Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y= x³- x và y= x- x²

Đáp án đúng: B

* Lời giải

Đồ thị hàm số y = x³ - x; y = x - x² .Đặt f₁(x) = x³ - x, f₂(x) = x - x²

Ta có f₁(x) - f₂(x) = 0 <=> x³ + x² - 2x = 0 có 3 nghiệm x = -2; x = 0 ; x = 1

Vậy : Diện tích hình phẳng đã cho là :

=$\frac{37}{12}$

* Phương pháp giải

Tính tích phân của hàm số giới hạn với hai đồ thị hàm số

* Các dạng bài toán về tìm nguyên hàm và tích phân: 

Nguyên hàm.

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R).

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi $x\in K$.

- Định lí 1.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

- Định lí 2.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó $F\left(x\right)+C;C\in ℝ$ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

Kí hiệu: $\underset{}{\overset{}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$

- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.

Tính chất của nguyên hàm

- Tính chất 1.

$\int f\text{'}\left(x\right)dx=f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+C$

Ví dụ 3.

$\int \left(\text{}{4}^x\right)\text{'}dx$$\hspace{0.17em}=\int 4^x.\ln 4.dx=4^x+C$

- Tính chất 2.

$\int kf\left(x\right)\text{}dx=k.\int f\left(x\right)\text{}dx$(k là hằng số khác 0).

- Tính chất 3.

$\int \left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx$$=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx$

Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Phương pháp đổi biến số

- Định lí 1.

Nếu $\int f\left(u\right)du=F\left(u\right)+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C$ và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

$\int f\left(u\right(x\left)\right).u\text{'}\left(x\right)dx$$=F\left(u\right(x\left)\right)+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C$

Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:

$\int f(ax+\text{\hspace{0.17em}}b)dx$$\hspace{0.17em}=\frac{1}{a}F(ax+\text{\hspace{0.17em}}b)+\text{\hspace{0.17em}}C$

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

- Định lí 2.

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

$\int u\left(x\right).v\text{'}\left(x\right).dx$$\hspace{0.17em}=u\left(x\right).v\left(x\right)-\int u\text{'}\left(x\right).v\left(x\right)dx$

- Chú ý.

Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:

$\int udv=uv-\int vdu$

Đó là công thức nguyên hàm từng phần.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Nguyên hàm – Toán 12

Trắc nghiệm Nguyên hàm (có đáp án) - Toán 12 

150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản (P1)