Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB < AC. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của MH lấy điểm K sao cho HM = MK.

a) Chứng minh: Tứ giác BHCK là hình bình hành.

b) Chứng minh BK vuông góc AB và CK vuông góc AC.

c) Gọi I là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh: Tứ giác BIKC là hình thang cân.

d) BK cắt HI tại G. Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì để tứ giác GHCK là hình thang cân.

*Lời giải:

a) Xét tứ giác BHCK có:               

MH = MK và MB = MI

Suy ra: BHCK là hình bình hành.

b) Vì BHCK là hình bình hành (chứng minh câu a) 

Suy ra: BK // HC và CK // BH (tính chất hình bình hành)

Mà CH ⊥ AB và BH ⊥ AC

Suy ra: BK ⊥ AB và CK ⊥ AC.

c) Vì I đối xứng với H qua BC nên BC là đường trung trực của HI 

Mà M thuộc BC, suy ra MH = MI (tính chất đường trung trực) 

Mà $MH=MK=\frac{1}{2}HK$

Suy ra: $MI=MH=MK=\frac{1}{2}HK$

Do đó tam giác HIK vuông tại I hay HI ⊥ IK

Mà BC ⊥ HI (do BC là đường trung trực của HI)

Suy ra IK // BC 

Do đó BIKC là hình thang                  (1) 

Ta có BC là đường trung trực của HI, suy ra CI = CH 

Mà CH = BK (vì BKCH là hình bình hành) 

Suy ra BK = CI                         (2)

Từ (1) và (2) suy ra BICK là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết)

d) Gọi giao điểm của BC và HI là J.

Vì BK // CH nên GHCK là hình thang

Để hình thang GHCK là hình thang cân thì $\widehat{GHC}=\widehat{KCH}$

Mà $\widehat{HCK}+\widehat{HCA}={90}^{\circ }$ và $\widehat{GHC}+\widehat{HCB}={90}^{\circ }$ (vì tam giác HJC vuông tại J)

Suy ra $\widehat{HCA}=\widehat{HCB}$

Do đó CH là đường phân giác của tam giác ABC 

Lại có CH là đường cao của tam giác ABC 

Suy ra tam giác ABC cân tại C

Vậy tam giác ABC cân tại C thì GHCK là hình thang cân.

*Phương pháp giải

 - Vận dụng hết lý thuyết và dấu hiệu nhận biết của các hình học

+ Hình bình hành

+ Hình thang cân

*Một số lý thuyết nắm thêm

1. Khái niệm

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

2. Hình bình hành có những tính chất gì?

Trong hình bình hành:

- Các cạnh đối bằng nhau;

- Các góc đối bằng nhau;

- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết

- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là một hình bình hành.

- Tứ giác có các cặp cạnh đối song song là một hình bình hành.

- Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là một hình bình hành.

- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là một hình bình hành.

- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là một hình bình hành.

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

2. Tính chất

- Hai đường chéo vuông góc với nhau;

- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc trong hình thoi.

3. Dấu hiệu nhận biết hình thoi

- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

- Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

Ví dụ:

Hình a và c là hình bình hành do:

Hình a có các cặp cạnh đối bằng nhau.

Hình b có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Hình bình hành – Hình thoi – Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 8 Bài 12 (Kết nối tri thức): Hình bình hành