Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đều cạnh a.

Đáp án đúng: B

* Lời giải:

Xét tứ diện ABCD có cạnh đều bằng a. Gọi G là tâm tam giác ABC, I và J lần lượt là trung điểm của CD, BC

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}DG\perp \left(ABC\right)\\ CG=\frac{2}{3}CK=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\end{array}\right.$

Dựng mặt trung trực của CD, cắt DG tại O. Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

∆DGC vuông tại G  $\Rightarrow DG=\sqrt{D{C}^2-G{C}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{\sqrt{6}a}{3}$

∆DOI đồng dạng với ∆DCG

$\Rightarrow \frac{OD}{DC}=\frac{DI}{DG}\Rightarrow \frac{OD}{a}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{6}}{3}}\Rightarrow OD=\frac{3a}{2\sqrt{6}}=\frac{a\sqrt{6}}{4}\Rightarrow R=\frac{a\sqrt{6}}{4}$

Diện tích mặt cầu là:  $S_{mc}=4\pi R^2=4\pi {\left(\frac{a\sqrt{6}}{4}\right)}^2=\frac{3}{2}\pi a^2$

* Phương pháp giải:

Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Tính độ dài R mặt cầu 

Tính diện tích mặt cầu: Smc=4πR2

* Lý thuyết nắm thêm

Công thức tính diện tích mặt cầu

- Cho mặt cầu (S) có bán kính r.

Khi đó diện tích mặt cầu $S=4\pi r^2$

- Chú ý: Diện tích S của mặt cầu bán kính r bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó.

Công thức tính thể tích khối cầu

Khối cầu bán kính r có thể tích là V = $\frac{4}{3}.\pi .R^3$

Dạng 1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng

Ta xác định tâm O và O' của hai đáy

Tâm của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ lúc này chính là trung điểm của OO'

R = IA = $\sqrt{O{A}^2+ O{I}^2}$

Chú ý: Hình lăng trụ nội tiếp trong một mặt cầu khi nó là hình lăng trụ đứng và có đáy đa giác nội tiếp.

Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có:

- Tâm là trung điểm AC'

- Bán kính R = $\frac{AC\text{'}}{2}$ = $\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}$

Khi ABCD.A'B'C'D là hình lập phương: R = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Dạng 2. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, chúng ta thực hiện theo các bước sau:

- Tìm tâm O của mặt đáy

+ Trong tam giác đều: Giao điểm của 3 đường trung tuyến

+ Hình vuông và hình chữ nhật: Giao điểm 2 đường chéo

+ Tam giác vuông: Trung điểm của cạnh huyền

- Dựng một trục d là đường thẳng đi qua O và vuông góc với đáy (d song song với chiều cao hình chóp)

- Ta sẽ xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên

- Giao điểm của mặt phẳng (P) và d là tâm của mặt cầu ngoại tiếp

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu (mới 2024 + Bài Tập) - Toán 9 

Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu (2024) chi tiết nhất