TOP 40 câu Trắc nghiệm Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (có đáp án 2023) – Toán 11

Đáp án: D

Giải thích:

$\begin{array}{l}\underset{x\to 1+}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}\\ =\underset{x\to 1+}{\lim }\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}\\ =\underset{x\to 1+}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{2}\end{array}$

$\begin{array}{l}\underset{x\to 1-}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}\\ =\underset{x\to 1-}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}\\ =\underset{x\to 1-}{\lim }(x+1)=2\end{array}$

$\Rightarrow \underset{x\to 1+}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}\ne \underset{x\to 1-}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}$

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại .

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: f(1) = 5

$\begin{array}{l}\underset{x\to 1+}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}\\ =\underset{x\to 1+}{\lim }\frac{2x+3-5}{x-1}\\ =\underset{x\to 1+}{\lim }\frac{2x-2}{x-1}=2\end{array}$

$\begin{array}{l}\underset{x\to 1-}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}\\ =\underset{x\to 1-}{\lim }\frac{\frac{x^3+2x^2-7x+4}{x-1}-5}{x-1}\end{array}$

$\begin{array}{l}=\underset{x\to 1-}{\lim }\frac{x^3+2x^2-12x+9}{{(x-1)}^2}\\ =\underset{x\to 1-}{\lim }\frac{(x-1)(x^2+3x-9)}{{(x-1)}^2}\end{array}$

$=\underset{x\to 1-}{\lim }\frac{x^2+3x-9}{x-1}=+\infty$

$\Rightarrow \underset{x\to 1+}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}\ne \underset{x\to 1-}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}$

Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại .

Đáp án: D

Giải thích:

Bài giải trên hoàn toàn đúng.

Đáp án: C

Giải thích:

Định nghĩa $f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$ hay $f\text{'}\left(x_0\right)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}$ (nếu tồn tại giới hạn).

Đáp án: A

Giải thích:

TXĐ: $D=[-1;+\infty )$

$\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(1\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}\\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1}\\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+1-2}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})}\\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}\\ =\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\end{array}$

Đáp án: C

Giải thích:

Giả sử $\text{Δ}x$ là số gia của đối số tại $x_0$.

Ta có 

$\begin{array}{l}\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f\left(x_0\right)\\ ={\left(x_0+\text{Δ}x\right)}^2-x_0^2\\ =\text{Δ}x\left(2x_0+\text{Δ}x\right)\end{array}$

$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }(2x_0+\Delta x)=2x_0$

Vậy $f\text{'}\left(x_0\right)=2x_0$

Đáp án: A

Giải thích:

$\begin{array}{l}f\text{'}\left(0\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3-\sqrt{4-x}-1}{x}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2-\sqrt{4-x}}{x}\end{array}$

$\begin{array}{l}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4-4+x}{x(2+\sqrt{4-x})}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{2+\sqrt{4-x}}=\frac{1}{4}\end{array}$

Đáp án: B

Giải thích:

Xét

 $\begin{array}{l}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{3-\sqrt{4-x}}{4}-\frac{1}{4}}{x}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2-\sqrt{4-x}}{4x}\end{array}$

$\begin{array}{l}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(2-\sqrt{4-x})(2+\sqrt{4-x})}{4x(2+\sqrt{4-x})}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{4x(2+\sqrt{4-x})}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{4(2+\sqrt{4-x})}=\frac{1}{16}.\end{array}$

Đáp án: B

Giải thích:

Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_0$.

Ta có 

$\begin{array}{l}\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f\left(x_0\right)\\ =\frac{1}{x_0+\Delta x}-\frac{1}{x_0}\\ =-\frac{\text{Δ}x}{x_0\left(x_0+\text{Δ}x\right)}\end{array}$.

$\begin{array}{l}\underset{\text{Δ}x\to 0}{\lim }\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}\\ =\underset{\text{Δ}x\to 0}{\lim }\left(-\frac{1}{x_0\left(x_0+\text{Δ}x\right)}\right)\\ =-\frac{1}{x_0^2}\end{array}$.

Vậy $f\text{'}\left(x_0\right)=\frac{-1}{x_0^2}\Rightarrow f\text{'}\left(\sqrt{2}\right)=-\frac{1}{2}$.

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có

$\begin{array}{l}\Delta y=f(x+\Delta x)-f\left(x\right)\\ =2{\left(x+∆x^3\right)}^3-2x^3\\ =6x^2\Delta x+6x{\left(∆x^{}\right)}^2+2{\left(∆x\right)}^3\end{array}$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=6x^2+6x\Delta x+2{\left(\Delta x\right)}^2.$

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có 

$\begin{array}{l}\Delta y=f(x+\Delta x)-f\left(x\right)\\ =\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}\\ =-\frac{\Delta x}{x(x+\Delta x)}\end{array}$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{1}{x(x+\Delta x)}$

Đáp án: D

Giải thích:

Dễ thấy $f\left(x\right)=x^2-1$ khi $x\ge 0$ là hàm đa thức nên nó liên tục tại $x=2$.

Ngoài ra 

$\begin{array}{l}\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}\\ =\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x^2-1)-(2^2-1)}{x-2}\end{array}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=4$

Do đó hàm số liên tục và có đạo hàm tại $x=2$.

Xét các giới hạn 

$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 0+}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0+}{\lim }(x^2-1)=-1\\ \underset{x\to 0-}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0-}{\lim }(-x^2)=0\end{array}\right.$

Do $\underset{x\to 0+}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 0-}{\lim }f\left(x\right)$ nên hàm số không liên tục tại $x=0$.

Do đó, hàm số không có đạo hàm tại $x=0$.

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: f(0) = 0

$\begin{array}{l}f\text{'}\left(0\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x(x-1)(x-2)\mathrm{...}(x-1000)-0}{x}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }(x-1)(x-2)\mathrm{...}(x-1000)\\ =\underset{x\to 0}{\lim }(-1)(-2)(-3)\mathrm{...}(-1000)\\ ={\left(-1\right)}^{1000}.1000!=1000!\end{array}$

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

$\begin{array}{l}\underset{x\to 1+}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}\\ =\underset{x\to 1+}{\lim }\frac{\frac{x^3-4x^2+3x}{x^2-3x+2}-0}{x-1}\end{array}$

$\begin{array}{l}=\underset{x\to 1+}{\lim }\frac{x(x-3)(x-1)}{{(x-1)}^2(x-2)}\\ =\underset{x\to 1+}{\lim }\frac{x(x-3)}{(x-1)(x-2)}=+\infty \end{array}$

$\begin{array}{l}\underset{x\to 1-}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}\\ =\underset{x\to 1-}{\lim }\frac{\frac{x^3-4x^2+3x}{x^2-3x+2}-0}{x-1}\\ =\underset{x\to 1-}{\lim }\frac{x(x-3)(x-1)}{{(x-1)}^2(x-2)}\\ =\underset{x\to 1-}{\lim }\frac{x(x-3)}{(x-1)(x-2)}=-\infty \end{array}$

Do đó không tồn tại giới hạn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}$

Vậy hàm số không có đạo hàm tại $x=1$.

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

$\begin{array}{l}\underset{x\to 1+}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}\\ =\underset{x\to 1+}{\lim }\frac{\frac{x^2-4x+3}{x^2-3x+2}-0}{x-1}\\ =\underset{x\to 1+}{\lim }\frac{(x-3)(x-1)}{{(x-1)}^2(x-2)}\\ =\underset{x\to 1+}{\lim }\frac{x-3}{(x-1)(x-2)}=+\infty \end{array}$

$\begin{array}{l}\underset{x\to 1-}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}\\ =\underset{x\to 1-}{\lim }\frac{\frac{x^2-4x+3}{x^2-3x+2}-0}{x-1}\end{array}$

$\begin{array}{l}=\underset{x\to 1-}{\lim }\frac{(x-3)(x-1)}{{(x-1)}^2(x-2)}\\ =\underset{x\to 1-}{\lim }\frac{x-3}{(x-1)(x-2)}=-\infty \end{array}$

Do đó không tồn tại giới hạn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}$ 

Vậy hàm số không có đạo hàm tại $x=1$.

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:

$\begin{array}{l}f\text{'}\left(0\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x}}{x}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x^2}\end{array}$

$\begin{array}{l}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+1-1}{x^2(\sqrt{x^2+1}+1)}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+1}=\frac{1}{2}\end{array}$

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: 

$\begin{array}{l}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x}}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x\sqrt{x}}\\ =+\infty \end{array}$

$\Rightarrow$ Hàm số không có đạo hàm tại x=0.

Đáp án: A

Giải thích:

(I) hiển nhiên đúng.

(II) sai.

Ví dụ: Xét hàm số $f\left(x\right)=\left|x\right|$ ta có

$\underset{x\to x_0}{\lim }=\left|x_0\right|=f\left(x_0\right)\Rightarrow$Hàm số liên tục tại trên nên cũng liên tục tại điểm x = 0

Tuy nhiên hàm số không có đạo hàm tại $x=0$

$f\text{'}\left(0\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left|x\right|-0}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left|x\right|}{x}$

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{\left|x\right|}{x}=\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{x}{x}=1\\ \underset{x\to 0-}{\lim }\frac{\left|x\right|}{x}=\underset{x\to 0-}{\lim }\frac{-x}{x}=-1\end{array}\right.\\ \Rightarrow \underset{x\to 0+}{\lim }\frac{\left|x\right|}{x}\ne \underset{x\to 0-}{\lim }\frac{\left|x\right|}{x}\end{array}$

Không tồn tại đạo hàm của hàm số tại $x=0$.  

Đáp án: C

Giải thích:

Dựa vào nhận xét: Hàm số có đạo hàm tại $x=x_0$ thì liên tục tại $x=x_0$. Điều ngược lại không đúng.

Ta thấy đáp án C đúng.

Đáp án: B

Giải thích:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy

$\underset{x\to 1-}{\lim }f\left(x\right)=1,\underset{x\to 1+}{\lim }f\left(x\right)=0\Rightarrow \underset{x\to 1-}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1+}{\lim }f\left(x\right)$

Suy ra, không tồn tại $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$, hàm số không liên tục tại $x=1$.

Ngoài ra tại các điểm $x=0,x=2,x=3$ thì hàm số đều có đạo hàm.

Vậy hàm số không có đạo hàm tại $x=1$.

Đáp án: B

Giải thích:

Để hàm số có đạo hàm tại điểm $x=1$ thì trước hết hàm số phải liên tục tại $x=1$, tức là 

$\begin{array}{l}\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)\iff \underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=a\\ \iff \underset{x\to 1}{\lim }(x+1)=a\iff 2=a\end{array}$

Khi đó hàm số có dạng: $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2-1}{x-1}khix\ne 1\\ 2khix=1\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow f\text{'}\left(1\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}\\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\frac{x^2-1}{x-1}-2}{x-1}\\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+1-2}{x-1}=1\end{array}$

Vậy $a=2$.

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có :

$\begin{array}{l}\Delta y={\left(x_0+\Delta x\right)}^2-\left(x_0+\Delta x\right)-\left(x_0^2-x_0\right)\\ =x_0^2+2x_0\Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2-x_0-\Delta x-x_0^2+x_0\\ ={\left(\Delta x\right)}^2+2x_0\Delta x-\Delta x\end{array}$

Nên

$\begin{array}{l}f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}\\ =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\left(\Delta x\right)}^2+2x_0\Delta x-\Delta x}{\Delta x}\\ =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(\Delta x+2x_0-1\right)\end{array}$

Vậy $f\text{'}\left(x\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(\Delta x+2x-1\right)$

Đáp án: A

Giải thích:

Để hàm số có đạo hàm tại $x=1$ thì trước hết hàm số phải liên tục tại $x=1$.

Ta có: $f\left(0\right)=1$

$\underset{x\to 0+}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0+}{\lim }(a{x}^2+bx+1)=1=f\left(0\right)$

$\underset{x\to 0-}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0-}{\lim }(asinx+bcosx)=b$

Để hàm số liên tục tại $x=1$thì 

$\underset{x\to 0+}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0-}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)\iff b=1$

Khi đó ta có: 

$f\text{'}\left(0\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$

$\begin{array}{l}\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\\ =\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{a{x}^2+x+1-1}{x}\\ =\underset{x\to 0+}{\lim }(ax+1)=1\end{array}$

$\begin{array}{l}\underset{x\to 0-}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\\ =\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{asinx+cosx-1}{x}\\ =\underset{x\to 0-}{\lim }\frac{2asin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}-2si{n}^2\frac{x}{2}}{x}\\ =\underset{x\to 0-}{\lim }\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\underset{x\to 0-}{\lim }(acos\frac{x}{2}-2sin\frac{x}{2})=a\end{array}$

Để tồn tại 

$\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(0\right)\\ \iff \underset{x\to 0+}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0-}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\\ \iff a=1\end{array}$.

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: f(0) = 0

$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\\ =\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{x^2}{x}=\underset{x\to 0+}{\lim }x=0\\ \underset{x\to 0-}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\\ =\underset{x\to 0-}{\lim }-\frac{x^2}{x}\\ =\underset{x\to 0-}{\lim }(-x)=0\end{array}\right.$

$\Rightarrow \underset{x\to 0+}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0-}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=0$

 Hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm tại $x=0$.

$\begin{array}{l}\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{g\left(x\right)-g\left(0\right)}{x-0}\\ =\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{\sqrt{x}}{x}\\ =\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty \end{array}$

⇒ Hàm số không có đạo hàm tại $x=0$.

Đáp án: C

Giải thích:

$\begin{array}{l}\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}\\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x^3-2x^2+x+1}-1}{{(x-1)}^2}\\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x}{\sqrt{x^3-2x^2+x+1}+1}\\ =\frac{1}{\sqrt{1-2.1+\text{}1+\text{}1}+\text{}1}=\frac{1}{2}\end{array}$

Vậy $f\text{'}\left(1\right)=\frac{1}{2}$.

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có

+) $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(x^2+x\right)=0$

+) $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x^2-x\right)=0$

+) $f\left(0\right)=0$

$\Rightarrow \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)$.

Vậy hàm số liên tục tại $x=0$.

Mặt khác:

$\begin{array}{l}+) f^{\text{'}}\left(0^{+}\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\\ =\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2+x}{x}\\ =\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(x+1\right)=1\end{array}$

$\begin{array}{l}+) f^{\text{'}}\left(0^{-}\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\\ =\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2-x}{x}\\ =\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x-1\right)=-1\end{array}$

$\Rightarrow f^{\text{'}}\left(0^{+}\right)\ne f^{\text{'}}\left(0^{-}\right)$. Vậy hàm số không có đạo hàm tại $x=0$.

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

$\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)\\ =\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\sin }^{2}x}{x}\\ =\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{\sin x}{x}.\sin x\right)=0\end{array}$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x+x^2\right)=0$ nên hàm số liên tục tại $x=0$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}=1$ và

$\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x+x^2}{x}\\ =\underset{x\to 0^{-}}{\lim }(1+x)=1\end{array}$

Vậy $f\text{'}\left(0\right)=1$.

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi $\Delta y$ là số gia của hàm số tại x= 1

Ta có:

$\begin{array}{l}\Delta y=f(1+\text{}\Delta x)-f\left(1\right)={\left(1+∆x\right)}^3+\text{}1+\text{}\Delta x-2\\ =1+\text{\hspace{0.17em}}3.\Delta x+\text{}3{\left(∆x\right)}^2+\text{}{\left(∆x\right)}^3+\text{}1+\text{}\Delta x-2\\ =4.\Delta x+\text{}3{\left(∆x\right)}^2+\text{}{\left(∆x\right)}^3\\ \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=4+\text{}3.\Delta x+\text{}{\left(∆x\right)}^2\\ +\text{})\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left[4+\text{}3.\Delta x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{\left(\Delta x\right)}^2\right]=4\end{array}$      

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có:

$\begin{array}{l}f\text{'}\left(0\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{4x^2+8}-\sqrt{8x^2+4}}{x^2}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{4x^2+8}-2}{x^2}\\ -\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{8x^2+4}-2}{x^2}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4x^2}{x^2({\sqrt[3]{4x^2+8}}^2+2\sqrt[3]{4x^2+8}+4)}\\ -\underset{x\to 0}{\lim }\frac{8x^2}{x^2(\sqrt{8x^2+4}+2)}\\ =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4}{{\sqrt[3]{4x^2+8}}^2+2\sqrt[3]{4x^2+8}+4}\\ -\underset{x\to 0}{\lim }\frac{8}{\sqrt{8x^2+4}+2}\\ =\frac{1}{3}-2=-\frac{5}{3}\end{array}$

Đáp án: D

Giải thích:

$f\text{'}(-1)=\underset{x\to (-1)}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f(-1)}{x+1}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\underset{x\to (-1)+}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f(-1)}{x+1}\\ =\underset{x\to (-1)+}{\lim }\frac{\frac{x^2+x+1}{x}+1}{x+1}\\ =\underset{x\to (-1)+}{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x(x+1)}\\ =\underset{x\to (-1)+}{\lim }\frac{x+1}{x}=0\\ \underset{x\to (-1)-}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f(-1)}{x+1}\\ =\underset{x\to (-1)-}{\lim }\frac{\frac{x^2-x-1}{x}+1}{x+1}\\ \underset{x\to (-1)-}{\lim }\frac{x^2-1}{x(x+1)}\\ =\underset{x\to (-1)-}{\lim }\frac{x-1}{x}=2\end{array}$

$\Rightarrow \underset{x\to (-1)+}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f(-1)}{x+1}\ne \underset{x\to (-1)-}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f(-1)}{x+1}$

Do đó không tồn tại $\underset{x\to (-1)}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f(-1)}{x+1}$ , vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại $x_0=-1$.