách lớp. Tìm xác suất gọi được sinh viên đạt điểm giỏi môn Xác suất thống kê, biết rằng sinh viên đó là nữ?

Hướng dẫn giải

Gọi biến cố A: “Sinh viên đó đạt điểm giỏi môn Xác suất thống kê”.

Biến cố B: “Sinh viên đó là nữ”.

Biến cố AB: “Sinh viên nữ đạt điểm giỏi môn xác suất thống kê”

Ta cần tính P(A| B).

Theo đề ta có: $P\left(AB\right)=\frac{11}{95}$; $P\left(B\right)=\frac{55}{95}$.

Do đó $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\frac{11}{95}:\frac{55}{95}=\frac{1}{5}$

Bài 5. Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6. Biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm.

A. $\frac{2}{6}$.

B. $\frac{1}{2}$.

C. $\frac{1}{6}$.

D. $\frac{5}{6}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi A là biến cố: “Con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”.

B là biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”.

Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm thì lần thứ hai xuất hiện mặt 2 chấm thì tổng hai lần xuất hiện là 6 chấm. Do đó $P\left(B|A\right)=\frac{1}{6}$.

Trắc nghiệm: Xác suất có điều kiện

I. Nhận biết

Câu 1. Cho hai biến cố A và B bất kì, với $P\left(B\right)>0$. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây:

A. $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}.$

B. $P\left(A|B\right).P\left(B\right)=P\left(AB\right).$

C. $P\left(B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A|B\right)}.$

D. $P\left(B\right)=\frac{P\left(A|B\right)}{P\left(AB\right)}.$

Câu 2. Cho hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập và $P\left(A\right)>\mathrm{0,}P\left(B\right)>0.$ Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây.

A. $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(B\right)}=\frac{P\left(A\right).P\left(B\right)}{P\left(B\right)}=P\left(A\right).$

B. $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(BA\right)}{P\left(A\right)}=\frac{P\left(A\right).P\left(B\right)}{P\left(A\right)}=P\left(B\right).$

C. $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(BA\right)}{P\left(A\right)}=\frac{P\left(A\right).P\left(B\right)}{P\left(A\right)}=P\left(B\right).$

D. $P\left(AB\right)=P\left(A\right).P\left(B\right).$

Câu 3. Cho hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập, với $P\left(A\right)=\mathrm{0,2024}$, $P\left(B\right)=\mathrm{0,2025}$. Tính $P\left(A|B\right)$

A. 0,7976

B. 0,7975

C. 0,2025

D. 0,2024

Câu 4. Cho hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập, với $P\left(A\right)=\mathrm{0,24}$, $P\left(B\right)=\mathrm{0,25}$. Tính $P\left(B|\overline{A}\right)$.

A. 0,25

B. 0,24

C. 0,06

D. 0,49

Câu 5. Cho hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập, với $P\left(A\right)=\mathrm{0,6}, P\left(B\right)=\mathrm{0,7,}$ $P\left(A\cap B\right)=\mathrm{0,3}$. Tính $P\left(A|B\right)$.

A. $\frac{3}{7}.$

B. $\frac{1}{2}.$

C. $\frac{6}{7}.$

D. $\frac{1}{7}.$

II. Thông hiểu

Câu 6. Cho hai biến cố A và B với $P\left(A\right)=\mathrm{0,8}, P\left(B\right)=\mathrm{0,65}$, $P\left(A\cap \overline{B}\right)=\mathrm{0,55}$. Tính $P\left(A\cap B\right)$

A. 0, 25

B. 0,1

C. 0,15

D. 0,35

Câu 7. Một hộp chứa 4 quả bóng được đánh số từ 1 đến 4. An lấy ngẫu nhiên một quả bóng, bỏ ra ngoài, rồi lấy tiếp một quả bóng nữa. Xét các biến cố:

A: “Quả bóng lấy ra lần đầu có số chẵn”.

B: “Quả bóng lấy ra lần đầu có số lẻ”.

Tính xác suất có điều kiện $P\left(A|B\right).$

A. $\frac{1}{3}.$

B. $\frac{1}{2}.$

C. $\frac{2}{3}.$

D. $\frac{3}{4}.$

Câu 8. Một hộp kín đựng 20 tấm thẻ giống nhau được đánh số từ 1 đến 20. Một người rút ngẫu nhiên ra một tấm thẻ từ trong hộp. Người đó được thông báo rằng thẻ rút ra mang số chẵn. Tính xác suất để người đó rút được thẻ số 10.

A. 0,4

B. 0,3

C. 0,2

D. 0,1

Câu 9. Một công ty xây dựng đấu thầu hai dự án độc lập. Khả năng thắng thầu của các dự án 1 là 0,6 và dự án 2 là 0,7. Tính xác suất để công ty thắng thầu đúng 1 dự án.

A. 0,28

B. 0,7

C. 0,46

D. 0,18.

III. Vận dụng

Câu 10. Lớp 12A có 30 học sinh, trong đó có 17 bạn nữ còn lại là nam. Có 3 bạn tên Hiền, trong đó có 1 bạn nữ bà 2 bạn nam. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên một bạn lên bảng, khi đó:

a) Xác suất để có tên hiền là $\frac{1}{10}.$

b) Xác suất để có tên Hiền, biết bạn đó là nữ là $\frac{3}{17}.$

c) Xác suất để có tên Hiền, biết bạn đó là nam là $\frac{2}{13}.$

d) Nếu thầy giáo gọi 1 bạn có tên Hiền lên bảng thì xác suất để bạn đó là nam là $\frac{3}{17}.$

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0.

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán 12 sách Kết nối tri thức, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

Lý thuyết Bài 16: Công thức tính góc trong không gian

Lý thuyết Bài 17: Phương trình mặt cầu

Lý thuyết Bài 18: Xác suất có điều kiện

Lý thuyết Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Xem thêm tài liệu Toán lớp 12:

Giải Toán 12 Bài 18: Xác suất có điều kiện

Giải SBT Toán 12Bài 18: Xác suất có điều kiện

Giáo án Xác suất có điều kiện lớp 12

Giáo án điện tử Xác suất có điều kiện lớp 12