Đáp án đúng là: A

*Phương pháp giải:

- Dựa vào tính chất của hình thoi chúng ta có thể xác định được số đo của góc ABC khi đã biết được số đo của góc BAD.

- Áp dụng định lí hàm cosin vào tam giác ABC để tính cạnh AC khi đã biết được số đo các cạnh của hình thoi và số đo góc ABC.

* Lời giải:

Do ABCD là hình thoi, có $\widehat{BAD}=60°\Rightarrow \widehat{ABC}=120°$ .

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2.AB.BC.\cos \widehat{ABC}$

$\Rightarrow 1^2+1^2-\mathrm{2.1.1.}\cos 120°=3\Rightarrow AC=\sqrt{3}$

* Một số kiến thức liên quan về định lí cosin và định lí sin trong tam giác

- Định lí côsin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

a² = b² + c² – 2bc.cosA;

b² = c² + a² – 2ca.cosB;        

c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Từ định lí côsin, ta có hệ quả sau đây:

Hệ quả:

cosA = $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};$

cosB = $\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca};$

cosC = $\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.

- Định lí sin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$= 2R

trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Từ định lí sin, ta có hệ quả sau đây:

Hệ quả:

a = 2R.sinA; b = 2R.sinB; c = 2R.sinC;

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết: 

Giải SGK Toán 10 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Định lí côsin và định lí sin .

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin - Chân trời sáng tạo.

Đáp án đúng là : A

*Lời giải:

Tam giác ABC cân ở A, đường cao AH. Do đó, H là trung điểm BC (tính chất tam giác cân).

Ta có:

- $AB=AC\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|$ . Do đó, B đúng.

- H là trung điểm $BC\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{HC}=-\overrightarrow{HB}\\ \overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{HC}\end{array}\right.$ . Do đó, C, D đúng.

*Phương pháp giải:

- Nắm vững lý thuyết và tính chất của tích vô hướng hai vectơ: góc giữa hai vectơ, tính chất và ứng dụng tích vô hướng

*Một số lý thuyết và dạng bài tập về vectơ:

- Định nghĩa góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Từ điểm O bất kì vẽ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$, khi đó góc $\widehat{AOB}$ ($0^o\le \widehat{AOB}\le {180}^o$) là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Kí hiệu: $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

- Định nghĩa tích vô hướng: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ($\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$), khi đó tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ kí hiệu là $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ và xác định bởi công thức: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

Chú ý: 

+) Khi ít nhất một trong hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng vectơ $\overrightarrow{0}$ ta quy ước: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$.

+) Với hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ (), ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\iff \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$.

+) Tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}$ được kí hiệu là ${\overrightarrow{a}}^2$ và ta có: ${\overrightarrow{a}}^2={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2$.

- Ứng dụng của tích vô hướng:

+) Độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2\right)$ được tính theo công thức: $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}$

+) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2\right)$ ( $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$):

$\cos \left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}.\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$

+) Khoảng cách giữa hai điểm $A\left(x_A;y_A\right)$ và $B\left(x_B;y_B\right)$ được tính theo công thức:

$AB=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vecto có đáp án – Toán lớp 10

Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng của vectơ hoặc về độ dài đoạn thẳng

Đáp án đúng : A

*Phương pháp giải 

- Độ dài vecto:  Mỗi vecto đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vecto đó. Độ dài của vectơ  chính bằng độ dài đoạn thẳng AB. Kí hiệu: $\left|\overrightarrow{AB}\right|$.

- Sử dụng quy tắc ba điểm và quy tắc cộng vecto để tìm ra tổng của của hai vecto.

- Áp dụng định lí Pytago để tìm ra cạnh cần tính.

*Lời giải

Gọi H là trung điểm của $BC\Rightarrow AH\perp BC.$ 

Xét tam giác vuông AHC ta có:

$A{H}^2+H{C}^2=A{C}^2$

$\iff AH=\sqrt{A{C}^2-H{C}^2}$

$\iff AH=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}$

Suy ra $AH=\frac{BC\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$ 

Ta lại có $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC}\right|=\left|2\overrightarrow{AH}\right|$  

Suy ra : $\left|2\overrightarrow{AH}\right|=2.\frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

*Một số lý thuyết nắm thêm 

Tính chất phép cộng vecto:

+ Tính chất giao hoán: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$.

+ Tính chất kết hợp: $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$.

+ Với mọi $\overrightarrow{a}$, ta luôn có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$.

Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ ,kí hiệu là $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ với $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}$.

* Các quy tắc về vectơ:

Độ dài của vectơ là độ dài đoạn thẳng tạo bởi điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

 $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|=AB=BA$.

- Quy tắc ba điểm: Với 3 điểm A, B, C ta luôn $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$.

- Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

- Quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ với I là trung điểm của AB.

- Quy tắc trọng tâm: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ với G là trọng tâm của tam giác ABC.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết: 

Đáp án đúng là: C

Lời giải:

Ta có :  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AM}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$

*Phương pháp giải:

Ta thấy MB bằng 1 phần 2 BC do M là trung điểm

*Lý thuyết:

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối.

+ Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$
, đọc là vectơ $\overrightarrow{AB}$.

+ Đường thẳng đi qua hai điểm A và B gọi là giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$.

+ Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ dài của $\overrightarrow{AB}$ và được kí hiệu là $\left|\overrightarrow{AB}\right|$. Như vậy ta có $\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB$.

Chú ý: Một vectơ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể viết là $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\mathrm{...}$

Xem thêm

Lý thuyết Khái niệm vectơ – Toán 10 Chân trời sáng tạo

100 câu trắc nghiệm Vecto trong không gian cơ bản (P1) 

Đáp án đúng là: C

Vì K là trung điểm của MN nên ta có :

Ta có : $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)$ .

Mà M là trung điểm của AB và N là điểm thuộc cạnh AC sao cho NC = 2AN nên ta có :

$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\ \overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\end{array}\right.$

Do đó, $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$