Một đội xe theo kể hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chử vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày?

* Lời giải:

Gọi số ngày theo kế hoạch đội xe chở hết hàng là x (ngày) (Điều kiện $x \in N*$)

Theo kế hoạch mỗi ngày đội xe chở là: 140 : x = $\frac{140}{x}$ (tấn hàng).

Số ngày thực tế đội xe chở hàng là: x - 1 (ngày)

Thực tế đội xe chở được là: 140 + 10 = 150 (tấn hàng).

Theo thực tế mỗi ngày đội xe chở là:

$150 : (x - 1) = \frac{150}{x - 1}$ (tấn hàng).

Theo giả thiết, ta có phương trình:

 $\frac{150}{x - 1} - \frac{140}{x} = 5 \iff \frac{30}{x - 1} - \frac{28}{x} = 1$

$\iff 30x - 28x + 28 = x^2 - x \iff x^2 - 3x - 28 = 0$ 

$△ = 9 + 112 = 121, \sqrt{△} = 11$.

Suy ra $x_1 = \frac{3 + 11}{2} = 7$ (nhận);  $x_2 = \frac{3 - 11}{2} = -4$ (loại).

Vậy theo kế hoạch đội xe chở hết hàng trong 7 ngày

* Phương pháp giải:

áp dụng phương trình bậc hai một ẩn để lập phương trình và giải tìm nghiệm

* Lý thuyết nắm thêm

Nhận biết phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng

ax² + bx + c = 0,

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là hệ số và a ≠ 0.

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn dạng khuyết

– Giải một phương trình bậc hai là tìm tất cả các nghiệm của nó.

– Ta giải một số phương trình bậc hai dạng ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), mà khuyết số hạng bậc nhất (tức là b = 0) hoặc khuyết số hạng tự do (tức là c = 0) bằng phương pháp đặt nhân tử chung đưa về dạng tích hoặc dùng hằng đẳng thức để đưa vế trái về một bình phương.

Chú ý:

⦁ Nếu A.B = 0 thì A = 0 hoặc B = 0;

⦁ Nếu A² = B (B ≥ 0) thì $A=\sqrt{B}$ hoặc $A=-\sqrt{B}.$

Chú ý: Để giải phương trình bậc hai dạng x² + bx = c, ta có thể cộng thêm vào hai vế của phương trình với cùng một số thích hợp để vế trái có thể biến đổi thành một bình phương. Từ đó có thể giải phương trình đã cho.

3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

3.1. Cách giải phương trình bậc hai

Để giải phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) trong trường hợp tổng quát, ta làm như sau:

– Chuyển hạng tử tự do c sang vế phải: ax² + bx = –c.

– Chia cả hai vế của phương trình cho hệ số a của x²: $x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}.$

– Cộng vào hai vế của phương trình nhận được với $\frac{b^2}{4a^2}$ để vế trái có thể biến đổi thành bình phương của một biểu thức: $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$ hay ${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.$

Kí hiệu ∆ = b² – 4ac và gọi là biệt thức của phương trình (∆ đọc là “đenta”). Khi đó, ta có thể viết lại phương trình cuối dưới dạng ${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{\Delta }{4a^2}.$

3.2. Công thức nghiệm của của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).

Tính biệt thức ∆ = b² – 4ac.

⦁ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}.$

⦁ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}.$

⦁ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Phương trình bậc hai một ẩn - Toán 9 Kết nối tri thức

Giải Toán 9 Bài 2 (Cánh diều): Phương trình bậc hai một ẩn