TOP 40 câu Trắc nghiệm Hai mặt phẳng vuông góc (có đáp án 2023) – Toán 11

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, $SA\perp \left(ABCD\right)$. Gọi $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với $\left(SCD\right)$, $\left(\alpha \right)$ cắt chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?

A. hình bình hành.

B. hình thang vuông.

C. hình thang không vuông.

D. hình chữ nhật.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Dựng  $AH\perp CD$

Ta có $\left.\begin{array}{l}CD\perp SA\\ CD\perp AD\end{array}\right\}\Rightarrow CD\perp \left(SAD\right)$.

Suy ra $CD\perp AH$

mà $AH\subset \left(SCD\right)$ suy ra $AH\subset \left(\alpha \right)$ 

Do đó  $\left(\alpha \right)\equiv \left(AHB\right)$

Vì $\left(\alpha \right)\text{//}CD$ nên

$\left(\alpha \right)\cap \left(SAD\right)=HK\text{//}CD(K\in SC)$.

Từ đó thiết diện là hình thang ABKH.

Mặt khác $AB\perp \left(SAD\right)$ nên $AB\perp AH$ 

Vậy thiết diện là hình thang vuông tại A và H.

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật tâm O có $AB=a,AD=2a.SA$ vuông góc với đáy và $SA=a$. Gọi $\left(P\right)$ là mặt phẳng qua SO và vuông góc với $\left(SAD\right).$ Diện tích thiết diện của $\left(P\right)$ và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?

A. $a^2\frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $a^2\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{a^2}{2}$

D. $a^2$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi MN là đoạn thẳng qua O vuông góc AD ( M,N thuộc AD,BC ) ta có

$MN\perp \left(SAD\right)$ nên SMN là thiết diện cần tìm.

$∆SMN$ vuông tại M nên

$S_{SMN}=\frac{SM.MN}{2}=a^2\frac{\sqrt{2}}{2}$

Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

B. Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

C. Các mặt phẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước thì luôn đi qua một đường thẳng cố định.

D. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Câu 4: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

A. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, mặt phẳng nào vuông góc với đường này thì song song với đường kia.

B. Cho đường thẳng $a\perp \left(\alpha \right)$, mọi mặt phẳng $\left(\beta \right)$ chứa a thì $\left(\beta \right)\perp \left(\alpha \right)$.

C. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, luôn luôn có mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường thẳng kia.

D. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, nếu mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chứa a và mặt phẳng $\left(\beta \right)$ chứa b thì $\left(\alpha \right)\perp \left(\beta \right)$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Câu 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông và có một cạnh bên vuông góc với đáy. Xét bốn mặt phẳng chứa bốn mặt bên và mặt phẳng chứa mặt đáy. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Có ba cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

B. Có hai cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

C. Có năm cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

D. Có bốn cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Câu 6: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.

B. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau.

D. Một mặt phẳng $\left(P\right)$ và một đường thẳng a không thuộc $\left(P\right)$ cùng vuông góc với đường thẳng b thì $\left(P\right)\text{//}a$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu hình hộp có bốn mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

B. Nếu hình hộp có ba mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

C. Nếu hình hộp có hai mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

D. Nếu hình hộp có năm mặt bên là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Câu 6: Trong các mệnh đề sau đây, hãy tìm mệnh đề đúng.

A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

B. Nếu hai mặt vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

C. Hai mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Với mỗi điểm A thuộc $\left(\alpha \right)$ và mỗi điểm B thuộc $\left(\beta \right)$thì ta có đường thẳng  vuông góc với.

D. Nếu hai mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ đều vuông góc với mặt phẳng $\left(\gamma \right)$ thì giao tuyến  của $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ nếu có sẽ vuông góc với $\left(\gamma \right)$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Theo Định lí $2\left(tr109-SGK-HH11-CB\right)$.

Câu 8: Cho hai mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ vuông góc với nhau và gọi $d=\left(\alpha \right)\cap \left(\beta \right)$.

I. Nếu $a\subset \left(\alpha \right)$ và $a\perp d$ thì $a\perp \left(\beta \right)$.

II. Nếu $d^{\text{'}}\perp \left(\alpha \right)$ thì $d^{\text{'}}\perp d$.

III. Nếu b $\perp$d thì b $\subset \left(\alpha \right)$ hoặc b $\subset$($\beta$).

IV. Nếu $\left(\gamma \right)\perp d$ thì $\left(\gamma \right)\perp \left(\alpha \right)$ và  $\left(\gamma \right)\perp \left(\beta \right)$

Các mệnh đề đúng là:

A. I, II và III.

B. III và IV.

C. II và III.

D. I, II và IV.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Câu 9: Cho hai mặt phẳng $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$ cắt nhau và một điểm M không thuộc $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$. Qua M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. Vô số.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Câu 10: Cho hai mặt phẳng $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$, a là một đường thẳng nằm trên $\left(P\right)$. Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. Nếu $a\text{//}b$ với $b=\left(P\right)\cap \left(Q\right)$ thì $\text{a//}\left(Q\right)$.

B. Nếu $\left(P\right)\perp \left(Q\right)$ thì $a\perp \left(Q\right).$

C. Nếu a cắt $\left(Q\right)$ thì $\left(P\right)$ cắt $\left(Q\right)$

D. Nếu $\left(P\right)//\left(Q\right)$ thì $a//\left(Q\right)$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi $b\text{=}\left(P\right)\cap \left(Q\right)$ nếu $a\text{//}b$ thì $a//\left(Q\right)$.

Câu 11: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

A. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

B. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b đồng thời $a\perp b$. Luôn có mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chứa a và $\left(\alpha \right)\perp b$.

C. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Nếu mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chứa a và mặt phẳng $\left(\beta \right)$ chứa b thì $\left(\alpha \right)\perp \left(\beta \right)$.

D. Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng khác.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Câu 12: Cho hai mặt phẳng $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$ song song với nhau và một điểm M không thuộc $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$. Qua M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$?

A. 2

B. 3

C. 1

D. Vô số.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Qua M dựng đường thẳng  vuông cóc với $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$. Khi đó có vô số mặt phẳng xoay quanh  thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 13: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

B. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

C. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Câu 14: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

A. Một mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và một đường thẳng a không thuộc $\left(\alpha \right)$ cùng vuông góc với đường thẳng thì $\left(\alpha \right)$ song song với a

B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.

C. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau.

D. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

  

Câu 15: Cho hai mặt phẳng vuông góc $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$ có giao tuyến $∆$. Lấy A,B  cùng thuộc $∆$ và lấy C trên $\left(P\right)$, D trên $\left(Q\right)$ sao cho $AC\perp AB$, $BD\perp AB$ và $AB=AC=BD=a$. Diện tích thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua A và vuông góc với CD là?

A. $\frac{a^2\sqrt{2}}{12}$

B. $\frac{a^2\sqrt{2}}{8}$

C. $\frac{a^2\sqrt{3}}{12}$

D. $\frac{a^2\sqrt{3}}{8}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\left(P\right)\perp \left(Q\right)\\ \left(P\right)\cap \left(Q\right)=\Delta \\ BD\subset \left(Q\right),BD\perp \Delta \end{array}\right.$

$\Rightarrow BD\perp \left(P\right)$

Gọi H là trung điểm BC, ta có  

$\left\{\begin{array}{l}AH\perp BC\\ AH\perp BD\end{array}\right.$

$\Rightarrow AH\perp CD$

Trong mặt phẳng $\left(BCD\right)$, kẻ $HI\perp CD$ thì ta có  

$CD\perp \left(AHI\right)$

Khi đó mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là tam giác  AHI

Mặt khác tam giác ABC vuông cân tại A nên $BC=a\sqrt{2}$.

Trong tam giác vuông BCD, kẻ đường cao BK thì $BK=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ và  $HI=\frac{a}{\sqrt{6}}$

Vậy: thiết diện cần tìm là tam giác AHI vuông tại H và có diện tích $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{12}$ 

Câu 16: Cho hình chóp cụt đều $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ với đáy lớn ABC có cạnh bằng a. Đáy nhỏ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có cạnh bằng $\frac{a}{2}$, chiều cao $O{O}^{\text{'}}=\frac{a}{2}$. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Ba đường cao $A{A}^{\text{'}}$, $BB\text{'}$, $CC\text{'}$ đồng qui tại.

B. $A{A}^{\text{'}}=B{B}^{\text{'}}=C{C}^{\text{'}}=\frac{a}{2}$

C. Góc giữa mặt bên mặt đáy là góc SIO ( I là trung điểm BC).

D. Đáy lớn ABC có diện tích gấp 4 lần diện tích đáy nhỏ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

+ Đáp án A đúng.
+ Gọi I là trung điểm của BC.

Từ giả thiết dễ dàng chỉ ra được $\frac{A{A}^{\text{'}}}{SA}=\frac{O{O}^{\text{'}}}{SO}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow SO=2O{O}^{\text{'}}=a$. Mặt khác $\Delta ABC$ là tam giác đều cạnh a, có AI là đường trung tuyến

  $\Rightarrow AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow AO=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta SOA$ vuông tại O ta có:

$S{A}^2=S{O}^2+A{O}^2$

$=a^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2=\frac{12a^2}{9}$

$\Rightarrow SA=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow A{A}^{\text{'}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

 Vì $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ là hình chóp cụt đều nên  

$A{A}^{\text{'}}=B{B}^{\text{'}}=C{C}^{\text{'}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow$ đáp án B sai.

+ Ta có: $\left(SBC\right)\cap \left(ABC\right)=BC$.

Vì $\Delta SBC$ cân tại S và I là trung điểm của BC nên suy ra $SI\perp BC$.

Mặt khác $\Delta ABC$ là tam giác đều có I là trung điểm của BC 

$\Rightarrow AI\perp BC$

$\Rightarrow \left(\left(SBC\right),\left(ABC\right)\right)=\left(SI,AI\right)$

$=\left(SI,OI\right)=\widehat{SIO}$

$\Rightarrow$  đáp án C đúng.

+ Ta có:

$\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}=\frac{\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A}{\frac{1}{2}.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}.A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}.\sin A^{\text{'}}}$

$=\frac{AB.AC}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}.A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{2A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}.2A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}.A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=4$

$\Rightarrow$ đáp án D đúng.

Câu 17: Cho hình chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ cạnh của đáy nhỏ ABCD bằng $\frac{a}{3}$và cạnh của đáy lớn $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $60°$. Tính chiều cao $O{O}^{\text{'}}$ của hình chóp cụt đã cho.

A. $O{O}^{\text{'}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$

B. $O{O}^{\text{'}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

C. $O{O}^{\text{'}}=\frac{2a\sqrt{6}}{3}$

D. $O{O}^{\text{'}}=\frac{3a\sqrt{2}}{4}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có $S{O}^{\text{'}}\perp \left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)\supset B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$

$\Rightarrow S{O}^{\text{'}}\perp B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ 

$\Rightarrow O^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$là hình chiếu vuông góc của $S{D}^{\text{'}}$ lên $\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)$ .

$\Rightarrow \left(S{D}^{\text{'}},\left(ABCD\right)\right)=\left(S{D}^{\text{'}},O^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)$

$=\widehat{S{D}^{\text{'}}{O}^{\text{'}}}=60°$

Từ giả thiết dễ dàng chỉ ra được 

$\frac{A{A}^{\text{'}}}{S{A}^{\text{'}}}=\frac{O{O}^{\text{'}}}{S{O}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}$

Vì $\Delta A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ là tam giác vuông cân tại $D\text{'}$ có $D^{\text{'}}{O}^{\text{'}}$ là đường cao nên ta có:

 $\frac{1}{D^{\text{'}}{O^{\text{'}}}^2}=\frac{1}{A^{\text{'}}{D^{\text{'}}}^2}+\frac{1}{D^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^2}$

$=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{2}{a^2}$ 

$\Rightarrow D^{\text{'}}{O^{\text{'}}}^2=\frac{a^2}{2}$

$\Rightarrow D^{\text{'}}{O}^{\text{'}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta S{D}^{\text{'}}{O}^{\text{'}}$ vuông tại $O\text{'}$ ta có:

$\tan 60°=\frac{S{O}^{\text{'}}}{O^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$

$\Rightarrow S{O}^{\text{'}}=O^{\text{'}}{D}^{\text{'}}.\tan 60°$

$=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

Câu 18: Cho hình lăng trụ lục giác đều $ABCDEF.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}{E}^{\text{'}}{F}^{\text{'}}$ có cạnh bên bằng a và $AD{D}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}$ là hình vuông. Cạnh đáy của lăng trụ bằng:

A. a

B. $\frac{a}{2}$

C. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Tổng số đo các góc của hình lục giác là $4.180°=720°$. Vì $ABCDEF$ là hình lục giác đều nên mỗi góc của hình lục giác đều $ABCDEF$ là $120°$ 

$\Rightarrow \widehat{FAB}=120°$. Vì $ABCDEF$ là hình lục giác đều nên ta suy ra:

+ AD là tia phân giác của góc $\widehat{FAB}$ và $\widehat{EDC}$ 

$\Rightarrow \widehat{FAD}=\frac{\widehat{FAB}}{2}=60°$

+ Tam giác AFD vuông tại F.

Xét tam giác AFD vuông tại F có $\widehat{FAD}=60°$ và $AD=a$ ta suy ra:

$\cos \widehat{FAD}=\frac{AF}{AD}$

$\Rightarrow AF=AD.\cos \widehat{FAD}$

$=a.\cos 60°$

$=a.\frac{1}{2}=\frac{a}{2}.$

Câu 19: Cho hình lăng trụ tứ giác đều $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có $AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}$ là hình vuông, cạnh bằng a . Cạnh đáy của hình lăng trụ bằng:

A. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

B. $a\sqrt{2}$

C. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

D. $a\sqrt{3}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

   

Từ giả thiết ta suy ra $\Delta ABC$ vuông cân tại B

$\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{BCA}=45°$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta ABC$ vuông cân tại B có $\widehat{BAC}=45°$ và cạnh $AC=a$, ta có:

$\Rightarrow AB=AC.\cos \widehat{BAC}$

$=a.\cos 45°$

$=a.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Câu 20: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có cạnh đáy bằng $2a\sqrt{3}$ và cạnh bên bằng 2a. Gọi G và $G\text{'}$ lần lượt là trọng tâm của hai đáy ABC và $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$. Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về $AA\text{'}G\text{'}G$?

A. $AA\text{'}G\text{'}G$ là hình chữ nhật có hai kích thước là 2a và 3a.

B. $AA\text{'}G\text{'}G$ là hình vuông có cạnh bằng 2a.

C. $AA\text{'}G\text{'}G$ là hình chữ nhật có diện tích bằng $6a^2$.

D. $AA\text{'}G\text{'}G$ là hình vuông có diện tích bằng $8a^2$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

   

Gọi M là trung điểm BC. Khi đó ta dễ dàng tính được: $AM=2a\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}=3a$

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên: $AG=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}.3a=2a=A{A}^{\text{'}}$

$\Rightarrow A{A}^{\text{'}}{G}^{\text{'}}G$ là hình vuông có cạnh bằng 2a.

Câu 22: Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng $\left(ABC\right)$ và $\left(ABD\right)$ cùng vuông góc với $\left(DBC\right)$. Gọi BE và DF là hai đường cao của tam giác BCD, DK là đường cao của tam giác ACD. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. $\left(ABE\right)\perp \left(ADC\right)$

B. $\left(ABD\right)\perp \left(ADC\right)$

C. $\left(ABC\right)\perp \left(DFK\right)$

D. $\left(DFK\right)\perp \left(ADC\right)$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\left(ABC\right)\perp \left(BCD\right)\\ \left(ABD\right)\perp \left(BCD\right)\\ \left(ABC\right)\cap \left(ABD\right)=AB\end{array}\right.$

$\Rightarrow AB\perp \left(BCD\right)$

Mặt khác: $\left\{\begin{array}{l}CD\perp BE\\ CD\perp AB\end{array}\right.$

$\Rightarrow CD\perp \left(ABE\right)$ nên câu A đúng.

$\left\{\begin{array}{l}\left(ABC\right)\perp \left(BCD\right)\\ \left(ABC\right)\cap \left(BCD\right)=BC\\ DF\perp BC\end{array}\right.$

$\Rightarrow DF\perp \left(ABC\right)$  nên câu C đúng.

Theo trên ta có $DF\perp \left(ABC\right)$ nên $DF\perp AC$.

Vậy ta có $\left\{\begin{array}{l}AC\perp DF\\ AC\perp DK\end{array}\right.$

$\Rightarrow AC\perp \left(DKF\right)$

$\Rightarrow \left(ACD\right)\perp \left(DKF\right)$.

Do đó câu D đúng.

Câu 23: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$. Khẳng định nào sau đây không đúng?

A. Tồn tại điểm O cách đều tám đỉnh của hình hộp.

B. Hình hộp có 6 mặt là 6 hình chữ nhật.

C. Hai mặt $AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}$ và $BD{D}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$ vuông góc nhau.

D. Hình hộp có 4 đường chéo bằng nhau và đồng qui tại trung điểm của mỗi đường.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

 

Câu 24: Cho hình chóp $S.ABC$ có hai mặt bên $\left(SBC\right)$ và $\left(SAC\right)$ vuông góc với đáy $\left(ABC\right)$. Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Đáy là đa giác đều.

B. Các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

C. Các cạnh bên là những đường cao.

D. Các mặt bên là những hình bình hành.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\left(SBC\right)\perp \left(ABC\right)\\ \left(SAC\right)\perp \left(ABC\right)\\ SC=\left(SBC\right)\cap \left(SAC\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow SC\perp \left(ABC\right)$. Do đó câu A và B đúng

C. Sai. vì nếu $A\text{'}\in SB$ thì hai mặt phẳng $\left(SAB\right)$ và $\left(SBC\right)$ phải vuông góc với nhau theo giao tuyến SB

D. Ta có: $\left\{\begin{array}{l}SC\perp \left(ABC\right)\\ SC\subset \left(SAC\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left(SAC\right)\perp \left(ABC\right)$ theo giao tuyến AC

Mà BK là đường cao của $\Delta ABC$ .

$\Rightarrow BK\perp AC\Rightarrow BK\perp \left(SAC\right)$

Vậy D đúng

Câu 25: Cho hình lăng trụ $ABCD.A’B’C’D’$. Hình chiếu vuông góc của $A\text{'}$ lên $\left(ABC\right)$ trùng với trực tâm H của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây không đúng?

A. $BB’C’C$ là hình chữ nhật.

B. $\left(AA’H\right) \perp \left(A’B’C’\right)$

C. $\left(BB’C’C\right)\perp \left(AA’H\right)$

D. $\left(AA’B’B\right)\perp \left(BB’C’C\right)$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có $BC\perp \left(A’AH\right)$ nên $BC\perp BB’$,

nếu $\left(AA’B’B\right) \perp \left(BB’C’C\right)$ thì $BC\perp AB$ vô lý vì H trùng A

Câu 26: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp \left(ABC\right)$ và đáy ABC là tam giác cân ở A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên $\left(SBC\right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $H\in SB$

B. H trùng với trọng tâm tam giác SBC.

C. $H\in SC$

D.  $H\in SI$ (I là trung điểm của BC).

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi I là trung điểm của BC

$\Rightarrow AI\perp BC$ mà $BC\perp SA$ 

$\Rightarrow BC\perp \left(SAI\right)$

Khi đó H là hình chiếu vuông góc của A lên $\left(SBC\right)$.

Suy ra $H\in SI$.

Câu 27: Cho hình chóp $S.ABC$ có hai mặt bên $\left(SBC\right)$ và $\left(SAC\right)$ vuông góc với đáy $\left(ABC\right)$. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $SC\perp \left(ABC\right)$

B. Nếu $A\text{'}$ là hình chiếu vuông góc của A lên $\left(SBC\right)$ thì $A^{\text{'}}\in SB$.

C. $\left(SAC\right)\perp \left(ABC\right)$.

D. BK là đường cao của tam giác ABC thì $BK\perp \left(SAC\right)$.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

$\left\{\begin{array}{c}\left(SAC\right)\cap \left(SBC\right)=SC\\ \left(SAC\right)\perp \left(ABC\right)\\ \left(SBC\right)\perp \left(ABC\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow SC\perp \left(ABC\right)$

Gọi $A\text{'}$ là hình chiếu vuông góc của A lên $\left(SBC\right)$,

khi đó

$A{A}^{\text{'}}\perp \left(SBC\right)\Rightarrow A{A}^{\text{'}}\perp BC$

$\Rightarrow A^{\text{'}}\in BC$

Suy ra đáp án B sai

Câu 28: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

B. Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

C. Các mặt phẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước thì luôn đi qua một đường thẳng cố định.

D. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích: Đường thẳng thỏa mãn cần tìm là đường thẳng đi qua điểm A cho trước và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước. Đây là đường thẳng cố định.

Câu 29: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông và có một cạnh bên vuông góc với đáy. Xét bốn mặt phẳng chứa bốn mặt bên và mặt phẳng chứa mặt đáy. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Có ba cặp mặt phẳng vuông góc với nhau

B. Có hai cặp mặt phẳng vuông góc với nhau

C. Có năm cặp mặt phẳng vuông góc với nhau

D. Có bốn cặp mặt phẳng vuông góc với nhau

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Xét hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và SA ⊥ (ABCD)

+ Do SA ⊂ (SAB) và SA ⊥ (ABCD) nên (SAB) ⊥ (ABCD)

+ Do SA ⊂ (SAD) và SA ⊥ (ABCD) nên (SAD) ⊥ (ABCD)

+ Do AD ⊥ SA, AD ⊥ AB nên AD ⊥ ( SAB)

AD ⊂ (SAD) và AD ⊥ (SAB) nên (SAD) ⊥ (SAB).

+ Chứng minh tương tự; ta có: (SAD) ⊥ (SCD) và (SAB) ⊥ (SBC).

⇒ có tất cả năm cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

Câu 30: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu hình hộp có hai mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

B. Nếu hình hộp có năm mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

C. Nếu hình hộp có bốn mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

D. Nếu hình hộp có ba mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Chọn đáp án B

A sai vì đáy có thể là hình bình hành.

B đúng

C sai vì đáy có thể là hình bình hành

D sai vì đáy có thể là hình bình hành.

Câu 31: Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau.

C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

D. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Mệnh đề A sai vì có thể xảy ra trường hợp hai mặt phẳng vuông góc với nhau nhưng đường thẳng thuộc mặt phẳng này song song với mặt phẳng kia.

Mệnh đề B sai vì xảy ra trường hợp hai mặt phẳng song song.

Mệnh đề C sai vì xảy ra trường hợp hai mặt phẳng vuông góc.

Chọn đáp án D

Câu 32: Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và(SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) , tam giác ABC vuông cân ở A và có đường cao AH (H ∈ BC) . Gọi O là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC) . Khẳng định nào sau đây sai ?

A. SA ⊥ (ABC)

B. O ∈ SH

C. (SAH) ⊥ (SBC)

D. ((SBC), (ABC)) = ∠SBA

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Câu 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc ∠BAD = 60°. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO = 3a/4. Gọi E là trung điểm BC và F là trung điểm BE. Góc giữa hai mặt phẳng (SOF)và (SBC) là

A. 90°                    

B. 60°                    

C. 30°                    

D. 45°

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Tam giác BCD có BC = BD và ∠BCD = 60° nên tam giác BCD đều

Lại có E là trung điểm BC ⇒ DE ⊥ BC

Mặt khác, tam giác BDE có OF là đường trung bình

⇒ OF // DE ⇒ BC ⊥ OF   (1).

+ Do SO ⊥ (ABCD) ⇒ BC ⊥ SO  (2).

+ Từ (1) và (2), suy ra BC ⊥ (SOF) ⇒ (SBC) ⊥ (sOF)

Vậy, góc giữa ( SOF) và( SBC) bằng 90°

Câu 34: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và AB ⊥ BC , gọi I là trung điểm BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc nào sau đây?

A. Góc SBA.          

B. Góc SCA.          

C. Góc SCB.          

D. Góc SIA.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Câu 35: Trong không gian cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi H; K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Ta có tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng :

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

Vì H là trung điểm của AB

⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ d (vì d // AB)

⇒ d ⊥ SK (theo định lý ba đường vuông góc)

Do đó: ∠KSH = α là góc giữa (SAB) và (SCD)

Mà SH là đường cao trong tam giác SAB đều cạnh a ⇒ SH = a√3/2

Xét tam giác SHK vuông tại H có:

Câu 36: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC’ = c. Nếu AC' = BD' = B'D = √(a² + b² + c²) thì hình hộp là

A. Hình lập phương

B. Hình hộp chữ nhật

C. Hình hộp thoi

D. Hình hộp đứng

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Nếu AC’= BD’ ⇒ hình bình hành ABC’D’ là hình chữ nhật

Nếu BD’= B’D ⇒ hình bình hành BDD’B’ là hình chữ nhật

Nếu AC’= B’D ⇒ hình bình hành ADC’B’ là hình chữ nhật

⇒ nếu AC’ = BD’ = B’D thì hình hộp là hình hộp chữ nhật.

Chọn B

Câu 37: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có ACC’A’ là hình vuông, cạnh bằng a. Cạnh đáy của hình lăng trụ bằng:

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

+ Do ABCD. A’B’C’D’ là hình lăng trụ tứ giác đều nên tam giác ABC vuông cân tại B. ⇒ ∠BAC = ∠BCA = 45°

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông cân tại B có ∠BAC = 45° và cạnh AC = a, ta có:

Câu 38: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD) . Trong tam giác BDC vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau ở O. Trong (ADC) vẽ DK ⊥ AC tại K. Khẳng định nào sau đây sai ?

A. (ADC) ⊥ (ABE)           

B. (ADC) ⊥ (DFK)

C. (ADC) ⊥ (ABC)            

D. (BDC) ⊥ (ABE)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta xét các phương án:

Câu 39: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và đáy ABC là tam giác cân ở A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. H ∈ SB

B. H trùng với trọng tâm tam giác SBC.

C. H ∈ SC

D. H ∈ SI (I là trung điểm của BC).

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích: 

Gọi I là trung điểm của BC

⇒ AI ⊥ BC mà BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAI)

⇒ SI ⊥ BC   (1)

Khi đó H là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC) .

Suy ra AH ⊥ BC

Lại có: SA ⊥ BC

⇒ BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ SH    (2)

Từ (1) và (2) suy ra 3 điểm S; H; I thẳng hàng.

Câu 40: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ABC’) có số đo bằng 60°. Cạnh bên của hình lăng trụ bằng:

A. 3a            

B. a√3            

C. 2a            

D. a√2

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Chọn B.

Ta có: (ABCD) ∩ (ABC') = AB

Ta có: AB ⊥ BC và AB ⊥ BB' (vì lăng trụ đã cho là lăng trụ tứ giác đều)

⇒ AB ⊥ (BB'C'C) mà C'B ⊂ (BB'C'C) ⇒ AB ⊥ C'B

Mặt khác: CB ⊥ AB

⇒ ((ABCD), (ABC')) = (CB, C'B) = ∠ CBC' = 60°

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác BCC’ vuông tại C ta có:

tan(CBC') = CC'/CB ⇒ CC' = CB.tan(CBC') = a.tan60° = a√3

Các câu hỏi trắc nghiệm Toán lớp 11 có đáp án, chọn lọc khác:

Trắc nghiệm Vectơ trong không gian có đáp án

Trắc nghiệm Hai đường thẳng vuông góc có đáp án

Trắc nghiệm Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có đáp án

Trắc nghiệm Khoảng cách có đáp án

Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 3 có đáp án