TOP 40 câu Trắc nghiệm Giới hạn của dãy số (có đáp án 2023) – Toán 11

Bộ 40 câu hỏi trắc nghiệm Toán lớp 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số có đáp án đầy đủ các mức độ giúp các em ôn trắc nghiệm Toán 11 Bài 1.

1 5,719 12/01/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài giảng Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Câu 1: Cho cấp số nhân $u_{n} = \frac{1}{2^{n}} \forall n \geq 1$ .Khi đó:

A. $S = 1$

B. $S = \frac{1}{2^{n}}$

C. $S = 0$

D. $S = 2$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Cấp số nhân đã cho là cấp số nhân lùi vô hạn có:

$u_{1} = \frac{1}{2}; q = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow S = \frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1$

Câu 2: Dãy số nào sau đây có giới hạn 0 ?

A. $u_{n} = \frac{n}{2}$

B. $u_{n} = \frac{2}{n}$

C. $u_{n} = n$

D. $u_{n} = \sqrt{n}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Dãy số $(u_{n})$ mà $u_{n} = \frac{2}{n}$ có giới hạn 0.

Câu 3: Cho $(u_{n})$ là một cấp số nhân công bội $q = \frac{1}{3}$ và số hạng đầu $u_{1} = 2$ ,

Đặt $S = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}$ . Giá $\lim S_{n}$ là:

A. 1

B. 23

C. 43

D. 3

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Do $0 < q = \frac{1}{3} < 1$ nên cấp số nhân đã cho là cấp số nhân lùi vô hạn:

$\begin{array}{l} S = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n} \end{array}$

$= \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$

$\Rightarrow \lim S_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$

$= \frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{2}{1 - \frac{1}{3}} = 3$

Câu 4: Cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{1} = 2, u_{2} = 1$ . Đặt $S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}$ ), khi đó:

A. $S_{n} = 4 (1 - \frac{1}{2^{n}})$

B. $S_{n} = 4$

C. $S_{n} = 2$

D. $S_{n} = (1 - \frac{1}{2^{n}})$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Vì $S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}$ nên đây là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân công bội

$q = \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{1}{2}$ .

Theo công thức tính tổng $S_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$ ta được:

$S_{n} = \frac{2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{n})}{1 - \frac{1}{2}} = 4 (1 - \frac{1}{2^{n}})$

Câu 5: Giá trị của $C = \lim \sqrt{\frac{{3.3}^{n} + 4^{n}}{3^{n + 1} + 4^{n + 1}}}$ bằng:

A. +∞

B. $\frac{1}{2}$

C. 0

D. 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

$C = \lim \sqrt{\frac{{3.3}^{n} + 4^{n}}{3^{n + 1} + 4^{n + 1}}}$

$= \lim \sqrt{\frac{{3.3}^{n} + 4^{n}}{{3.3}^{n} + {4.4}^{n}}}$

$= \lim \sqrt{\frac{3. {(\frac{3}{4})}^{n} + 1}{3. {(\frac{3}{4})}^{n} + 4}}$

$= \sqrt{\frac{3.0 + 1}{3.0 + 4}} = \frac{1}{2}$

Câu 6: Biết $\lim u_{n} = 3$ . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. $\lim \frac{3 u_{n} - 1}{u_{n} + 1} = 3$

B. $\lim \frac{3 u_{n} - 1}{u_{n} + 1} = - 1$

C. $\lim \frac{3 u_{n} - 1}{u_{n} + 1} = 2$

D. $\lim \frac{3 u_{n} - 1}{u_{n} + 1} = 1$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$\lim \frac{3 u_{n} - 1}{u_{n} + 1} = \frac{3 \lim u_{n} - 1}{\lim u_{n} + 1}$

$= \frac{3.3 - 1}{3 + 1} = \frac{8}{4} = 2$

Câu 7: Biết $\lim u_{n} = + \infty$ . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. $\lim \frac{u_{n} + 1}{3 u_{n}^{2} + 5} = 1$

B. $\lim \frac{u_{n} + 1}{3 u_{n}^{2} + 5} = 0$

C. $\lim \frac{u_{n} + 1}{3 u_{n}^{2} + 5} = \frac{1}{3}$

D. $\lim \frac{u_{n} + 1}{3 u_{n}^{2} + 5} = + \infty$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có :

$\lim \frac{u_{n} + 1}{3 u_{n}^{2} + 5} = \lim \frac{u_{n}^{2} (\frac{1}{u_{n}} + \frac{1}{u_{n}^{2}})}{u_{n}^{2} (3 + \frac{5}{u_{n}^{2}})}$

$= \lim \frac{(\frac{1}{u_{n}} + \frac{1}{u_{n}^{2}})}{(3 + \frac{5}{u_{n}^{2}})} = \frac{0 + 0}{3 + 0} = 0$

Câu 8: Cho hai dãy số $(u_{n})$ , $(v_{n})$ với $u_{n} = \frac{1}{n}$ , $v_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n}$ .

Biết $|\frac{{(- 1)}^{n}}{n}| \leq \frac{1}{n}$ . Chọn kết luận không đúng:

A. $\lim u_{n} = 0$

B. $\lim v_{n} = 0$

C. $\lim u_{n} - \lim v_{n} = 0$

D. Không tồn tại

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Dễ thấy $\lim u_{n} = 0$ nên A đúng.

Do $|\frac{{(- 1)}^{n}}{n}| \leq \frac{1}{n}$ và $\lim \frac{1}{n} = 0$ nên

$\lim \frac{{(- 1)}^{n}}{n} = 0$ hay $\lim v_{n} = 0$

Do đó các đáp án B và C đúng.

Câu 9: Giới hạn $\lim ({3.2}^{n + 1} - {5.3}^{n} + 7 n)$ bằng :

A. −∞.

B. +∞.

C. 3.

D. −5.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:

$\lim ({3.2}^{n + 1} - {5.3}^{n} + 7 n)$

$= \lim ({6.2}^{n} - {5.3}^{n} + 7 n)$

$= \lim 3^{n} (6 {(\frac{2}{3})}^{n} - 5 + 7 \frac{n}{3^{n}})$

$= - \infty$

Vì $\lim 3^{n} = + \infty;$

$\lim (6 {(\frac{2}{3})}^{n} - 5 + 7 \frac{n}{3^{n}})$

$= 6.0 - 5 + 7.0 = - 5 < 0$

Câu 10: Giới hạn $\lim \frac{{(2 - 5 n)}^{3} {(n + 1)}^{2}}{2 - 25 n^{5}}$ bằng?

A. −4.

B. −1.

C. 5.

D. $\frac{- 3}{2}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

$\lim \frac{{(2 - 5 n)}^{3} {(n + 1)}^{2}}{2 - 25 n^{5}}$

$= \lim \frac{\frac{{(2 - 5 n)}^{3}}{n^{3}} . \frac{{(n + 1)}^{2}}{n^{2}}}{\frac{2 - 25 n^{5}}{n^{5}}}$

$= \lim \frac{{(\frac{2 - 5 n}{n})}^{3} . {(\frac{n + 1}{n})}^{2}}{\frac{2}{n^{5}} - 25}$

$\lim \frac{{(\frac{2}{n} - 5)}^{3} . {(1 + \frac{1}{n})}^{2}}{\frac{2}{n^{5}} - 25}$

$= \frac{{(0 - 5)}^{3} {(1 + 0)}^{2}}{0 - 25}$

$= \frac{{(- 5)}^{3} {.1}^{2}}{- 25} = 5$

Câu 11: Giá trị của $\lim \frac{{(2 n^{2} + 1)}^{4} {(n + 2)}^{9}}{n^{17} + 1}$ bằng:

A. +∞

B. −∞

C. 16

D. 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$C = \lim \frac{n^{8} {(2 + \frac{1}{n^{2}})}^{4} . n^{9} {(1 + \frac{2}{n})}^{9}}{n^{17} (1 + \frac{1}{n^{17}})}$

$= \lim \frac{{(2 + \frac{1}{n^{2}})}^{4} {(1 + \frac{2}{n})}^{9}}{1 + \frac{1}{n^{17}}}$

$= \frac{{(2 + 0)}^{4} . {(1 + 0)}^{9}}{1 + 0}$

$= \frac{2^{4} .1}{1} = 16$

Câu 12: Chọn kết luận không đúng:

A. $\lim \frac{1}{2^{n}} = 0$

B. $\lim \frac{1}{3^{n}} = 0$

C. $\lim \frac{1}{0, 5^{n}} = 0$

D. $\lim \frac{1}{{(\sqrt{2})}^{n}} = 0$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta thấy:

$\frac{1}{2^{n}} = {(\frac{1}{2})}^{n}; \frac{1}{3^{n}} = {(\frac{1}{3})}^{n};$

$\frac{1}{{(0, 5)}^{n}} = {(\frac{1}{0, 5})}^{n} = 2^{n};$

$\frac{1}{{(\sqrt{2})}^{n}} = {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{n}$

Mà $\frac{1}{2} < 1; \frac{1}{3} < 1; \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$ nên các đáp án A, B, D đúng.

Vì $2 > 1$ nên $\lim 2^{n} = + \infty$ nên C sai.

Câu 13: Cho dãy số $(u_{n})$ có giới hạn $L = - \frac{1}{2}$ . Chọn kết luận đúng:

A. $l i m (u_{n} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

B. $l i m (u_{n} + \frac{1}{2}) = 0$

C. $l i m (u_{n} - \frac{1}{2}) = 0$

D. $l i m (u_{n} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Vì $\lim u_{n} = - \frac{1}{2}$ nên $\lim (u_{n} + \frac{1}{2}) = 0$

Câu 14: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = (1 - \frac{1}{2^{2}}) . (1 - \frac{1}{3^{2}}) ... (1 - \frac{1}{n^{2}})$ . Khi đó $\lim (u_{n})$ bằng?

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. 1.

D. 2

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

$u_{n} = (1 - \frac{1}{2^{2}}) . (1 - \frac{1}{3^{2}}) ... (1 - \frac{1}{n^{2}})$

$= (\frac{2^{2} - 1}{2^{2}}) . (\frac{3^{2} - 1}{3^{2}}) ... (\frac{n^{2} - 1}{n^{2}})$

$= \frac{(2^{2} - 1) (3^{2} - 1) ... (n^{2} - 1)}{2 {}_{2}. 3^{2} ... n^{2}}$

$= \frac{(1.3) (2.4) (3.5) (4.6) ... [(n - 1) (n + 1)]}{2 {}_{2}. 3^{2} ... n^{2}}$

$= \frac{n + 1}{2 n}$

$\Rightarrow \lim u_{n} = \lim \frac{n + 1}{2 n}$

$= \lim \frac{1 + \frac{1}{n}}{2} = \frac{1}{2}$

Câu 15: Giá trị của $D = \lim (\sqrt{n^{2} + 2 n} - \sqrt[3]{n^{3} + 2 n^{2}})$ bằng:

A. +∞

B. −∞

C. $\frac{1}{3}$

D. 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$\begin{array}{l} D = \lim (\sqrt{n^{2} + 2 n} - \sqrt[3]{n^{3} + 2 n^{2}}) \\ = \lim (\sqrt{n^{2} + 2 n} - n) - \lim (\sqrt[3]{n^{3} + 2 n^{2}} - n) \\ = \lim \frac{n^{2} + 2 n - n^{2}}{\sqrt{n^{2} + 2 n} + n} \\ - \lim \frac{n^{3} + 2 n^{2} - n^{3}}{\sqrt[3]{{(n^{3} + 2 n^{2})}^{2}} + n \sqrt[3]{n^{3} + 2 n^{2}} + n^{2}} \\ = \lim \frac{2 n}{\sqrt{n^{2} + 2 n} + n} \\ - \lim \frac{2 n^{2}}{\sqrt[3]{{(n^{3} + 2 n^{2})}^{2}} + n \sqrt[3]{n^{3} + 2 n^{2}} + n^{2}} \\ = \lim \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1} \\ - \lim \frac{2}{{\sqrt[3]{(1 + \frac{2}{n})}}^{2} + \sqrt[3]{1 + \frac{2}{n}} + 1} \\ = \frac{2}{2} - \frac{2}{1 + 1 + 1} = \frac{1}{3} \end{array}$

Câu 16: Cho các dãy số $(u_{n})$ , $(v_{n})$ có $\lim u_{n} = \frac{5}{3}$ , $\lim v_{n} = - \frac{2}{3}$ . Chọn đáp án đúng:

A. $\lim (u_{n} - 2 v_{n}) = \frac{1}{3}$

B. $\lim (2 u_{n} - v_{n}) = 4$

C. $\lim (u_{n} - v_{n}) = 1$

D. $\lim (u_{n} + v_{n}) = \frac{1}{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án A:

$\lim (u_{n} - 2 v_{n}) = \frac{5}{3} - 2 (- \frac{2}{3})$

$= 3 \neq \frac{1}{3}$ nên A sai.

Đáp án B:

$\lim (2 u_{n} - v_{n}) = 2. \frac{5}{3} - (- \frac{2}{3}) = 4$

nên B đúng.

Đáp án C:

$\lim (u_{n} - v_{n}) = \frac{5}{3} - (- \frac{2}{3})$

$= \frac{7}{3} \neq 1$ nên C sai.

Đáp án D:

$\lim (u_{n} + v_{n}) = \frac{5}{3} + (- \frac{2}{3})$

$= 1 \neq \frac{1}{3}$ nên D sai.

Câu 17: Cho $u_{n} = \frac{1 - 4 n}{5 n}$ . Khi đó lim $u_{n}$ bằng?

A. $\frac{1}{5}$

B. $\frac{- 4}{5}$

C. $\frac{4}{5}$

D. $\frac{- 1}{5}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

$\lim u_{n} = \lim \frac{1 - 4 n}{5 n}$

$= \lim \frac{\frac{1}{n} - 4}{5} = \frac{0 - 4}{5}$

$= - \frac{4}{5}$

Câu 18: Cho $u_{n} = \frac{n^{2} - 3 n}{1 - 4 n^{3}}$ . Khi đó $\lim u_{n}$ bằng?

A. 0

B. $\frac{- 1}{4}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $- \frac{3}{4}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

$\lim u_{n} = \lim \frac{n^{2} - 3 n}{1 - 4 n^{3}}$

$= \lim \frac{\frac{1}{n} - \frac{3}{n^{2}}}{\frac{1}{n^{3}} - 4} = \frac{0 - 0}{0 - 4} = 0$

Câu 19: Cho $u_{n} = \frac{3^{n} + 5^{n}}{5^{n}}$ . Khi đó $\lim u_{n}$ bằng?

A. 0.

B. 1.

C. $\frac{3}{5}$ .

D. +∞.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

$\lim u_{n} = \lim \frac{3^{n} + 5^{n}}{5^{n}}$

$= \lim \frac{{(\frac{3}{5})}^{n} + 1}{1}$

$= \frac{0 + 1}{1} = 1$

Câu 20: Giá trị $\lim (n^{3} - 2 n + 1)$ bằng

A. 0

B. 1

C. −∞

D. +∞

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

$n^{3} - 2 n + 1$

$= n^{3} (1 - \frac{2}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}})$

Vì $\lim n^{3} = + \infty$ và

$\lim (1 - \frac{2}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}})$

$= 1 - 0 + 0 = 1 > 0$

nên $\lim (n^{3} - 2 n + 1) = + \infty$

Câu 21: Giá trị $\lim (5 n - n^{2} + 1)$ bằng

A. +∞

B. −∞

C. 5

D. −1

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có :

$5 n - n^{2} + 1$

$= n^{2} (- 1 + \frac{5}{n} + \frac{1}{n^{2}})$

Vì $\lim n^{2} = + \infty$ và $\lim (- 1 + \frac{5}{n} + \frac{1}{n^{2}}) = - 1 < 0$

nên $\lim (5 n - n^{2} + 1) = - \infty$

Câu 22. Giới hạn $\lim (\sqrt{n^{2} - n} - n)$ bằng?

A. −∞.

B. $- \frac{1}{2}$ .

C. 0.

D. +∞.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

$\lim (\sqrt{n^{2} - n} - n)$

$= \lim \frac{(\sqrt{n^{2} - n} - n) (\sqrt{n^{2} - n} + n)}{(\sqrt{n^{2} - n} + n)}$

$= \lim \frac{n^{2} - n - n^{2}}{(\sqrt{n^{2} - n} + n)}$

$= \lim \frac{- n}{(\sqrt{n^{2} - n} + n)}$

$= \lim \frac{- n}{(n \sqrt{1 - \frac{1}{n}} + n)}$

$= \lim \frac{- 1}{\sqrt{1 - \frac{1}{n}} + 1}$

$= \frac{- 1}{1 + 1} = - \frac{1}{2}$

Câu 23: Giá trị của $B = \lim (\sqrt[3]{n^{3} + 9 n^{2}} - n)$ bằng:

A. +∞

B. −∞

C. 0

D. 3

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

$\begin{array}{l} B = \lim (\sqrt[3]{n^{3} + 9 n^{2}} - n) \\ = \lim \frac{n^{3} + 9 n^{2} - n^{3}}{\sqrt[3]{{(n^{3} + 9 n^{2})}^{2}} + n \sqrt[3]{n^{3} + 9 n^{2}} + n^{2}} \\ = \lim \frac{9 n^{2}}{\sqrt[3]{{(n^{3} + 9 n^{2})}^{2}} + n \sqrt[3]{n^{3} + 9 n^{2}} + n^{2}} \\ = \lim \frac{9 n^{2}}{n^{2} \sqrt[3]{{(1 + \frac{9}{n})}^{2}} + n^{2} . \sqrt[3]{1 + \frac{9}{n}} + n^{2}} \\ = \lim \frac{9}{\sqrt[3]{{(1 + \frac{9}{n})}^{2}} + \sqrt[3]{1 + \frac{9}{n}} + 1} \\ = \frac{9}{1 + 1 + 1} = 3 \end{array}$

Câu 24: Cho dãy số $(u_{n})$ với

$u_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + ... + \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)}$ + 1. Khi đó $\lim (u_{n})$ bằng?

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C. 1

D. 2

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

$\begin{array}{l} u_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + ... + \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)} \\ = \frac{1}{2} . (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1}) \\ = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2 n + 1}) \\ \Rightarrow \lim u_{n} = \lim \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2 n + 1}) = \frac{1}{2} \end{array}$

Câu 25: Giá trị $\lim \frac{{(- 1)}^{n}}{n (n + 1)}$ bằng

A. −1.

B. 1.

C. +∞.

D. 0.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

$|\frac{{(- 1)}^{n}}{n (n + 1)}| = \frac{1}{n (n + 1)} < \frac{1}{n . n} = \frac{1}{n^{2}}$

mà $\lim \frac{1}{n^{2}} = 0$ nên suy ra $\lim \frac{{(- 1)}^{n}}{n (n + 1)} = 0$

Câu 26. Giới hạn $\lim (\sqrt{n^{2} - n + 1} - \sqrt{n^{2} + 1})$ bằng?

A. 0.

B. $- \frac{1}{2}$

C. $- \frac{1}{\sqrt{2}}$

D. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

$\begin{array}{l} \lim (\sqrt{n^{2} - n + 1} - \sqrt{n^{2} + 1}) \\ = \lim \frac{n^{2} - n + 1 - n^{2} - 1}{(\sqrt{n^{2} - n + 1} + \sqrt{n^{2} + 1})} \\ = \lim \frac{- n}{n . \sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + n . \sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}}} \end{array}$ $\begin{array}{l} = \lim \frac{- 1}{\sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}}} \\ = \frac{- 1}{\sqrt{1 - 0 + 0} + \sqrt{1 + 0}} = - \frac{1}{2} \end{array}$

Câu 27: Giới hạn $\lim \frac{2 n^{2} - n + 4}{\sqrt{2 n^{4} - n^{2} + 1}}$ bằng?

A. 1

B. $\sqrt{2}$

C. 2

D. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

$\begin{array}{l} \lim \frac{2 n^{2} - n + 4}{\sqrt{2 n^{4} - n^{2} + 1}} \\ = \lim \frac{n^{2} . (2 - \frac{1}{n} + \frac{4}{n^{2}})}{n^{2} . \sqrt{2 - \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{4}}}} \\ = \lim \frac{2 - \frac{1}{n} + \frac{4}{n^{2}}}{\sqrt{2 - \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{4}}}} \\ = \frac{2 - 0 + 0}{\sqrt{2 - 0 + 0}} = \sqrt{2} \end{array}$

Câu 28: Cho các số thực a, b thỏa $|a| < 1; |b| < 1$ .

Tìm giới hạn $I = \lim \frac{1 + a + a^{2} + ... + a^{n}}{1 + b + b^{2} + ... + b^{n}}$

A. +∞

B. $\frac{1 - a}{1 - b}$

C. $\frac{1 - b}{1 - a}$

D. 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có $1, a, a^{2}, ..., a^{n}$ là một cấp số nhân có công bội q = a

$\Rightarrow 1 + a + a^{2} + ... + a^{n} = \frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a}$

Tương tự:

$1 + b + b^{2} + ... + b^{n} = \frac{1 - b^{n + 1}}{1 - b}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow l i m I = l i m \frac{\frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a}}{\frac{1 - b^{n + 1}}{1 - b}} \\ = \lim (\frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a} . \frac{1 - b}{1 - b^{n + 1}}) \\ = \lim (\frac{1 - a^{n + 1}}{1 - b^{n + 1}} . \frac{1 - b}{1 - a}) \\ = \frac{1 - b}{1 - a} \end{array}$

$(V ì |a| < 1, |b| < 1$

$\Rightarrow \lim a^{n + 1} = \lim b^{n + 1} = 0$

Câu 29: Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\{\begin{cases} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = \frac{u_{n} + 1}{2}, (n \geq 1) \end{cases}$ . Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Dãy $(u_{n})$ là dãy giảm tới 1 khi n→+∞.

B. Dãy $(u_{n})$ là dãy tăng tới 1 khi n→+∞.

C. Không tồn tại giới hạn của dãy $(u_{n})$ .

D. Cả 3 đáp án trên đều sai.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

$\begin{array}{l} u_{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{2^{1} + 1}{2^{1}} \\ u_{3} = \frac{\frac{3}{2} + 1}{2} = \frac{5}{4} = \frac{2^{2} + 1}{2^{2}} \\ u_{4} = \frac{\frac{5}{4} + 1}{2} = \frac{9}{8} = \frac{2^{3} + 1}{2^{3}} \end{array}$

Chứng minh bằng quy nạp:

$u_{n + 1} = \frac{2^{n} + 1}{2^{n}}, \forall n = 1, 2, ... (*);$

* Với $n = 1;$

$u_{2} = \frac{u_{1} + 1}{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{2^{1} + 1}{2^{1}} : (*)$ đúng

* Giả sử (*) đúng với $n = k \geq 1$ , tức là $u_{k} = \frac{2^{k} + 1}{2^{k}}$ ta chứng minh (*) đúng với $n = k + 1$ ,

tức là cần chứng minh $u_{k + 1} = \frac{2^{k + 1} + 1}{2^{k + 1}}$

Ta có :

$\begin{array}{l} u_{k + 1} = \frac{u_{k} + 1}{2} \\ = \frac{\frac{2^{k} + 1}{2^{k}} + 1}{2} \\ = \frac{\frac{2^{k} + 1 + 2^{k}}{2^{k}}}{2} \\ = \frac{{2.2}^{k} + 1}{{2.2}^{k}} \\ = \frac{2^{k + 1} + 1}{2^{k + 1}} \end{array}$

Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).

Như vậy, công thức tổng quát của dãy là:

$u_{n} = \frac{2^{n - 1} + 1}{2^{n - 1}}$

$= 1 + \frac{1}{2^{n - 1}}, \forall n = 1; 2; ... (*)$

Từ (*) ta có

$\begin{array}{l} u_{n + 1} - u_{n} \\ = 1 + \frac{1}{2^{n}} - (1 + \frac{1}{2^{n - 1}}) \\ = \frac{1}{2^{n}} - \frac{1}{2^{n - 1}} < 0 \forall n = 1, 2, .. \end{array}$

⇒ $(u_{n})$ là dãy giảm và $\lim u_{n} = \lim (1 + \frac{1}{2^{n - 1}}) = 1$

⇒ $(u_{n})$ là dãy giảm tới 1 khi n→+∞

Câu 30: Tính giới hạn của dãy số $u_{n} = q + 2 q^{2} + ... + n q^{n}$ với $|q| < 1$

A. +∞

B. −∞

C. $\frac{q}{{(1 - q)}^{2}}$

D. $\frac{q}{{(1 + q)}^{2}}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$u_{n} - q u_{n} = q + 2 q^{2} + \dots - q (q + 2 q^{2} + \dots n q^{n})$

$= q + q^{2} + q^{3} + \dots + q^{n} - n q^{n + 1}$

Do $q, q^{2}, q^{3}, ..., q^{n}$ là cấp số nhân có công bội q nên:

$u_{n} - q u_{n}$

$= \frac{q . (1 - q^{n})}{1 - q} - n q^{n + 1}$ (1)

Mà: $u_{n} - q u_{n} = (1 - q) u_{n} (2)$

Từ (1); (2) suy ra:

$(1 - q) . u_{n}$

$= \frac{q . (1 - q^{n})}{1 - q} - n q^{n + 1}$

$= > u_{n} = q . \frac{1 - q^{n}}{{(1 - q)}^{2}} - \frac{n q^{n + 1}}{1 - q}$

Do $|q| < 1$ nên $\lim q^{n + 1} = 0;$

$\lim q^{n} = 0$

Suy ra

$\begin{array}{l} u_{n} \\ = \lim [\frac{q (1 - q^{n})}{{(1 - q)}^{2}} - \frac{n . q^{n + 1}}{1 - q}] \\ = \frac{q}{{(1 - q)}^{2}} \end{array}$

Câu 31: Tính lim(5n - n² + 1)

A. +∞

B. -∞

C. 5.

D. -1

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Câu 32: Tính lim u_n, với Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 ?

A. 5

B. 0

C. 3

D. - 7

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Câu 33: Tính lim u_n với Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 ?

A. – 3

B. 1

C. 2

D. 0

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho n3 (n3 là lũy thừa bậc cao nhất của n trong phân thức), ta được:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Câu 34: Giới hạn của dãy số (un) với Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 bằng

A. 1

B. 0

C. +∞

D. -∞

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho n⁴ (n⁴ là bậc cao nhất của n trong phân thức), ta được

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Câu 35: Giới hạn của dãy số (u_n) với Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 , bằng

A. 3/2

B. 0

C. +∞.

D. 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Cách 1: Chia cả tử và mẫu cho n² (n² là lũy thừa bậc cao nhất của n trong mẫu thức), ta được :

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Cách 2:

Ta có:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án C

Câu 36: Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 bằng

A. 0

B. 1

C. +∞

D. 2

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Câu 37: Tính giới hạn Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

A. I = -1

B. I = 1

C. I = 0

D. I = +∞

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Câu 38: Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 bằng:

A. +∞

B. -∞

C. -1

D. 0

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Câu 39: Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 bằng:

A. – 1

B. 3

C. +∞

D. -∞

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Câu 40: Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 bằng :

A. – 1

B. 1

C. +∞

D. -∞

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba) của Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11

Chọn đáp án A

Các câu hỏi trắc nghiệm Toán lớp 11 có đáp án, chọn lọc khác:

Trắc nghiệm Giới hạn của hàm số có đáp án

Trắc nghiệm Hàm số liên tục có đáp án

Trắc nghiệm Bài ôn tập chương 4 có đáp án

Trắc nghiệm Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm có đáp án

Trắc nghiệm Quy tắc tính đạo hàm có đáp án

1 5,719 12/01/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3