Đáp án đúng: B

*Lời giải

Gọi $z=x+yi$, với $x,y\in R$ và $y\ne 0$.

Vì $\frac{z}{z^2+4}$ là số thực nên $\frac{z}{z^2+4}=\overline{\left(\frac{z}{z^2+4}\right)}\iff z\left({\overline{z}}^2+4\right)=\overline{z}\left(z^2+4\right)$

$\begin{array}{c}\iff z\overline{z}\left(\overline{z}-z\right)+4\left(z-\overline{z}\right)=0\\ \iff \left(\overline{z}-z\right)\left(|z{|}^2-4\right)=0\\ \iff [\begin{array}{c}\overline{z}-z=0\\ |z{|}^2-4=0\end{array}\end{array}$

Vì $z$ có phần ảo khác 0 nên $\overline{z}-z=-2yi\ne 0$.

Từ (*) suy ra $|z{|}^2-4=0\iff x^2+y^2=4$    (**)

Và $P=\left|z^2+wz-4\right|=\left|z^2+wz-{\left|z\right|}^2\right|$

$=\left|z^2+wz-z.\overline{z}\right|=\left|z\right|.\left|z+w-\overline{z}\right|=2.\left|2yi-\left(-w\right)\right|$   (***)

Ta có $\left|iw+1-5i\right|=4\iff \left|-w+i+5\right|=4$.

Suy ra tập hợp tất cả các điểm $M$ biểu diễn cho số phức $-w$ là đường tròn $\left(C\right)$ có tâm $I\left(-5;-1\right)$ và bán kính $R=4$.

Từ (**) suy ra $-2\le y\le 2\iff -4\le 2y\le 4$.

Hay tập hợp tất cả các điểm $N$ biểu diễn cho số phức $2yi$ là đoạn thẳng $AB$, với $A\left(0;-4\right),B\left(0;4\right)$.

Từ (***) suy ra $P=2MN$.

Dựa vào hình vẽ ta thấy $MN$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi và chỉ khi $M\equiv H$ và $N\equiv K$, với $H\left(-1;-1\right),K\left(0;-1\right)$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là 2 .

*Phương pháp giải

gọi số phức và biến đổi số phức theo dữ kiện đề bài cho

để tìm ra được Min ta sẽ vẽ trên hệ trục Oxy để nhìn thấy rõ nhất

*Lý thuyến cần nắm

1. Phép cộng và phép trừ

– Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức.

– Tổng quát:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d).i

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d).i

2. Phép nhân

– Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân hai đa thức, rồi thay i2 = – 1 vào kết quả.

– Tổng quát:

(a + bi).(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + adi + bci – bd

Vậy (a + bi). (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc).i

– Chú ý: Phép cộng và phép nhân số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực (giao hoán, kết hợp, cộng với 0, nhân với 1, tính chất phân phối,…).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Cộng, trừ và nhân số phức (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

50 Bài tập Cộng, trừ và nhân số phức Toán 12 mới nhất 

50 Bài tập Phương trình bậc hai với hệ số thực Toán 12 mới nhất