TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương pháp quy nạp toán học (có đáp án 2023) – Toán 11
Bộ 40 câu hỏi trắc nghiệm Toán lớp 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học có đáp án đầy đủ các mức độ giúp các em ôn trắc nghiệm Toán 11 Bài 1.
Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học
Bài giảng Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học
Câu 1. Với mọi số tự nhiên n , tổng chia hết cho:
A. 3
B. 4
C. 5
D. 7
Đáp án: A
Giải thích:
Với n = 0 ta có: chia hết cho 3, ta chứng minh chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n.
Giả sử mệnh đề trên đúng đến , tức là chia hết cho 3, ta chứng minh mệnh đề trên đúng đến , tức là cũng chia hết cho 3.
Ta có:
Có: chia hết cho 3 theo giả thiết quy nạp, , do đó
Vậy với mọi số tự nhiên n.
Câu 2. Giá trị của tổng là:
A. 1
B. 0
C. 5
D. n +1
Đáp án: D
Giải thích:
Với =0 ta có:
Với =1 ta có =1–2+3=2
Với =2 ta có =1–2+3–4+5=3
Dự đoán S = n+1 ta sẽ chứng minh đúng bằng quy nạp.
Với n = 0 đương nhiên đúng.
Giả sử đúng với , tức là
, ta chứng minh đúng với +1.
Ta có:
Vậy đúng với mọi số tự nhiên n, tức là S = n+1.
Câu 3. Với mọi số nguyên dương n , tổng là:
A.
B.
C.
D. Đáp số khác
Đáp án: B
Giải thích:
Với =1 ta có: S =1.2=2, do đó đáp án A, C sai.
Ta chứng minh đúng với mọi số nguyên dương .
Giả sử đúng đến , tức là
, ta chứng minh (∗) đúng đến , tức là cần chứng minh
Ta có:
Vậy đúng với mọi số nguyên dương n.
Câu 4: Một học sinh chứng minh mệnh đề chia hết cho như sau:
Giả sử đúng với tức là + 1 chia hết cho 7
Ta có: + 1 = 8- 7, kết hợp với giả thiết + 1 chia hết cho 7 nên suy ra được + 1 chia hết cho 7.
Vậy đẳng thức đúng với mọi
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Học sinh trên chứng minh đúng.
B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp.
C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp.
D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp
Đáp án: D
Giải thích:
Quan sát lời giải trên ta thấy:
Học sinh thực hiện thiếu bước 1: Kiểm tra thì +1=9 không chia hết cho 7 nên mệnh đề đó sai.
Câu 5: Với , ta xét các mệnh đề: :“ + 5 chia hết cho 2”;
Q: “+ 5 chia hết cho 3” và R: “+ 5 chia hết cho 6”.
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
A. 3
B. 0
C. 1
D. 2
Đáp án: A
Giải thích:
Bằng quy nạp toán học ta chứng minh được + 5 chia hết cho 6.
Thật vậy, với n = 1 ta có: + 5 =12 6
Giả sử mệnh đề đúng với n = k , nghĩa là + 5 chia hết cho 6, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với , nghĩa là phải chứng minh + 5 chia hết cho 6.
Ta có: + 5 =7(+5)−30
Theo giả thiết quy nạp ta có +5chia hết cho 6, và 30 chia hết cho 6 nên
7(+5)−30cũng chia hết cho 6.
Do đó mệnh đề đúng với .
Vậy + 5 chi hết cho 6 với mọi
Mọi số chia hết cho 6 đều chia hết cho 2 và chia hết cho 3.
Do đó cả 3 mệnh đề đều đúng.
Câu 6: Trong phương pháp quy nạp toán học, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng đến:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: C
Giải thích:
Nếu ta giả sử mệnh đề đúng với thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với
Câu 7: Đối với bài toán chứng minh đúng với mọi với p là số tự nhiên cho trước thì ở bước 1 ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: D
Giải thích:
Đối với bài toán chứng minh đúng với mọi với p là số tự nhiên cho trước thì:
- Bước 1: Chứng minh đúng với
- Bước 2: Với là một số nguyên dương tùy ý, giả sử đúng với , chứng minh cũng đúng khi .
Từ đó ta thấy, ở bước đầu tiên ta cần chứng minh mệnh đề đúng với chứ không phải .
Câu 8: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến đúng với mọi số tự nhiên (p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề đúng với . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
B.
C.
D.
Đáp án: B
Giải thích:
Ở bước 2 ta cần giả sử mệnh đề đúng với với .
Câu 9: Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến đúng với mọi số tự nhiên ( p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:
- Bước 1, kiểm tra mệnh đề đúng với
- Bước 2, giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với
Trong hai bước trên:
A. Chỉ có bước 1 đúng.
B. Chỉ có bước 2 đúng.
C. Cả hai bước đều đúng
D. Cả hai bước đều sai
Đáp án: C
Giải thích:
Đối với bài toán chứng minh đúng với mọi với p là số tự nhiên cho trước thì:
- Bước 1: Chứng minh đúng với .
- Bước 2: Với là một số nguyên dương tùy ý, giả sử đúng với , chứng minh cũng đúng khi .
Từ lý thuyết trên ta thấy cả hai bước trên đều đúng.
Câu 10: Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: B
Giải thích:
Phương pháp quy nạp toán học:
- Bước 1: Chứng minh đúng với .
- Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý, giả sử đúng với , chứng minh cũng đúng khi .
Do đó ta thấy, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với 1
Câu 11: Giả sử Q là tập con thật sự của tập hợp các số nguyên dương sao cho
a)
b)
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Mọi số nguyên dương đều thuộc Q.
B. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc Q.
C. Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc Q.
D. Mọi số nguyên đều thuộc Q.
Đáp án: B
Giải thích:
Đáp án A: sai vì Q là tập con thực sự của N* nên tồn tại số nguyên dương không thuộc Q.
Đáp án B: đúng vì theo lý thuyết của phương pháp quy nạp toán học.
Đáp án C: sai vì theo giả thiết b thì phải là số tự nhiên lớn hơn k thuộc Q.
Đáp án D: sai vì số nguyên âm không thuộc Q.
Câu 12. Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để với mọi số nguyên
A. p = 5
B. p = 3
C. p = 4
D. p = 2
Đáp án: B
Giải thích:
Dễ thấy p = 2 thì bất đẳng thức là sai nên loại ngay phương án D.
Xét với p = 3 ta thấy là bất đẳng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được rằng với mọi
Vậy p = là số nguyên dương nhỏ nhất cần tìm.
Câu 13: Với mọi số nguyên dương n, tổng 2 + 5 + 8 + … + (3n – 1) là:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: A
Giải thích:
Gọi
Với n = 1 ta có: , ta loại được các đáp án B, C và D.
Ta chứng minh
đúng với mọi số nguyên dương n bằng phương pháp quy nạp toán học.
Giả sử đúng đến tức là
Ta cần chứng minh (*) đúng đến , tức là cần chứng minh
Thật vậy ta có:
Do đó (*) đúng đến .
Vậy
đúng với mọi số nguyên dương n.
Câu 14: Với mọi số nguyên dương , ta có: , trong đó a, b là các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức
A. P = 5
B. P = 9
C. P = 20
D. P = 36
Đáp án: C
Giải thích:
Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có:
Suy ra
Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có:
Suy ra
Câu 15: So sánh và , với ta được:
A.
B.
C.
D. Không so sánh được
Đáp án: B
Giải thích:
Với ta có , do đó loại đáp án A.
Với n = 2, chọn bất kì a = 1, b = 2 ta có:
Đáp án C sai.
Ta chứng minh đáp án B đúng với mọi bằng phương pháp quy nạp.
Với n =1 mệnh đề đúng.
Giả sử mệnh đề đúng đến
Ta phải chứng minh
Thật vậy, ta nhân 2 vế của (1) với ta có:
Do . Nếu , nếu
Từ (2) suy ra , do đó mệnh đề đúng đến
Vậy mệnh đề đúng với mọi thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 16: Với mỗi số nguyên dương n , đặt . Mệnh đề nào dưới đây là đúng
A.
B.
C.
D.
Đáp án: C
Giải thích:
Cách 1: (trắc nghiệm) Kiểm tra tính đúng – sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua một số giá trị cụ thể của nn.
+ Với thì (loại được các phương án B và D);
+ Với thì (loại được phương án A).
Vậy phương án đúng là C.
Cách 2. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Câu 17: Với mọi số tự nhiên bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
B.
C.
D. Cả ba đều đúng
Đáp án: C
Giải thích:
Với ta có:
Ta chứng minh đáp án C đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
Bất đẳng thức đúng với , giả sử bất đẳng thức đúng đến , tức là .
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng đến , tức là cần phải chứng minh
Ta có:
Vậy bất đằng thức đúng với mọi số tự nhiên
Câu 18. Tính tổng:
1.4 + 2.7 + … +n.(3n +1)
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Đáp án: A
Giải thích:
Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh với mọi số nguyên dương n thì:
(1)
Với n = 1: Vế trái của (1) = 1. 4 = 4.
Vế phải của (1) .
Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1). Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với n = k . Có nghĩa là ta có:
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1 . Có nghĩa ta phải chứng minh:
Thật vậy
(đpcm).
Vậy (1) đúng khi n = k + 1 . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Câu 19. Chứng minh chia hết cho 3
Đáp án:
Giải thích:
Đặt
Ta có chia hết cho 3.
Giả sử chia hết cho 3.
Ta cần chứng minh
chia hết cho 3.
Thật vậy, ta có:
.
Vì và đều chia hết cho 3, nên cũng chia hết cho 3.
Vậy với mọi số nguyên dương n thì chia hết cho 3.
Câu 20: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho
A.
B.
C.
D.
Đáp án: D
Giải thích:
Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp = 1,2,3,4, ta dự đoán được , với 4. Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vây:
- Bước 1: Với thì vế trái bằng , còn vế phải bằng
Do 32>28 nên bất đẳng thức đúng với
- Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với , nghĩa là
Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với , tức là phải chứng minh hay
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có
Suy ra hay
Mặt khác:
với mọi
Do đó hay bất đẳng thức đúng với .
Suy ra bất đẳng thức được chứng minh.
Vậy phương án đúng là D.
Câu 21: Cho tổng . Mệnh đề nào đúng?
A.
B.
C.
D.
Đáp án: B
Giải thích:
Cách 1:
Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta sẽ chứng minh được
=
Thật vậy, với ta có
Giả sử đúng đến khi đó ta có:
, ta chứng minh (*) đúng đến , tức là cần chứng minh
Ta có:
Vậy đúng với mọi số nguyên dương .
Câu 22: Đặt với . Mệnh đề nào dưới đây đúng
A.
B.
C.
D.
Đáp án: C
Giải thích:
Cách 1: Rút gọn biểu thức dựa vào việc phân tích phần tử đại diện.
Với mọi số nguyên dương , ta có
Do đó:
Vậy phương án đúng là phương án C.
Cách 2. Dùng phương pháp quy nạp chứng minh C đúng.
Câu 23: Với , hãy rút gọn biểu thức
A.
B.
C.
D.
Đáp án: A
Giải thích:
Để chọn được S đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:
Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của .
Với n=1 thì S=1.4 = 4 (loại ngay được phương án B và C).
Với thì
S =1.4+2.7=18 (loại được phương án D).
Cách 2: Bằng cách tính S trong các trường hợp n= 1, S= 4; n=2, S=18; n= 3, S= 48 ta dự đoán được công thức .
Cách 3: Ta tính dựa vào các tổng đã biết kết quả như
2 và
Ta có:
Câu 24. Kí hiệu đặt Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
B.
C.
D.
Đáp án: B
Giải thích:
Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n.
Với (Loại ngay được các phương án A, C, D).
Câu 25: Chọn mệnh đề đúng: Với mọi thì:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: C
Giải thích:
Với ta có , ta sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh chia hết cho 12 với mọi
Giả sử khẳng định trên đúng đến , tức là , ta chứng minh đúng đến , tức là cũng chia hết cho 12
Ta có:
Theo giả thiết quy nạp ta có: và nên
Vậy ,
Câu 26: Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số tự nhiên n thỏa thì:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: D
Giải thích:
Với ta loại được đáp án A, B và C.
Ta chứng minh đáp án D đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
Bất đẳng thức đúng với vì vì 8>7.
Giả sử bất đẳng thức đúng đến , tức là , ta chứng minh bất đẳng thức đúng đến , tức là cần chứng minh
Ta có:
Vì :
Do đó bất đẳng thức đúng đến
Vậy BĐT đúng với mọi số tự nhiên
Câu 27. Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số nguyên dương n thì:
A.
B.
C.
D.
Đáp án: C
Giải thích:
Khi ta có ⇒ Loại đáp án A, B, D.
Ta chứng minh đáp án C đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
Bất đẳng thức đúng với .
Giả sử bất đẳng thức đúng đến tức là
, ta chứng minh bất đẳng thức đúng đến , tức là cần chứng minh
Ta có:
VT=
Giả sử:
(luôn đúng)
Do đó:
Do đó bất đẳng thức đúng đến
Vậy đúng với mọi số nguyên dương .
Câu 28: Tìm công thức tính số hạng tổng quát un theo n của dãy số sau
A. un = 3n + n2 -1
B. un = 2n + 1
C. un = 4n - 10
D. Đáp án khác
Đáp án: A
Giải thích:
Câu 29: Xét tính tăng giảm của dãy số (un) biết:
A. Dãy số tăng
B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm
D. Dãy số không đổi.
Đáp án: B
Giải thích:
Câu 30: Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số :
A. Dãy số giảm, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số tăng, bị chặn.
D. Dãy số giảm, bị chặn dưới.
Đáp án: C
Giải thích:
Câu 31: Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát . Số 167/84 là số hạng thứ mấy?
A. 300.
B. 212.
C. 250.
D. 249.
Đáp án: C
Giải thích:
Câu 32: Tìm công thức tính số hạng tổng quát un theo n của dãy số sau
A. un = n2 - 3n + 10
B. un = 2n
C. un = 2n
D. un = n + 2
Đáp án: B
Giải thích:
Vậy (*) đúng với n = k + 1. Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n.
Câu 33: Xét tính tăng giảm của dãy số (un) biết:
A. Dãy số giảm.
B. Dãy số không tăng không giảm
C. Dãy số không đổi.
D. Dãy số tăng
Đáp án: D
Giải thích:
Câu 34: Cho dãy số . Tìm mệnh đề đúng?
A. Dãy số tăng và bị chặn.
B. Dãy số giảm và bị chặn.
C. Dãy số tăng và bị chặn dưới
D. Dãy số giảm và bị chặn trên.
Đáp án: A
Giải thích:
Câu 35: Xét tính bị chặn của dãy số (un) biết:
A. Dãy số bị chặn trên
B. Dãy số bị chặn dưới.
C. Dãy số bị chặn
D. Tất cả sai.
Đáp án: C
Giải thích:
Câu 36: Cho dãy số (un) xác định bởi . Tìm số hạng tổng quát un theo n.
A. un = 100 + 2n
B.un = 10n + n
C. un = 100n – n2
D. Đáp án khác
Đáp án: B
Giải thích:
Câu 37: Xét tính tăng giảm của dãy số (un) với
A. Dãy số tăng
B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm
D. Dãy số không đổi.
Đáp án: B
Giải thích:
Câu 38: Cho dãy số (un) biết . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng
B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm
D. Dãy số là dãy hữu hạn
Đáp án: A
Giải thích:
Câu 39: Cho dãy số (un) biết . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. Dãy số bị chặn dưới.
B. Dãy số bị chặn trên.
C. Dãy số bị chặn.
D. Không bị chặn
Đáp án: C
Giải thích:
Câu 40: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết:
A. Dãy số tăng, bị chặn
B. Dãy số giảm, bị chặn
C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn
D. Cả A, B, C đều sai
Đáp án: A
Giải thích:
Các câu hỏi trắc nghiệm Toán lớp 11 có đáp án, chọn lọc khác:
Trắc nghiệm Cấp số cộng có đáp án
Trắc nghiệm Cấp số nhân có đáp án
Xem thêm các chương trình khác:
- Trắc nghiệm Sinh học lớp 7 có đáp án
- Trắc nghiệm Toán lớp 7 có đáp án
- Trắc nghiệm Ngữ văn lớp 7 có đáp án
- Trắc nghiệm Sinh học 8 có đáp án
- Trắc nghiệm Toán lớp 8 có đáp án (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Trắc nghiệm Ngữ văn 8 có đáp án
- Trắc nghiệm Hóa học lớp 8 có đáp án
- Trắc nghiệm Địa Lí lớp 8 có đáp án (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Trắc nghiệm Tiếng Anh lớp 8 có đáp án
- Trắc nghiệm GDCD lớp 8 có đáp án (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Trắc nghiệm Lịch sử lớp 8 có đáp án (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Trắc nghiệm Vật Lí lớp 8 có đáp án
- Trắc nghiệm Công nghệ lớp 8 có đáp án
- Trắc nghiệm Tin học lớp 8 có đáp án
- Trắc nghiệm Sinh học lớp 9 có đáp án
- Trắc nghiệm Toán lớp 9 có đáp án
- Trắc nghiệm Ngữ văn 9 có đáp án
- Trắc nghiệm Hóa học lớp 9 có đáp án
- Trắc nghiệm Địa lí lớp 9 có đáp án
- Trắc nghiệm Tiếng Anh lớp 9 có đáp án
- Trắc nghiệm GDCD lớp 9 có đáp án
- Trắc nghiệm Lịch sử lớp 9 có đáp án
- Trắc nghiệm Vật lí lớp 9 có đáp án
- Trắc nghiệm Công nghệ lớp 9 có đáp án
- Trắc nghiệm Sinh học lớp 10 có đáp án
- Trắc nghiệm Toán lớp 10 có đáp án
- Trắc nghiệm Hóa học lớp 10 có đáp án
- Trắc nghiệm Ngữ văn lớp 10 có đáp án
- Trắc nghiệm Vật Lí lớp 10 có đáp án
- Trắc nghiệm Tiếng Anh lớp 10 có đáp án
- Trắc nghiệm Toán lớp 12 có đáp án
- Trắc nghiệm Sinh học lớp 12 có đáp án
- Trắc nghiệm Hóa học lớp 12 có đáp án
- Trắc nghiệm Ngữ văn lớp 12 có đáp án
- Trắc nghiệm Tiếng Anh lớp 12 có đáp án
- Trắc nghiệm Địa lí lớp 12 có đáp án
- Trắc nghiệm Vật Lí lớp 12 có đáp án
- Trắc nghiệm Công nghệ lớp 12 có đáp án
- Trắc nghiệm Giáo dục công dân lớp 12 có đáp án
- Trắc nghiệm Lịch sử lớp 12 có đáp án
- Trắc nghiệm Giáo dục quốc phòng - an ninh lớp 12 có đáp án