TOP 40 câu Trắc nghiệm Vectơ trong không gian (có đáp án 2023) – Toán 11

Bộ 40 câu hỏi trắc nghiệm Toán lớp 11 Bài 1: Vectơ trong không gian có đáp án đầy đủ các mức độ giúp các em ôn trắc nghiệm Toán 11 Bài 1.

1 944 12/01/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian

Bài giảng Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Vectơ trong không gian

Câu 1: Cho hình hộp $A B C D . A' B' C' D'$ . Một đường thẳng $∆$ cắt các đường thẳng $A A', B C, C' D'$ lần lượt tại $M, N, P$ sao cho $\vec{N M} = 2 \vec{N P}$ . Tính $\frac{M A}{M A'}$ .

A. $\frac{M A}{M A'} = 1$

B. $\frac{M A}{M A'} = \sqrt{2}$

C. $\frac{M A}{M A'} = 2$

D. $\frac{M A}{M A'} = \sqrt{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đặt $\vec{A D} = \vec{a}, \vec{A B} = \vec{b}, \vec{A A'} = \vec{c}$ .

Vì $M \in A A'$ nên $\vec{A M} = k \vec{A A'} = k \vec{c}$

$N \in B C \Rightarrow \vec{B N} = l \vec{B C} = l \vec{a}$ ,

$P \in C' D' \Rightarrow \vec{C' P} = m \vec{b}$

Ta có $\vec{N M} = \vec{N B} + \vec{B A} + \vec{A M}$

$= - l \vec{a} - \vec{b} + k \vec{c}$

$\vec{N P} = \vec{B N} + \vec{B B'} + \vec{B' C'} + \vec{C' P}$

$= (1 - l) \vec{a} + m \vec{b} + \vec{c}$

Do $\vec{N M} = 2 \vec{N P}$

$\Rightarrow - l \vec{a} - \vec{b} + k \vec{c}$

$= 2 [(1 - l) \vec{a} + m \vec{b} + \vec{c}]$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - l = 2 (1 - l) \\ - 1 = 2 m \\ k = 2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow k = 2, m = - \frac{1}{2}, l = 2$ .

Vậy $\frac{M A}{M A'} = 2$ .

Câu 2: Giả sử $M, N, P$ là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh $S A, S B, S C$ cỏ tứ diện SABC. Gọi I là giao điểm của ba mặt phẳng $(B C M), (C A N), (A B P)$ và J là giao điểm của ba mặt phẳng $(A N P), (B P M), (C M N)$ .

Ta được $S, I, J$ thẳng hàng tính đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\frac{M S}{M A} + \frac{N S}{N B} + \frac{P S}{P C} + \frac{1}{2} = \frac{J S}{J I}$

B. $\frac{M S}{M A} + \frac{N S}{N B} + \frac{P S}{P C} + \frac{1}{4} = \frac{J S}{J I}$

C. $\frac{M S}{M A} + \frac{N S}{N B} + \frac{P S}{P C} + \frac{1}{3} = \frac{J S}{J I}$

D. $\frac{M S}{M A} + \frac{N S}{N B} + \frac{P S}{P C} + 1 = \frac{J S}{J I}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Goi $E = B P \cap C N, F = C M \cap A P,$ $T = A N \cap B M$ .

Trong $(B C M)$ có $I = B F \cap C T$ trong $(A N P)$ có $N F \cap P T = J$ .

Đặt $\vec{S A} = \vec{a}, \vec{S B} = \vec{b}, \vec{S C} = \vec{c}$

và $\vec{S M} = x \vec{M A}, \vec{S N} = y \vec{N B}, \vec{S p} = z \vec{P C}$

Ta có

$\vec{S M} = \frac{x}{x + 1} \vec{a}, \vec{S N} = \frac{y}{y + 1} \vec{b},$

$\vec{S P} = \frac{z}{z + 1} \vec{c}$

$(x > 0, y > 0, z > 0)$

Do $T = A N \cap B M$ nên

$\{\begin{cases} T \in A N \\ T \in B M \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} \vec{S T} = α \vec{S M} + (1 - α) \vec{S B} \\ \vec{S T} = β \vec{S N} + (1 - β) \vec{S A} \end{cases}$

$\Rightarrow α \vec{S M} + (1 - α) \vec{S B}$

$= β \vec{S N} + (1 - β) \vec{S A}$

$\Leftrightarrow \frac{α x}{x + 1} \vec{a} + (1 - α) \vec{b}$

$= \frac{β y}{y + 1} \vec{b} + (1 - β) \vec{a}$

Vì $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương nên ta có

$\{\begin{cases} \frac{α x}{x + 1} = 1 - β \\ \frac{β y}{y + 1} = 1 - α \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} α = \frac{x}{x + y + 1} \\ β = \frac{y}{x + y + 1} \end{cases}$

$\Rightarrow \vec{S T} = \frac{x}{x + y + 1} \vec{a} + \frac{y}{x + y + 1} \vec{b}$

Hoàn toàn tương tự ta có :

$\vec{S E} = \frac{y}{y + z + 1} \vec{b} + \frac{z}{y + z + 1} \vec{c},$

$\vec{S F} = \frac{z}{z + x + 1} \vec{c} + \frac{x}{z + x + 1} \vec{a}$

Làm tương tự như trên đối với hai giao điểm $I = B F \cap C T$ và $N F \cap P T = J$ ta được :

$\vec{S I} = \frac{1}{x + y + z + 1} (x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}),$

$\vec{S J} = \frac{1}{x + y + z + 2} (x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c})$

Suy ra $\vec{S J} = \frac{x + y + z + 1}{x + y + z + 2} \vec{S I}$

$\Rightarrow \vec{S J} = (x + y + z + 1) \vec{I J}$

Vậy $S, I, J$ thẳng hàng và

$\frac{S I}{I J} = x + y + z + 1$

$= \frac{S M}{M A} + \frac{S N}{N B} + \frac{S P}{P C} + 1$

Câu 3: Cho hình hộp $A B C D . A' B' C' D'$ . Xác định vị trí các điểm $M, N$ lần lượt trên $A C$ và $D C'$ sao cho $M N ∥ B D'$ . Tính tỉ số $\frac{M N}{B D'}$ bằng?

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. 1

D. $\frac{2}{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Trắc nghiệm Vectơ trong không gian có đáp án – Toán lớp 11 (ảnh 4)

$\vec{B A} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}, \vec{B B'} = \vec{c}$

Giả sử $\vec{A M} = x \vec{A C}, \vec{D N} = y \vec{D C'}$

Dễ dàng có các biểu diễn $\vec{B M} = (1 - x) \vec{a} + x \vec{b}$

và $\vec{B N} = (1 - y) \vec{a} + \vec{b} + y \vec{c}$ .

Từ đó suy ra

$\vec{M N} = (x - y) \vec{a} + (1 - x) \vec{b} + y \vec{c} (1)$

Để $M N ∥ B D'$ thì

$\vec{M N} = z \vec{B D'} = z (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có:

$(x - y) \vec{a} + (1 - x) \vec{b} + y \vec{c}$

$= z (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

$\Leftrightarrow (x - y - z) \vec{a} + (1 - x - z) \vec{b}$

$+ (y - z) \vec{c} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - y - z = 0 \\ 1 - x - z = 0 \\ y - z = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{2}{3} \\ y = \frac{1}{3} \\ z = \frac{1}{3} \end{cases}$

Vậy các điểm $M, N$ được xác định bởi $\vec{A M} = \frac{2}{3} \vec{A C}, \vec{D N} = \frac{1}{3} \vec{D C'}$

Ta cũng có

$\vec{M N} = z \vec{B D'} = \frac{1}{3} \vec{B D'}$

$\Rightarrow \frac{M N}{B D'} = \frac{1}{3}$

Câu 4. Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho

$\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B}, \vec{B N} = \frac{2}{3} \vec{B C},$

$\vec{A Q} = \frac{1}{2} \vec{A D}, \vec{D P} = k \vec{D C}$ .

Hãy xác định k để M, N, P, Q đồng phẳng.

A. $k = \frac{1}{2}$

B. $k = \frac{1}{3}$

C. $k = \frac{1}{4}$

D. $k = \frac{1}{5}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Cách 1.

Ta có $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B}$

$\Rightarrow \vec{B M} - \vec{B A} = - \frac{1}{3} \vec{B A}$

$\Rightarrow \vec{B M} = \frac{2}{3} \vec{B A}$

Lại có $\vec{B N} = \frac{2}{3} \vec{B C}$ do đó $M N ∥ A C$

Vậy Nếu $M, N, P, Q$ đồng phẳng thì

$(M N P Q) \cap (A C D) = P Q ∥ A C$

$\Rightarrow \frac{P C}{P D} = \frac{Q A}{Q D} = 1$ hay $\vec{D P} = \frac{1}{2} \vec{D C}$

$\Rightarrow k = \frac{1}{2}$ .

Cách 2. Đặt $\vec{D A} = \vec{a}, \vec{D B} = \vec{b}, \vec{D C} = \vec{c}$ thì không khó khăn ta có các biểu diễn

$\vec{M N} = - \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ , $\vec{M P} = - \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} + k \vec{c}$ ,

$\vec{M N} = - \frac{1}{6} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$

Các điểm $M, N, P, Q$ đồng phẳng khi và chỉ khi các vec tơ $\vec{M N}, \vec{M P}, \vec{M Q}$ đồng phẳng

$\Leftrightarrow \exists x, y : \vec{M P} = x \vec{M N} + y \vec{M Q}$

$\Leftrightarrow - \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} + k \vec{c}$

$= x (- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{c})$

$+ y (- \frac{1}{6} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b})$

Do các vec tơ $\vec{a}, \vec{b,} \vec{c}$ không đồng phẳng nên điều này tương đương với

$\{\begin{cases} - \frac{2}{3} x - \frac{1}{6} y = - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{3} y = - \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} x = k \end{cases}$

$\Leftrightarrow x = \frac{3}{4}, y = 1, k = \frac{1}{2} .$

Câu 5: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Vì I là trung điểm đoạn AB nên từ O bất kì ta có: $\vec{O I} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$ .

B. Vì $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0}$ nên bốn điểm $A, B, C, D$ đồng phẳng.

C. Vì $\vec{N M} + \vec{N P} = \vec{0}$ nên N là trung điểm đoạn NP.

D. Từ hệ thức $\vec{A B} = 2 \vec{A C} - 8 \vec{A D}$ ta suy ra ba vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}$ đồng phẳng.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Do $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0}$ đúng với mọi điểm $A, B, C, D$ nên câu B sai.

Câu 6: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Ba véctơ $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá thuộc một mặt phẳng

B. Ba tia $O x, O y, O z$ vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng.

C. Cho hai véctơ không cùng phương $\overset{⇀}{a}$ và $\overset{⇀}{b}$ . Khi đó ba véctơ $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m,n sao cho $\overset{⇀}{c} = m \overset{⇀}{a} + n \overset{⇀}{b}$ , ngoài ra cặp số m,n là duy nhất.

D. Nếu có $m \overset{⇀}{a} + n \overset{⇀}{b} + p \overset{⇀}{c} = \overset{⇀}{0}$ và một trong ba số m,n,p khác 0 thì ba véctơ $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{c}$ đồng phẳng.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Ba véctơ $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá song song hoặc thuộc một mặt phẳng. Câu A sai

Câu 7: Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: $\vec{I A} + (2 k - 1) \vec{I B} + k \vec{I C} + \vec{I D} = \vec{0}$

A. $k = 2$

B. $k = 4$

C. $k = 1$

D. $k = 0$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta chứng minh được $\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D} = \vec{0}$ nên $k = 1$

Câu 8: Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng thì từ $m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0}$ ta suy ra $m = n = p = 0$

B. Nếu có $m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0}$ , trong đó $m^{2} + n^{2} + p^{2} > 0$ thì $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng.

C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn $m + n + p \neq 0$ ta có $m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0}$ thì $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng.

D. Nếu giá của $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng qui thì $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu D sai. Ví dụ phản chứng 3 cạnh của hình chóp tam giác đồng qui tại 1 đỉnh nhưng chúng không đồng phẳng.

Câu 9: Cho hình lăng trụ $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ , M là trung điểm của. Đặt $\vec{C A} = \vec{a}$ , $\vec{C B} = \vec{b}$ , $\vec{A A'} = \vec{c}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\vec{A M} = \vec{a} + \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{b}$

B. $\vec{A M} = \vec{b} + \vec{c} - \frac{1}{2} \vec{a}$

C. $\vec{A M} = \vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c}$

D. $\vec{A M} = \vec{a} - \vec{c} + \frac{1}{2} \vec{b}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có $\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M}$

$= \vec{C B} - \vec{C A} + \frac{1}{2} \vec{B B^{'}}$

$= \vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c}$

Câu 10: Cho hình lăng trụ tam giác $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ . Đặt $\vec{A A^{'}} = \vec{a}, \vec{A B} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c},$ $\vec{B C} = \vec{d}$ . Trong các biểu thức véctơ sau đây, biểu thức nào đúng.

A. $\vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$

B. $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}$

C. $\vec{b} - \vec{c} + \vec{d} = 0$

D. $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{d}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: $\vec{b} - \vec{c} + \vec{d}$

$= \vec{A B} - \vec{A C} + \vec{B C}$

$= \vec{C B} + \vec{B C} = \vec{0}$

Câu 11: Cho tứ diện ABCD và I là trọng tâm tam giác ABC. Đẳng thức đúng là.

A. $6 \vec{S I} = \vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C}$

B. $\vec{S I} = \vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C}$

C. $\vec{S I} = 3 (\vec{S A} - \vec{S B} + \vec{S C})$

D. $\vec{S I} = \frac{1}{3} \vec{S A} + \frac{1}{3} \vec{S B} + \frac{1}{3} \vec{S C}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên

$\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} = 3 \vec{S I}$

$\Leftrightarrow \vec{S I} = \frac{1}{3} \vec{S A} + \frac{1}{3} \vec{S B} + \frac{1}{3} \vec{S C}$

Câu 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng.

A. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ cùng nằm trong một mặt phẳng.

B. Ba véctơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng thì có $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$ với m,n là các số duy nhất.

C. Ba véctơ không đồng phẳng khi có $\vec{d} = m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c}$ với $\vec{d}$ là véctơ bất kì.

D. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với một mặt phẳng.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Câu A sai vì ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với cùng một mặt phẳng.

Câu B sai vì thiếu điều kiện 2 véctơ $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương.

Câu C sai vì $\vec{d} = m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c}$ với $\vec{d}$ là véctơ bất kì không phải là điều kiện để 3 véctơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng.

Câu 13: Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: $\vec{A C} + \vec{B A^{'}} + k (\vec{D B} + \vec{C' D}) = \vec{0}$ .

A. $k = 0$

B. $k = 1$

C. $k = 4$

D. $k = 2$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Với $k = 1$ ta có:

$\vec{A C} + \vec{B A'} + 1. (\vec{D B} + \vec{C' D})$

$= \vec{A C} + \vec{B A'} + \vec{C' B}$

$= \vec{A C} + \vec{C' A'}$

$= \vec{A C} + \vec{C A} = \vec{0}$

Câu 14: Cho hình chóp $S . A B C$ . Lấy các điểm $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ lần lượt thuộc các tia $S A, S B, S C$ sao cho $S A = a . S A^{'}, S B = b . S B^{'},$ $S C = c . S C^{'}$ , trong đó $a, b, c$ là các số thay đổi. Tìm mối liên hệ giữa $a, b, c$ để mặt phẳng $(A^{'} B^{'} C^{'})$ đi qua trọng tâm của tam giác ABC.

A. $a + b + c = 3$

B. $a + b + c = 4$

C. $a + b + c = 2$

D. $a + b + c = 1$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Nếu $a = b = c = 1$ thì $S A = S A^{'}, S B = S B^{'}, S C = S C^{'}$ nên $(A B C) \equiv (A^{'} B^{'} C^{'})$ .

Suy ra $(A^{'} B^{'} C^{'})$ đi qua trọng tâm của tam giấc ABC

=> $a + b + c = 3$ là đáp án đúng.

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt $\vec{S A} = \vec{a}, \vec{S B} = \vec{b}, \vec{S C} = \vec{c},$ $\vec{S D} = \vec{d}$ . Khẳng định nào sau đây đúng.

A. $\vec{a} + \vec{c} = \vec{d} + \vec{b}$

B. $\vec{a} + \vec{c} + \vec{d} + \vec{b} = \vec{0}$

C. $\vec{a} + \vec{d} = \vec{b} + \vec{c}$

D. $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c} + \vec{d}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Ta có:

$\{\begin{cases} \vec{a} + \vec{c} = \vec{S A} + \vec{S C} = 2 \vec{S O} \\ \vec{b} + \vec{d} = \vec{S B} + \vec{S D} = 2 \vec{S O} \end{cases}$

=> $\vec{a} + \vec{c} = \vec{d} + \vec{b}$

Câu 16: Cho hình hộp $A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\vec{A C_{1}} + \vec{A_{1} C} = 2 \vec{A C}$

B. $\vec{A C_{1}} + \vec{C A_{1}} + 2 \vec{C_{1} C} = \vec{0}$

C. $\vec{A C_{1}} + \vec{A_{1} C} = \vec{A A_{1}}$

D. $\vec{C A_{1}} + \vec{A C} = \vec{C C_{1}}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

+ Gọi O là tâm của hình hộp $A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ .

+ Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra.

Câu 17: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

A. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{O}$ .

B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu $\vec{A B} = \vec{C D}$ .

C. Cho hình chóp S.ABCD. Nếu có $\vec{S B} + \vec{S D} = \vec{S A} + \vec{S C}$ thì tứ giác ABCD là hình bình hành.

D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

$\vec{S B} + \vec{S D} = \vec{S A} + \vec{S C}$

$\Leftrightarrow \vec{S A} + \vec{A B} + \vec{S A} + \vec{A D}$

$= \vec{S A} + \vec{S A} + \vec{A C} .$

$\Leftrightarrow \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C} .$

$\Leftrightarrow A B C D$ là hình bình hành

Câu 18: Cho hình lập phương $A B C D . E F G H$ có cạnh bằng a. Ta có $\vec{A B} . \vec{E G}$ bằng?

A. $a^{2} \sqrt{2}$

B. $a^{2}$

C. $a^{2} \sqrt{3}$

D. $\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

$\vec{A B} . \vec{E G} = \vec{A B} . (\vec{E F} + \vec{E H})$

$= \vec{A B} . \vec{E F} + \vec{A B} \vec{. E H}$

$= {\vec{A B}}^{2} + \vec{A B} . \vec{A D} (\vec{E H} = \vec{A D})$

$= a^{2}$ (Vì $\vec{A B} ⊥ \vec{A D}$ ).

Câu 19: Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A,B,C,D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A,B,C,D tạo thành hình bình hành là:

A. $\vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} = \vec{O C} + \frac{1}{2} \vec{O D}$

B. $\vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O C} = \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O D}$

C. $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{O B} + \vec{O D}$

D. $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Trắc nghiệm Vectơ trong không gian có đáp án – Toán lớp 11 (ảnh 11)

$\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{O B} + \vec{O D}$

$\Leftrightarrow \vec{O A} + \vec{O A} + \vec{A C}$

$= \vec{O A} + \vec{A B} + \vec{O A} + \vec{B C}$

$\Leftrightarrow \vec{A C} = \vec{A B} + \vec{B C}$

Câu 20: Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành $A B B ’ A ’$ và $B C C^{'} B^{'}$ . Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng

B. $\vec{I K} = \frac{1}{2} \vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A^{'} C^{'}}$

C. Ba vectơ $\vec{B D}; \vec{I K}; \vec{B^{'} C^{'}}$ không đồng phẳng.

D. $\vec{B D} + 2 \vec{I K} = 2 \vec{B C}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

A. Đúng vì $\vec{I K}, \vec{A C}$ cùng thuộc $(B^{'} A C)$

B. Đúng vì

$\vec{I K} = \vec{I B^{'}} + \vec{B' K}$

$= \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) + \frac{1}{2} (- \vec{a} + \vec{c})$

$= \frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{2} \vec{A C}$

$= \frac{1}{2} \vec{A^{'} C^{'}} .$

C. Sai vì

$\vec{I K} = \vec{I B^{'}} + \vec{B' K}$

$= \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) + \frac{1}{2} (- \vec{a} + \vec{c})$

$= \frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c}) .$

$\Rightarrow \vec{B D} + 2 \vec{I K} = - \vec{b} + \vec{c} + \vec{b} + \vec{c}$

$= 2 \vec{c} = 2 \vec{B^{'} C^{'}}$

$\Rightarrow$ ba véctơ đồng phẳng.

D. Đúng vì theo câu C

$\Rightarrow \vec{B D} + 2 \vec{I K} = - \vec{b} + \vec{c} + \vec{b} + \vec{c}$

$= 2 \vec{c} = 2 \vec{B^{'} C^{'}} = 2 \vec{B C} .$

Câu 21: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M,N sao cho $A M = 3 M D$ , $B N = 3 N C$ . Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ $\vec{B D}, \vec{A C}, \vec{M N}$ đồng phẳng.

B. Các vectơ $\vec{M N}, \vec{D C}, \vec{P Q}$ đồng phẳng.

C. Các vectơ $\vec{A B}, \vec{D C}, \vec{P Q}$ đồng phẳng.

D. Các vectơ $\vec{A B}, \vec{D C}, \vec{M N}$ đồng phẳng.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

A. Sai vì

$\{\begin{cases} \vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A C} + \vec{C N} \\ \vec{M N} = \vec{M D} + \vec{D B} + \vec{B N} \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} \vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A C} + \vec{C N} \\ \vec{3 M N} = \vec{3 M D} + 3 \vec{D B} + 3 \vec{B N} \end{cases}$

$\Rightarrow 4 \vec{M N} = \vec{A C} - 3 \vec{B D} + \frac{1}{2} \vec{B C}$

$\Rightarrow \vec{B D}, \vec{A C}, \vec{M N}$ không đồng phẳng.

B. Đúng vì

$\{\begin{cases} \vec{M N} = \vec{M P} + \vec{P Q} + \vec{Q N} \\ \vec{M N} = \vec{M D} + \vec{D C} + \vec{C N} \end{cases}$

$\Rightarrow 2 \vec{M N} = \vec{P Q} + \vec{D C}$

$\Rightarrow \vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{P Q} + \vec{D C})$

$\Rightarrow \vec{M N}, \vec{D C}, \vec{P Q}$ : đồng phẳng.

C. Đúng. Bằng cách biểu diễn $\vec{P Q}$ tương tự như trên ta có $\vec{P Q} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{D C}) .$

D. Đúng. Biểu diễn giống đáp án A ta có $\vec{M N} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{D C}$ .

Câu 25: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Hãy chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:

A. $\vec{A D} + \vec{C B} + \vec{B C} + \vec{D A} = \vec{0}$

B. $\vec{A B} . \vec{B C} = - \frac{a^{2}}{2}$

C. $\vec{A C} . \vec{A D} = \vec{A C} . \vec{C D} .$

D. $A B ⊥ C D$ hay $\vec{A B} . \vec{C D} = 0$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Vì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác ABC, BCD, CDA, ABD là các tam giác đều.

A. Đúng vì $\vec{A D} + \vec{C B} + \vec{B C} + \vec{D A}$ $= \vec{D A} + \vec{A D} + \vec{B C} + \vec{C B} = \vec{0}$

B. Đúng vì $\vec{A B} . \vec{B C} = - \vec{B A} . \vec{B C}$ $= - a . a . \cos 60^{0} = \frac{- a^{2}}{2} .$

C. Sai vì $\vec{A C} . \vec{A D} = a . a . \cos 60^{0} = \frac{a^{2}}{2}$ $\vec{A C} . \vec{C D} = - \vec{C A} . \vec{C D}$ $= - a . a . \cos 60^{0} = - \frac{a^{2}}{2}$

D. Đúng vì $\vec{A B} ⊥ \vec{C D} \Rightarrow \vec{A B} . \vec{C D} = 0.$

Câu 26: Cho tứ diện ABCD. Đặt $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}, \vec{A D} = \vec{c},$ gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. $\vec{A G} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

B. $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

C. $\vec{A G} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

D. $\vec{A G} = \frac{1}{4} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Trắc nghiệm Vectơ trong không gian có đáp án – Toán lớp 11 (ảnh 14)

Gọi M là trung điểm BC.

$\vec{A G} = \vec{A B} + \vec{B G} = \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{B M}$

$= \vec{a} + \frac{2}{3} . \frac{1}{2} (\vec{B C} + \vec{B D})$

$= \vec{a} + \frac{1}{3} (\vec{A C} - \vec{A B} + \vec{A D} - \vec{A B})$

$= \vec{a} + \frac{1}{3} (- 2 \vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

$= \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) .$

Câu 27: Cho hình hộp $A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Gọi M là trung điểm AD. Chọn đẳng thức đúng.

A. $\vec{B_{1} M} = \vec{B_{1} B} + \vec{B_{1} A_{1}} + \vec{B_{1} C_{1}}$

B. $\vec{C_{1} M} = \vec{C_{1} C} + \vec{C_{1} D_{1}} + \frac{1}{2} \vec{C_{1} B_{1}}$

C. $\vec{C_{1} M} = \vec{C_{1} C} + \frac{1}{2} \vec{C_{1} D_{1}} + \frac{1}{2} \vec{C_{1} B_{1}}$

D. $\vec{B B_{1}} + \vec{B_{1} A_{1}} + \vec{B_{1} C_{1}} = 2 \vec{B_{1} D}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

A. Sai vì

$\vec{B_{1} M} = \vec{B_{1} B} + \vec{B M}$

$= \vec{B B_{1}} + \frac{1}{2} (\vec{B A} + \vec{B D})$

$= \vec{B B_{1}} + \frac{1}{2} (\vec{B_{1} A_{1}} + \vec{B_{1} D_{1}})$

$= \vec{B B_{1}} + \frac{1}{2} (\vec{B_{1} A_{1}} + \vec{B_{1} A_{1}} + \vec{B_{1} C_{1}})$

$= \vec{B B_{1}} + \vec{B_{1} A_{1}} + \frac{1}{2} \vec{B_{1} C_{1}} .$

B. Đúng vì

$\vec{C_{1} M} = \vec{C_{1} C} + \vec{C M}$

$= \vec{C_{1} C} + \frac{1}{2} (\vec{C A} + \vec{C D})$

$= \vec{C_{1} C} + \frac{1}{2} (\vec{C_{1} A_{1}} + \vec{C_{1} D_{1}})$

$= \vec{C_{1} C} + \frac{1}{2} (\vec{C_{1} B_{1}} + \vec{C_{1} D_{1}} + \vec{C_{1} D_{1}})$

$= \vec{C_{1} C} + \vec{C_{1} D_{1}} + \frac{1}{2} \vec{C_{1} B_{1}} .$

C. Sai. theo câu B suy ra

D. Đúng vì

$\vec{B B_{1}} + \vec{B_{1} A_{1}} + \vec{B_{1} C_{1}}$

$= \vec{B A_{1}} + \vec{B C} = \vec{B D_{1}}$

Câu 28: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ (G là trọng tâm của tứ diện). Gọi $G_{0}$ là giao điểm của GA và mp $(B C D)$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $\vec{G A} = - 2 \vec{G_{0} G}$

B. $\vec{G A} = 4 \vec{G_{0} G}$

C. $\vec{G A} = 3 \vec{G_{0} G}$

D. $\vec{G A} = 2 \vec{G_{0} G}$

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Theo đề: $G_{0}$ là giao điểm của GA và mp $(B C D)$

$\Rightarrow G_{0}$ là trọng tâm tam giác BCD.

$\Rightarrow \vec{G_{0} A} + \vec{G_{0} B} + \vec{G_{0} C} = \vec{0}$

Ta có: $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{G A} = - (\vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D})$

$= - (3 \vec{G G_{0}} + \vec{G_{0} A} + \vec{G_{0} B} + \vec{G_{0} C})$

$= - 3 \vec{G G_{0}} = 3 \vec{G_{0} G}$

Câu 29: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Các vectơ $\vec{A B}, \vec{D C}, \vec{M N}$ đồng phẳng.

B. Các vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{M N}$ không đồng phẳng.

C. Các vectơ $\vec{A N}, \vec{C M}, \vec{M N}$ đồng phẳng.

D. Các vectơ $\vec{B D}, \vec{A C}, \vec{M N}$ đồng phẳng.

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

A. Đúng vì $\vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{D C}) .$

B. Đúng vì từ N ta dựng véctơ bằng véctơ $\vec{M N}$ thì $\vec{M N}$ không nằm trong mặt phẳng $(A B C)$ .

C. Sai. Tương tự đáp án B thì $\vec{A N}$ không nằm trong mặt phẳng $(C M N)$ .

D. Đúng vì $\vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{B D}) .$

Câu 30: Cho tứ diện ABCD. Người ta định nghĩa “ G là trọng tâm tứ diện ABCD khi $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ ”. Khẳng định nào sau đây sai ?

A. G là trung điểm của đoạn IJ (I , J lần lượt là trung điểm AB và CD)

B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD

C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC

D. Chưa thể xác định được.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

$(\vec{G A} + \vec{G B}) + (\vec{G C} + \vec{G D}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{G I} + 2 \vec{G J} = \vec{0}$

G là trung điểm IJ nên đáp án A đúng

Tương tự cho đáp án B và C cũng đúng.

Câu 31: Cho tứ diện ABCD, E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD, AB = 2a, CD = 2b và EF = 2c. M là một điểm bất kì.

Bài tập trắc nghiệm Hình học 11 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11

MA² + MB² bằng:

A. 2ME² + 2a²

B. 2MF² + 2a²

C. 2ME² + 2b²

D. 2MF² + 2b²

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

MA² = (ME→ + EA→ )² = ME² + EA² + 2ME→.EA→

MB² = (ME→ + EB→ )² = ME² + EB² + 2ME→.EB→

Suy ra: MA² + MB² = 2ME² + 2a² (do EA→ + EB→ = 0→)

Câu 32: Cho hình hộp ABCD.A₁B₁C₁D₁ với tâm O. Chọn đẳng thức sai.