TOP 40 câu Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 3 (có đáp án 2023) – Toán 11

Trắc nghiệm Toán 11 Bài: Ôn tập chương 3

Câu 1: Cho hình chóp $S.ABC\text{D}$ có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với $AB=BC=a;A\text{D}=2a\left(a>0\right)$. Hai mặt phẳng $\left(SAC\right)$ và $\left(SB\text{D}\right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy .Biết mặt phẳng $\left(SAC\right)$ hợp với $\left(ABC\text{D}\right)$ một góc ${60}^{\text{o}}$ . tính khoảng cách giữa CD và SB.

A. $\frac{2a\sqrt{3}}{5}$

B. $\frac{2a\sqrt{3}}{15}$

C. $\frac{a\sqrt{3}}{15}$

D. $\frac{3a\sqrt{3}}{5}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi $H=AC\cap B\text{D}\Rightarrow SH\perp \left(ABC\text{D}\right)$ và $BH=\frac{1}{3}B\text{D}$

Kẻ $HE\perp AB$ $\Rightarrow AB\perp \left(SHE\right)$ hay 

$\left(\left(SAB\right);\left(ABC\text{D}\right)\right)=\widehat{SEH}={60}^{\text{o}}$

Mà $HE=\frac{1}{3}A\text{D}=\frac{2a}{3}\Rightarrow SH=\frac{2\text{a}\sqrt{3}}{3}$

Gọi O là trung điểm của AD, ta có ABCD là hình vuông cạnh a

$\Rightarrow \Delta ACD$ có trung tuyến ;

$CO=\frac{1}{2}AD$; $CD\perp AC$

$CD\perp \left(SAC\right)v\text{à\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}BO//CD$

$hayCD//\left(SBO\right)\text{ và\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}BO\perp \left(SAC\right)$

suy ra

$d\left(CD;SB\right)=d\left(CD;\left(SBO\right)\right)$

$=d\left(C;\left(SBO\right)\right)$.

Tính chất trọng tâm tam giác BCO

$\Rightarrow IH=\frac{1}{3}IC=\frac{a\sqrt{2}}{6}$

$\Rightarrow \text{IS}=\sqrt{I{H}^2+H{S}^2}=\frac{5a\sqrt{2}}{6}$

 Kẻ $CK\perp SI$ mà $CK\perp BO\Rightarrow CK\perp \left(SBO\right)$

$\Rightarrow d\left(C;\left(SBO\right)\right)=CK$

Trong tam giác SIC có 

$S_{SIC}=\frac{1}{2}SH.IC=\frac{1}{2}SI.CK$

$\Rightarrow CK=\frac{SH.IC}{SI}=\frac{2a\sqrt{3}}{5}$

Vậy $d\left(CD;SB\right)=\frac{2a\sqrt{3}}{5}$.

Câu 2. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành với $AB=2a,BC=a\sqrt{2};$$BD=a\sqrt{6}$. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm G của tam giác BCD, biết SG = 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB theo a là:

A. a

B. 2a

C. $\frac{a}{2}$

D. $\frac{a}{3}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có ABCD là hình bình hành, AB = 2a, BC = $a\sqrt{2}$, BD =$a\sqrt{6}$ nên ABCD là hình chữ nhật.

Dựng hình bình hành ACEB.

Ta có  AC$\parallel$BE, AC $\not\subset$$\left(SBE\right)$

$\Rightarrow AC\parallel \left(SBE\right)$ mà $\left(SBE\right)\supset SB$

vậy $d\left(SB,AC\right)=d\left(AC,\left(SBE\right)\right)$

$=d\left(G,\left(SBE\right)\right)$.

Dựng $GK\perp BE,K\in BE$ lại có $SG\perp BE$ nên $BE\perp \left(SGK\right)$                          

Dựng $GH\perp SK,H\in SK$ 

lại có $GH\perp BE$ nên $GH\perp \left(SBE\right)\Rightarrow \left(G,\left(SBE\right)\right)=GH$

Ta có $GK=d\left(B,AC\right)$.

Tam giác ABC vuông tại B

suy ra $\frac{1}{d^2\left(B,AC\right)}=\frac{1}{B{A}^2}+\frac{1}{B{C}^2}$ 

vậy $GK=d\left(B,AC\right)=\frac{2a}{\sqrt{3}}$.

Xét tam giác SGK vuông tại G,

đường cao $GH,SG=2a,GK=\frac{2a}{\sqrt{3}}$có

$\frac{1}{G{H}^2}=\frac{1}{G{K}^2}+\frac{1}{G{S}^2}$

$\Rightarrow GH=a\Rightarrow d\left(SB,AC\right)=a$

Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 4a , BC = 3a, gọi I là trung điểm của AB hai mặt phẳng $\left(SIC\right)$ và $\left(SIB\right)$ cùng vuông góc với $\left(ABC\right)$ góc giữa hai mặt phẳng $\left(SAC\right) và \left(ABC\right)$ bằng $60°$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a là:

A. $\frac{12a\sqrt{3}}{5}$

B. $\frac{3a\sqrt{3}}{5}$

C. $\frac{2a\sqrt{3}}{5}$

D. $\frac{5a\sqrt{3}}{3}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có $\left(SIC\right),\left(SIB\right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $\left(ABC\right)$ nên $SI\perp \left(ABC\right)$.

Dựng hình bình hành ACBE.

Ta có $AC\parallel BE,AC\not\subset \left(SBE\right)$

$\Rightarrow AC\parallel \left(SBE\right)$ mà $\left(SBE\right)\supset SB$ vậy

$d\left(SB,AC\right)=d\left(AC,\left(SBE\right)\right)$

$=d\left(A,\left(SBE\right)\right)$

$=2d\left(I,\left(SBE\right)\right)$.

Dựng $IK\perp BE,K\in BE$

lại có $SI\perp BE$ nên $BE\perp \left(SGK\right)$.

Dựng $IH\perp SK, H\in SK$ 

lại có $IH\perp BE$ nên $IH\perp \left(SBE\right)$

$\Rightarrow d\left(I,\left(SBE\right)\right)=IH$                                                                                     

Kéo dài IK cắt AC tại D mà

$SI\perp AC\Rightarrow \left(SID\right)\perp AC$

Lại có $\left(SAC\right)\perp \left(ABC\right)=AC$

$\left(SAD\right)\cap \left(ABC\right)=AD$

$\left(SAD\right)\cap \left(ASC\right)=SD$.

Góc giữa $\left(SAC\right)$ và $\left(ABC\right)$ bằng $\widehat{SDI}$ suy ra $\overbrace{SDI}=60°$.

Ta có $ID=IK=\frac{1}{2}d\left(B,AC\right)$

Mà tam giác ABC vuông tại B suy ra

$\frac{1}{d^2\left(B,AC\right)}=\frac{1}{B{A}^2}+\frac{1}{B{C}^2}$ 

vậy $ID=IK=d\left(B,AC\right)=\frac{12a}{5}$.

Xét tam giác SID vuông tại I, 

$ID=\frac{12a}{5},\widehat{SDI}=60°$,suy ra

$SI=\frac{12a\sqrt{3}}{5}$

Xét tam giác SIK vuông tại I, đường cao IH có

$\frac{1}{I{H}^2}=\frac{1}{I{K}^2}+\frac{1}{I{S}^2}$

$\Rightarrow IH=\frac{6a\sqrt{3}}{5}\Rightarrow d\left(SB,AC\right)=\frac{12a\sqrt{3}}{5}$

Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng α. Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng

A. $a\sqrt{2}\cot \alpha$

B. $a\sqrt{2}\tan \alpha$

C. $\frac{a\sqrt{2}}{2}cos\alpha$

D. $\frac{a\sqrt{2}}{2}\sin \alpha$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

SO⊥(ABCD), O là tâm của hình vuông ABCD.

Kẻ OH⊥SD, khi đó d(O;SD)=OH, α=$\widehat{SDO}$

OD= $\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow OH=OD\sin \alpha =\frac{a\sqrt{2}\sin \alpha }{2}$

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = 3a, AB = $a\sqrt{3}$, BC = $a\sqrt{6}$. Khoảng cách từ B đến SC bằng

A. $a\sqrt{2}$

B. 2a

C. $2a\sqrt{3}$

D. $a\sqrt{3}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Vì SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một nên CB⊥SB

Kẻ BH⊥SC, khi đó d(B;SC)=BH

Ta có: SB=$\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}$

$=\sqrt{9a^2+3a^2}=2\sqrt{3}a$

Trong tam giác vuông SBC ta có:

$\frac{1}{B{H}^2}=\frac{1}{S{B}^2}+\frac{1}{B{C}^2}$

$\Rightarrow BH=\frac{SB.BC}{\sqrt{S{B}^2+B{C}^2}}=2a$

Câu 6: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng CD' bằng

A. $a\sqrt{2}$

B. $\frac{a\sqrt{6}}{2}$

C. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

D. $a\sqrt{3}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi M là trung điểm của CD′.

Do ABCD.A′B′C′D′ là hình lập phương nên tam giác ACD′ là tam giác đều cạnh $a\sqrt{2}$

AM⊥CD′⇒d(A,CD′)=AM= $a\sqrt{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng DB' bằng

A.  $a\sqrt{2}$

B.  $\frac{a\sqrt{6}}{2}$

C.  $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

D.  $\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống DB′.

Dễ thấy AD⊥(ABB′A′) nên

⇒ΔADB′ vuông đỉnh A.

Lại có AD=a;AB′= $a\sqrt{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{D}^2}+\frac{1}{AB{\text{'}}^2}$

$=\text{\hspace{0.17em}}\frac{1}{a^2}+\frac{1}{2a^2}=\frac{3}{2a^2}$

$\Rightarrow A{H}^2=\frac{2a^2}{3}$

$\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của SC. Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

(I): AI⊥SC

(II): (SBC)⊥(SAC)

(III): AI⊥BC

(IV): (ABI)⊥(SBC)

A.  1

B.  2

C.  3

D.  4

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Tam giác SAC đều có I là trung điểm của SC nên AI⊥SC.

⇒ Mệnh đề (I) đúng.

Gọi H là trung điểm AC suy ra SH⊥AC.

Mà (SAC)⊥(ABC) theo giao tuyến AC nên SH⊥(ABC) do đó SH⊥BC.

Hơn nữa theo giả thiết tam giác ABC vuông tại C nên BC⊥AC.

Từ đó suy ra BC⊥(SAC)⇒BC⊥AI.. Do đó mệnh đề (III) đúng.

Từ mệnh đề (I) và (III) suy ra mệnh đề (IV) đúng.

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}BC\perp AC\\ BC\perp SH\end{array}\right.$ ⇒BC⊥(SAC)

BC⊂(SBC)⇒(SBC)⊥(SAC)

Vậy mệnh đề (II) đúng.

Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC và I là giao điểm của HK với mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào sau đây sai?

A. BC⊥AH.

B. (AHK)⊥(SBC).

C. SC⊥AI.

D. Tam giác IAC đều

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có $\left\{\begin{array}{c}BC\perp AB\\ SA\perp BC\end{array}\right.$ ⇒BC⊥(SAB)

⇒BC⊥AH. Do đó A đúng.

Lại có AH⊥SB. Từ đó suy ra AH⊥(SBC)⇒AH⊥SC.  (1)

Lại có theo giả thiết SC⊥AK.  (2)

Từ (1) và (2), suy ra

 SC⊥(AHK)⇒(SBC)⊥(AHK). Do đó B đúng.

Ta có $\left\{\begin{array}{c}SC\perp \left(AHK\right)\\ AI\subset \left(AHK\right)\end{array}\right.$ ⇒SC⊥AI. Do đó C đúng.

Dùng phương pháp loại trừ thì D là đáp án sai.

Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA = $a\sqrt{3}$ và vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi $\phi$ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\phi ={30}^0$

B. $\sin \phi =\frac{\sqrt{5}}{5}$

C. $\phi ={60}^0$

D. $\sin \phi =\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi M là trung điểm của BC, suy ra AM⊥BC

Ta có $\left\{\begin{array}{c}AM\perp BC\\ BC\perp SA\end{array}\right.$ ⇒BC⊥(SAM)

⇒BC⊥SM

$\left\{\begin{array}{c}\left(SBC\right)\cap \left(ABC\right)=BC\\ \left(SBC\right)\supset SM\perp BC\\ \left(ABC\right)\supset AM\perp BC\end{array}\right.$

$\Rightarrow \widehat{\left(\left(SBC\right);\left(ABC\right)\right)}=\widehat{\left(SM;AM\right)}$$=\widehat{SMA}$

Tam giác ABC đều cạnh a, suy ra trung tuyến AM= $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác vuông SAM có sin$\widehat{SMA}=\frac{SA}{SM}=\frac{SA}{\sqrt{S{A}^2+A{M}^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Câu 11: Cho tứ diện S.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = 1. Tính cosα, trong đó α là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) ?

A. $cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}$

B. $cos\alpha =\frac{1}{2\sqrt{3}}$

C. $cos\alpha =\frac{1}{3\sqrt{2}}$

D. $cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi D là trung điểm cạnh BC.

Ta có $\left\{\begin{array}{c}SA\perp SB\\ SA\perp SC\end{array}\right.$ ⇒ SA⊥(SBC)

⇒ SA⊥BC.

Mà SD⊥BC nên BC⊥(SAD).

$\Rightarrow \left(\widehat{(ABC;(ABC)}\right)=\widehat{SDA}=\alpha$

Khi đó tam giác SAD vuông tại S có:

 SD= $\frac{1}{\sqrt{2}};AD=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ và

$cos\alpha =\frac{SD}{AD}\iff cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$

Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a. Cạnh bên SA = a vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng ${45}^0$. Độ dài AC bằng

A. $a\sqrt{2}$

B. $a\sqrt{3}$

C. 2a

D. a

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có (SBC)∩(ABC)=BC

Mặt khác SA⊥(ABC) và ΔABC vuông tại B⇒AB⊥BC.

Nên  ⇒BC⊥(SAB)⇒BC⊥SB

$\left\{\begin{array}{c}\left(SBC\right)\cap \left(ABC\right)=BC\\ \left(SBC\right)\supset SB\perp BC\\ \left(ABC\right)\supset AB\perp BC\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left(\widehat{\left(SBC\right);\left(ABC\right)}\right)=\left(\widehat{SB;AB}\right)$

$=\widehat{SBA}={45}^0$

Xét ΔSAB vuông tại A, có  ⇒ SA=AB=a

Mà $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=2a^2$

$\Rightarrow AC=a\sqrt{2}$

Câu 13. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = $\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Gọi I là trung điểm BC; kẻ IH vuông góc SA (H thuộc SA). Khẳng định nào sau đây sai?

A. SA⊥BH

B. (SDB)⊥(SDC).

C. (SAB)⊥(SAC).

D. BH⊥HC.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Từ giả thiết suy ra ABDC là hình thoi nên BC⊥AD.

Ta có $\left\{\begin{array}{c}BC\perp AD\\ BC\perp SD\end{array}\right.$ ⇒BC⊥(SAD)

⇒BC⊥SA.

Lại có theo giả thiết IH⊥SA. Từ đó suy ra SA⊥(HCB)⇒SA⊥BH

⇒ Đáp án A đúng.

Tính được AI= $\frac{a\sqrt{3}}{2},AD=2AI=a\sqrt{3},$

$S{A}^2=\sqrt{A{D}^2+S{D}^2}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$

Ta có ΔAHI∼ΔADS⇒ $\frac{IH}{SD}=\frac{AI}{AS}$

$\Rightarrow IH=\frac{AI.SD}{AS}=\frac{a}{2}=\frac{BC}{2}$

⇒ Tam giác HBC có trung tuyến IH bằng nửa cạnh đáy BC nên $\widehat{BHC}={90}^0$ hay BH⊥HC. Do đó D đúng.

Từ mệnh đề A và D suy ra BH⊥(SAC)⇒(SAB)⊥(SAC)⇒ mệnh đề C đúng.

Dùng phương pháp loại trừ thì B là đáp án sai.

Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA⊥(ABC) và đáy ABC là tam giác cân ở C. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào sau đây sai?

A. CH⊥HK

B. AB⊥(CHK)

C. CH⊥AK

D. BC⊥(SAC)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Do ΔABC cân tại C nên CH⊥AB.

Mà SA⊥(ABC) ⇒ SA⊥CH.

Do đó CH⊥(SAB) ⇒ CH⊥HK, CH⊥AK hay A, C đúng.

Ngoài ra HK//SA,SA⊥AB ⇒ HK⊥AB, mà AB⊥CH ⇒AB⊥(CHK) hay B đúng.

D sai vì BC không vuông góc với AC nên không có BC⊥(SAC).

Câu 15: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, CD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB.

B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB.

C. Góc giữa AC và (ABD) là góc CAB.

D. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Từ giả thiết ta có $\left\{\begin{array}{c}AB\perp BC\\ AB\perp CD\end{array}\right.$ ⇒AB⊥(BCD).

Do đó (AC,(BCD)=(AC,BC) = $\widehat{ACB}$

Câu 16: Cho chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2, cạnh bên bằng 3. Gọi φ là góc giữa giữa cạnh bên và mặt đáy. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. tanφ=√7.

B. φ= $60°$

C. φ= $45°$

D. tanφ= $\frac{\sqrt{14}}{2}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi O là tâm mặt đáy (ABCD), suy ra SO⊥(ABCD).

Vì SO⊥(ABCD), suy ra OA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABCD).

Do đó $(SA,\widehat{ABCD})=\left(\widehat{SA,AO}\right)=\widehat{SAO}$

Tam giác vuông SOA, có tan$\widehat{SAO}$=$\frac{SO}{AO}=\frac{\sqrt{S{B}^2-B{O}^2}}{AO}=\frac{\sqrt{14}}{2}$

Câu 17: Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Ba vectơ đồng phẳng là 3 vec tơ cùng nằm trong một mặt phẳng

B. Ba vectơ $\overrightarrow{a,}\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\ne 0$ cùng phương khi và chỉ khi $\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$, với m,n là các số duy nhất

C. Ba vectơ $\overrightarrow{a,}\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng khi có $\overrightarrow{d}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}$ với  là vec tơ bất kỳ

D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Phương án A: sai vì chỉ cần giá của chúng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng nào đó

Phương án B: sai vì ba véc tơ cùng phương ⇔ $\overrightarrow{a}=k.\overrightarrow{b}=l.\overrightarrow{c}$

Phương án C sai vì điều kiện cần và đủ để ba véc tơ $\overrightarrow{a,}\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng là có các số m,n sao cho $\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$(với  không cùng phương).

Câu 18: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng xét các vectơ 

$\overrightarrow{x}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b};\overrightarrow{y}=-4\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$; $\overrightarrow{z}=-3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c}$

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Hai vec tơ $\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ cùng phương

B. Hai vec tơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$ cùng phương

C. Hai vec tơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{z}$ cùng phương

D. Ba vec tơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ không đồng phẳng

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta thấy $\overrightarrow{y}=-2\overrightarrow{x}$ nên $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$ cùng phương.

Do đó ba véc tơ  $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ đồng phẳng.

D sai.

Câu 19: Cho hình lập phương ABCD.$A_1{B}_1{C}_1{D}_1$, Tìm giá trị của k thích hợp để $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B_1{C}_1}+\overrightarrow{D{D}_1}=k\overrightarrow{A{C}_1}$

A.  k=4

B.  k=1

C.  k=0

D.  k=2

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B_1{C}_1}+\overrightarrow{D{D}_1}$

$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}_1}=\overrightarrow{A{C}_1}$

$\Rightarrow k=1$

Câu 20: Cho hai điểm phân biệt A,B và một điểm O bất kì không thuộc đường thẳng AB. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Điểm M thuộc đường thẳng AB nếu và chỉ nếu $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$

B. Điểm M thuộc đường thẳng AB nếu và chỉ nếu $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OB}=k.\overrightarrow{BA}$

C. Điểm M thuộc đường thẳng AB nếu và chỉ nếu $\overrightarrow{OM}=k.\overrightarrow{OA}+(1-k).\overrightarrow{OB}$

D. Điểm M thuộc đường thẳng AB nếu và chỉ nếu $\overrightarrow{OM}=k.\overrightarrow{OB}=(1-k).\overrightarrow{OA}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Điểm M thuộc đường thẳng AB nếu và chỉ nếu $\overrightarrow{OM}=k.\overrightarrow{OA}+(1-k).\overrightarrow{OB}$

Chứng minh:

Ta có: M∈AB⇔ $\overrightarrow{MB}=k.\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}=k(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})$

$\iff \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OB}-k(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})$

$\iff \overrightarrow{OM}=k\overrightarrow{OA}+(1-k)\overrightarrow{OB}$

Vậy C đúng.

Câu 21: Cho ABCD.$A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ là hình hộp, với K là trung điểm CC1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}_1}$

B. $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{A{A}_1}$

C. $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_1}$

D. $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}_1}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Có $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CK}$

$=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}_1}$

$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}_1}$

Câu 22: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.$A_1{B}_1{C}_1$. Đặt $\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{a};$ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b};$ $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$; $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{d}$ trong các đẳng thức sau đẳng thức nào đúng.

A. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{0}$

B. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{d}$

C. $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{0}$

D. $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:  $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}$

$=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$

Câu 23: Cho hình hộp ABCD.$A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ với M= $C{D}_1\cap C_{1}D$. Khi đó:

A. $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}_1}$

B. $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}_1}$

C. $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}_1}$

D. $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_1}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}$

$=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{D{C}_1}$

$=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D{D}_1})$

$=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{{\text{DD}}_1}$

$=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}_1}$

Câu 24: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?

A. Nếu giá của ba vectơ cắt nhau từng đôi một thì 3 vectơ đồng phẳng

B. Nếu ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ có một vectơ $\overrightarrow{0}$ thì ba vectơ đồng phẳng

C. Nếu giá của ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ cùng song song với một mật phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng

D. Nếu trong ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ba véc tơ đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nên đáp án A sai.

Câu 25: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$. Điều kiện nào dưới đây khẳng định ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng ?

A. Tồn tại ba số thực m,n,p thỏa mãn m+n+p=0 và $m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$

B. Tồn tại ba số thực m,n,p thỏa mãn m+n+p≠0 và $m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$

C. Tồn tại ba số thực m,n,p sao cho $m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$

D. Giá của $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng quy.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Dựa vào đáp án, ta thấy rằng:

+) Với m + n + p = 0 ⇒ m = n = p = 0 suy ra $m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ nên chưa kết luận được ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng.

+) Với m + n + p ≠ 0 suy ra tồn tại ít nhất một số khác 0.

Giả sử m≠0, ta có $m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$$\iff \overrightarrow{a}=\frac{-n}{m}.\overrightarrow{b}-\frac{p}{m}\overrightarrow{c}$

Suy ra tồn tại n, p để ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng.

Câu 26: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Hãy chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A. $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$

B. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

C. $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}$

D. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Phương án A:

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}$

$=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})$

$=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{BD}\ne \overrightarrow{0}$ nên A sai

Phương án B $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=a.a.c{\text{os60}}^0=\frac{a^2}{2}$ nên B sai

Phương án C: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}$

$\iff \overrightarrow{AC}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})=0$

$\iff {\overrightarrow{AC}}^2=0$ nên C sai.

Phương án D: Do tứ diện ABCD đều nên AB⊥CD  hay $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0$

Chú ý

Các em có thể dễ dàng chứng minh tứ diện đều ABCD có AB⊥CD bằng cách gọi M là trung điểm của CD và chứng minh CD⊥(ABM), từ đó chứng minh được các cặp cạnh đối còn lại cũng vuông góc.

Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA⊥(ABCD). Biết SA= $\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Tính góc giữa SC và (ABCD).

A. 30∘

B. 45∘

C. 60∘

D. 75∘

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: SA⊥(ABCD)⇒SA⊥AC

⇒$(SC,\widehat{ABCD})=\left(\widehat{SC,AC}\right)$

$=\widehat{SCA}=\alpha$

ABCD là hình vuông cạnh a 

⇒ AC= $a\sqrt{2},SA=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

$\Rightarrow \tan \alpha =\frac{SA}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow \alpha ={30}^0$

Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. SA⊥BD.

B. SC⊥BD.

C. SO⊥BD.

D. AD⊥SC.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Vì SA vuông góc với mp(ABCD)⇒SA⊥BD.

Mà ABCD là hình thoi tâm O⇒AC⊥BD nên suy ra BD⊥(SAC).

Mặt khác SO⊂(SAC) và SC⊂(SAC) 

suy ra $\left\{\begin{array}{c}BD\perp SO\\ BD\perp SC\end{array}\right.$

Và AD, SC là hai đường thẳng chéo nhau và $(AD;SC)=(BC;SC)=\widehat{SCB}$.

Ta chưa kết luận được số đo của góc $\widehat{SCB}$.

Câu 29: Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và AB=a, BC=b, CD=c. Độ dài đoạn thẳng AD bằng

A. $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

B. $\sqrt{a^2+b^2-c^2}$

C. $\sqrt{a^2-b^2+c^2}$

D. $\sqrt{-a^2+b^2+c^2}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có $\left\{\begin{array}{c}AB\perp BC\\ AB\perp CD\end{array}\right.$ ⇒AB⊥(BCD)

⇒ tam giác ABD vuông tại B.

Lại có BC⊥CD nên tam giác BCD vuông tại C.

Khi đó:

$\left\{\begin{array}{c}A{D}^2=A{B}^2+B{D}^2\\ B{D}^2=B{C}^2+C{D}^2\end{array}\right.$

$\Rightarrow A{D}^2=A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2$

$\Rightarrow AD=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Câu 30: Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau. Điểm nào dưới đây các đều bốn đỉnh A, B, C, D của tứ diện ABCD ?

A. Trung điểm của cạnh BD.

B. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

C. Trung điểm của cạnh AD.

D. Trọng tâm của tam giác ACD.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có $\left\{\begin{array}{c}AB\perp BC\\ AB\perp CD\end{array}\right.$ ⇒AB⊥(BCD)

⇒ $AB\perp BD$

Do đó; tam giác ABD vuông tại B.

Suy ra OA=OB=OD=$\frac{AD}{2}$, với O là trung điểm của AD.  (1)

Lại có  $\left\{\begin{array}{c}AB\perp CD\\ BC\perp CD\end{array}\right.$⇒ CD⊥(ABC)

⇒tam giác ACD vuông tại C.

Suy ra OA=OC=OD= $\frac{AD}{2}$(2)

Từ (1),(2) suy ra OA= OB= OC= OD nên trung điểm O của cạnh AD cách đều A,B,C,D.

Câu 31: Trong không gian tập hợp các điểm M cách đều hai điểm cố định A và B là

A. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

B. Đường trung trực của đoạn thẳng AB

C. Mặt phẳng vuông góc với AB tại A

D. Đường thẳng qua A và vuông góc với AB

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Theo định nghĩa mặt phẳng trung trực

Câu 32: Cho a, b, c là các đường thẳng trong không gian. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.

A. Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a // c

B. Nếu a vuông góc với mặt phẳng (α) và b // (α) thì a ⊥ b

C. Nếu a // b và b ⊥ c thì c ⊥ a

D. Nếu a ⊥ b , b ⊥ c và a cắt c thì b vuông góc với mặt phẳng (a; c)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Nếu  thì a và c có thể trùng nhau nên đáp án A sai.

Câu 33: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).

A. 30°               

B. 45°               

C. 60°               

D. 75°

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi H là trung điểm của BC suy ra

AH = BH = CH = (1/2)BC = a/2

Câu 34: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)

A. 60°               

B.90°               

C. 45°               

D. 30°

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABC) nên SH ⊥ (ABC)

Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp(ABC)

⇒ (SA, (ABC)) = (SA, AH) = ∠ SAH

Ta có: SH ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ AH

Mà: ΔABC = ΔSBC ⇒ SH = AH

Vậy tam giác SAH vuông cân tại H ⇒ SAH = 45°

Chọn C

Câu 35: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC. Số đo góc tạo bởi SC và (BHK) là:

A. 45°                  

B. 120°                  

C. 90°                  

D. 65°

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Câu 36: Cho hình hộp ABDC.A₁B₁C₁D₁. Khẳng định nào dưới đây là sai ?

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Dựa vào đáp án, ta thấy rằng:

Câu 37: Cho tứ diện ABCD và I là trọng tâm tam giác ABC. Đẳng thức đúng là.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên:

Câu 38: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC' = c. Độ dài đường chéo AC' là

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ABB’ ta có :

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên:

B’C’ ⊥ (ABB'A') ⇒ B'C ⊥ AB'

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AB’C’ ta có:

Vậy đường chéo hình hộp chữ nhật 

Câu 39: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SO = a√3/3. Khoảng cách từ điểm O đến cạnh bên SA bằng

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích: 

Chọn B

Vì hình chóp S.ABC đều có SO là đường cao

⇒ O là tâm của tam giác ABC.

+ Gọi I là trung điểm cạnh BC.

Tam giác ABC đều nên 

Kẻ OH ⊥ SA; khi đó d(O; SA) = OH

Xét tam giác SAO vuông tại O:

Câu 40: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a√5 và BC = a√2. Tính khoảng cách giữa SD và BC.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích: 

Ta có: BC // AD (Tính chất hình chữ nhật) mà AD ⊂ (SAD)

⇒ BC // mp(SAD)

d(BC, SD) = d(BC, (SAD)) = d(B, SAD)

Vậy d(SD; BC) = AB = a√3

Các câu hỏi trắc nghiệm Toán lớp 11 có đáp án, chọn lọc khác:

Trắc nghiệm Vectơ trong không gian có đáp án

Trắc nghiệm Hai đường thẳng vuông góc có đáp án

Trắc nghiệm Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có đáp án

Trắc nghiệm Hai mặt phẳng vuông góc có đáp án

Trắc nghiệm Khoảng cách có đáp án