TOP 40 câu Trắc nghiệm Nhị Thức Newton (có đáp án 2023) | Toán 11

Đáp án: D

Giải thích:

Trong khai triển ${\left(3x^2-y\right)}^{10}$ có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ .

Vậy hệ số của số hạng chính giữa là $-3^5.C_{10}^5$.

Đáp án: A

Giải thích:

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

$T_{k+1}={(-1)}^k{C}_8^k.{\left(2x\right)}^{8-k}{\left(5y\right)}^k$

$={(-1)}^k{C}_8^k{.2}^{8-k}{5}^k.x^{8-k}.y^k$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi . Khi đó hệ số của số hạng chứa $x^5.y^3$ là:$-22400$.

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: ${\left(2a-b\right)}^5$

$=C_5^0{\left(2a\right)}^5-C_5^1{\left(2a\right)}^{4}b+C_5^2{\left(2a\right)}^3{b}^2\dots$

Do đó hệ số của số hạng thứ 3 bằng $C_5^2.8=80$.

Đáp án: C

Giải thích:

Trong khai triển ${\left(a+2\right)}^{n+6},\left(n\in \mathbb{N}\right)$ có tất cả n + 7  số hạng.

Do đó $n+7=17\iff n=10$.

Đáp án: C

Giải thích:

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

$T_{k+1}=C_6^k.x^{6-k}{2}^k.x^{-\frac{1}{2}k}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi

$6-k-\frac{1}{2}k=3\iff k=3$.

Khi đó hệ số của $x^3$ là: $C_6^3{.2}^3=160$.

Đáp án: A

Giải thích:

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là 

$T_{k+1}=C_7^k.a^{14-2k}.b^{-k}$

Vậy số hạng thứ 5 là

$T_5=C_7^4.a^6.b^{-4}=35.a^6.b^{-4}$

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

${\left(2a-1\right)}^6$

$=C_6^0{.2}^6{a}^6-C_6^1{.2}^5{a}^5+C_6^2{.2}^4{a}^4-\mathrm{...}$

Vậy tổng 3 số hạng đầu là $64a^6-192a^5+240a^4$.

Đáp án: D

Giải thích:

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

$T_{k+1}=C_9^k.x^{9-k}{8}^k.x^{-2k}$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi

$9-k-2k=0\iff k=3$.

Khi đó số hạng không chứa x là: $C_9^3{.8}^3=43008$.

Đáp án: D

Giải thích:

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

$T_{k+1}=C_{10}^k{.2}^{10-k}.x^{10-k}.{\left(-1\right)}^k$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi

$10-k=8\iff k=2$.

Khi đó hệ số của số hạng chứa $x^8$ là:$C_{10}^2{.2}^8=11520$.

Đáp án: A

Giải thích:

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

$T_{k+1}=C_8^k.a^{8-k}.{\left(-2\right)}^k.b^k$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi  k = 4.

Khi đó hệ số của số hạng chứa $a^4.b^4$ là: $C_8^4{.2}^4=1120$.

Đáp án: A

Giải thích:

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

$T_{k+1}=C_7^k{.3}^{7-k}{x}^{7-k}.{\left(-1\right)}^k.y^k$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = 3 .

Khi đó hệ số của số hạng chứa $x^4.y^3$ là:

$-C_7^3{.3}^4.x^4.y^3=-2835.x^4.y$.

Đáp án: D

Giải thích:

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

$T_{k+1}=C_5^k.{(0,2)}^{5-k}.{(0,8)}^k$

Vậy số hạng thứ tư là

$T_4=C_5^3.{(0,2)}^2.{(0,8)}^3=0,2028$

Đáp án: A

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: $S=3^n\sum _{k=1}^{n}k{C}_n^k{\left(\frac{1}{3}\right)}^k$

Vì $k{C}_n^k{\left(\frac{1}{3}\right)}^k=n{\left(\frac{1}{3}\right)}^k{C}_{n-1}^{k-1}$ nên

$S=3^n.n\sum _{k=1}^n{\left(\frac{1}{3}\right)}^k{C}_{n-1}^{k-1}$

$=3^{n-1}.n\sum _{k=0}^{n-1}{\left(\frac{1}{3}\right)}^k{C}_{n-1}^k$.

Đáp án: C

Giải thích:

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

$T_{k+1}={\left(-1\right)}^k{C}_6^k{.8}^{6-k}{a}^{12-2k}{.2}^{-k}{b}^k$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = 3 .

Khi đó hệ số của số hạng chứa $a^9{b}^3$ là: $-1280a^9.b^3$.

Đáp án: D

Giải thích:

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

$T_{k+1}=C_6^k.x^k.C_6^m.y^m$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = m = 3 .

Khi đó hệ số của số hạng chứa $x^3{y}^3$ là: $C_6^3.C_6^3=400$.

Đáp án: D

Giải thích:

Số hạng chính giữa trong khai triển trên là số hạng thứ ba:

$C_4^2{\left(3x\right)}^2{\left(2y\right)}^2=6{\left(3x\right)}^2{\left(2y\right)}^2$ .

Đáp án: B

Giải thích:

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

$T_{k+1}=C_{11}^k.x^{11-k}.{\left(-1\right)}^k.y^k$

Yêu cầu bài toán xảy ra khi k = 3.

Khi đó hệ số của số hạng chứa $x^8.y^3$ là: $-C_{11}^3$.

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: 

$\left\{\begin{array}{l}\sum _{k=0}^{2n+1}{C}_{2n+1}^k=2^{2n+1}\\ \sum _{i=0}^n{C}_{2n+1}^{2i+1}=\sum _{i=0}^n{C}_{2n+1}^{2i}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \sum _{i=0}^n{C}_{2n+1}^{2i+1}=2^{2n}=1024$

$\Rightarrow n=5$

Suy ra :

${(2-3x)}^{2n}$

$=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k{2}^{10-k}.{(-3)}^k{x}^k$

Hệ số của $x^7$ là

$C_{10}^7{.2}^3.{(-3)}^7=-2099520$.

Đáp án: C

Giải thích:

Hệ số của :

$C_9^9+C_{10}^9+C_{11}^9+C_{12}^9+C_{13}^9+C_{14}^9$

$=3003$.

Đáp án: A

Giải thích:

Đặt $f\left(x\right)=x{\left(1-2x\right)}^5+x^2{\left(1+3x\right)}^{10}$

Ta có :

 $f\left(x\right)$

$=x\sum _{k=0}^5{C}_5^k{\left(-2\right)}^k.x^k$

$+x^2\sum _{i=0}^{10}{C}_{10}^i{\left(3x\right)}^i$

$=\sum _{k=0}^5{C}_5^k{\left(-2\right)}^k.x^{k+1}$

$+\sum _{i=0}^{10}{C}_{10}^i{3}^i.x^{i+2}$

Vậy hệ số của $x^5$ trong khai triển đa thức của $f\left(x\right)$ ứng với k = 4 và i = 3 là:

$C_5^4{\left(-2\right)}^4+C_{10}^3{.3}^3=3320$.

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:

$S=\frac{1}{2}\left(C_n^0-\frac{1}{2}{C}_n^1+\mathrm{...}+\frac{{(-1)}^n}{n+1}{C}_n^n\right)$

Vì $\frac{{(-1)}^k}{k+1}{C}_n^k=\frac{{(-1)}^k}{n+1}{C}_{n+1}^{k+1}$ nên:

$S=\frac{1}{2(n+1)}\sum _{k=0}^n{(-1)}^k{C}_{n+1}^{k+1}$

$=\frac{-1}{2(n+1)}\left(\sum _{k=0}^{n+1}{(-1)}^k{C}_{n+1}^k-C_{n+1}^0\right)$

 $=\frac{1}{2(n+1)}$ .

Đáp án: A

Giải thích:

Tính chất của khai triển nhị thức Niu – Tơn.

Đáp án: A

Giải thích:

${\text{S =\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}C}}_{\text{6}}^{\text{0}}{\text{+C}}_{\text{6}}^{\text{1}}\text{+}\mathrm{...}{\text{+C}}_{\text{6}}^{\text{6}}=2^6=64$

Đáp án: A

Giải thích:

Với $x=1,y=1$ ta có

${\text{S=\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}C}}_{\text{5}}^{\text{0}}{\text{+C}}_{\text{5}}^{\text{1}}\text{+}\mathrm{...}{\text{+C}}_{\text{5}}^{\text{5}}={(1+1)}^5=32$.

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có $f\left(x\right)=\sum _{k=0}^{10}{C}_n^k{1}^{10-k}{(-2x)}^k$

$=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k{(-2)}^k{x}^k$

Số hạng chứa $x^7$ ứng với giá trị k = 7 .

Vậy hệ số của $x^7$ là: $C_{10}^7{(-2)}^7=-15360$.

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có ${(2+3x)}^9=\sum _{k=0}^9{C}_9^k{2}^{9-k}{\left(3x\right)}^k$

$=\sum _{k=0}^9{C}_9^k{2}^{9-k}{3}^k.x^k$

$\Rightarrow h\left(x\right)=\sum _{k=0}^9{C}_9^k{2}^{9-k}{3}^k{x}^{k+1}$.

Số hạng chứa $x^7$ ứng với giá trị k thỏa $k+1=7\iff k=6$

Vậy hệ số chứa $x^7$ là: $C_9^6{2}^3{3}^6=489888$.

Đáp án: A

Giải thích:

Hệ số của $x^7$ trong khai triển ${(1+x)}^7=\sum _{k=0}^7{C}_7^k{x}^k$ là : $C_7^7=1$

Hệ số của $x^7$ trong khai triển ${(1-x)}^8=\sum _{k=0}^8{C}_8^k{(-1)}^k{x}^k$ là : $C_8^7{(-1)}^7=-8$

Hệ số của $x^7$ trong khai triển ${(1+x)}^9=\sum _{k=0}^9{C}_9^k{x}^k$ là : $C_7^9=36$.

Vậy hệ số chứa $x^7$ trong khai triển $g\left(x\right)$ thành đa thức là: 29.

Chú ý:

* Với $a\ne 0$ ta có: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ với $n\in \mathbb{N}$.

* Với $a\ge 0$ ta có: $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$ với $m,n\in \mathbb{N};n\ge 1$.

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có $k(k-1)C_n^k$

$=\frac{n!}{(k-2)!(n-k)!}$

$=n(n-1)C_{n-2}^{k-2}$

$\Rightarrow S_3=n(n-1)\sum _{k=2}^n{C}_{n-2}^{k-2}$

$=n(n-1)2^{n-2}$.

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có $S=S_1-S_2$, trong đó

$S_1=C_n^0+\frac{3^2}{2}{C}_n^1+\mathrm{...}+\frac{3^{n+1}}{n+1}{C}_n^n$

$S_2=\frac{1}{2}{C}_n^1+\frac{1}{3}{C}_n^2+\mathrm{...}+\frac{1}{n+1}{C}_n^n$

Ta có $S_2=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}-1$

Tính $S_1=?$

Ta có:  $\frac{3^{k+1}}{k+1}{C}_n^k=3^{k+1}\frac{n!}{(k+1)!(n-k)!}$

$=\frac{3^{k+1}}{n+1}\frac{(n+1)!}{(k+1)!\text{[}(n+1)-(k+1)\text{]!}}$

$=\frac{3^{k+1}}{n+1}{C}_{n+1}^{k+1}$

$\Rightarrow S_1=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n{3}^{k+1}{C}_{n+2}^{k+1}-2C_n^0$

$=\frac{1}{n+1}\left(\sum _{k=0}^{n+1}{3}^k{C}_{n+1}^k-C_n^0\right)-2C_n^0$

$=\frac{4^{n+1}-1}{n+1}-2$.

Vậy $S=\frac{4^{n+1}-2^{n+1}}{n+1}-1$.