Lý thuyết Ứng dụng hình học của tích phân– Toán lớp 12 Kết nối tri thức
Với lý thuyết Toán lớp 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm để học tốt môn Toán 12.
Lý thuyết Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân- Kết nối tri thức
A. Lý thuyết Ứng dụng hình học của tích phân
1. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
• Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b.
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b), được tính bằng công thức .
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 2.
Hướng dẫn giải
Diện tích hình phẳng cần tính là
.
• Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b, được tính bằng công thức .
Chú ý: Nếu f(x) – g(x) không đổi dấu trên đoạn [a; b] thì
.
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x3 – x; y = 3x và hai đường thẳng x = 0; x = 1.
Hướng dẫn giải
Diện tích hình phẳng cần tính là
2. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể
• Tính thể tích vật thể
Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi ẞ là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là S(x). Giả sử S(x) là hàm liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó thể tích V của phần vật thể ẞ được tính bởi công thức .
Ví dụ 3. Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 1 và x = 4, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1 ≤ x ≤ 4) là một tam giác đều cạnh là .
Hướng dẫn giải
Diện tích thiết diện S(x) là
.
Do đó, thể tích vật thể cần tính là:
• Tính thể tích khối tròn xoay
Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b].
Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay.
Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x Î [a; b] được một hình tròn có bán kính f(x).
Thể tích của khối tròn xoay này là .
Ví dụ 4. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = ex, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3.
Hướng dẫn giải
Thể tích vật thể cần tính là:
.
B. Bài tập Ứng dụng hình học của tích phân
Bài 1. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức
A. .
B. .
C. .
D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Dựa vào định nghĩa, ta chọn đáp án A.
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x, y = 0, x = 0, x = 2.
Hướng dẫn giải
Diện tích cần tính là:
.
Bài 3. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong , trục hoành và các đường thẳng x = 0, . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi D quay quanh trục hoành.
Hướng dẫn giải
Thể tích cần tính là:
.
Bài 4. Nhà bạn Minh cần làm một cái cửa có dạng như hình vẽ bên dưới, nửa dưới là hình vuông, phần phía trên (phần tô đen) là một Parabol. Biết các kích thước a = 2,5m, b = 0,5m, c = 2m. Biết số tiền để làm 1 m2 cửa là 1 triệu đồng. Tính số tiền để làm cửa.
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Gọi (P): y = ax2 + bx + c là Parabol đi qua điểm A(1; 2) và có đỉnh là B(0; 2,5).
Khi đó ta có .
Vậy (P): y = −0,5x2 + 2,5.
Do đó diện tích cửa là
(m2).
Vậy số tiền cần làm cửa là triệu đồng.
Bài 5. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường thẳng y = x2; y = 0; x = 2. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay (H) quanh trục Ox.
A. .
B. .
C. .
D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Thể tích cần tính là .
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn 12 Kết nối tri thức (hay nhất)
- Văn mẫu 12 - Kết nối tri thức
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 12 – Kết nối tri thức
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 12 - Kết nối tri thức
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn 12 – Kết nối tri thức
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Tiếng Anh 12 - Global success
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 12 Global success đầy đủ nhất
- Trọn bộ Ngữ pháp Tiếng Anh 12 Global success đầy đủ nhất
- Giải sbt Tiếng Anh 12 – Global Success
- Giải sgk Vật lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Vật lí 12 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Vật lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Vật lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Hóa học 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Hóa 12 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Hóa 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Hóa 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Sinh học 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Sinh học 12 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Sinh học 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Sinh học 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Lịch sử 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Lịch sử 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Lịch sử 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Địa lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Địa lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Địa lí 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Tin học 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Tin học 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Tin học 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Công nghệ 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Kinh tế pháp luật 12 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Kinh tế pháp luật 12 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Kinh tế pháp luật 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 – Kết nối tri thức