Tam giác ABC có AC = 4; $\widehat{BAC}={30}^{\circ };\widehat{ACB}={75}^{\circ }$. Tính diện tích tam giác.

* Lời giải:

Ta có : 

Suy ra tam giác ABC cân tại A nên AB = AC = 4.

Diện tích tam giác ABC là S = 1/2 AB.AC.sinA = 1/2 .4.4.sin30⁰ = 4.

*Phương pháp giải:

- Sử dụng định lí cosin trong tam giác khi biết được số đo hai cạnh và số đo của góc xen giữa hai cạnh đó.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ta có:

a² = b² + c² = 2bc.cosA 

- Sử dụng công thức lượng giác để tìm ra giá trị của góc cần tính.

* Lý thuyết nắm thêm và các công thức để tính diện tích tam giác"

Công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác có BC = a, AC = b, AB = c với:

• $h_a,h_b,h_c$ là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB

• R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;

• r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;

• $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi tam giác;

• S là diện tích tam giác.

Khi đó ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC như sau:

$$\begin{gathered} S=\frac{1}{2}a{h}_a=\frac{1}{2}b{h}_b=\frac{1}{2}c{h}_c \\ S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C \\ S=\frac{abc}{4R} \\ S=pr \\ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \end{gathered}$$

(Công thức Hê-rông)

$\to$Dựa vào dữ kiện bài ra để sử dụng linh hoạt một trong các công thức ở trên.

Định lí Côsin 

Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Định lí Côsin. Trong tam giác ABC:

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA.

b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB.

c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC.

Định lí sin

Trong tam giác ABC: $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{sinC}}=2\mathrm{R}$.

Giải tam giác và ứng dụng thực tế

- Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó được gọi là giải tam giác.

Chú ý: Áp dụng định lí côsin, sin và sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác trong các trường hợp sau:

+ Biết hai cạnh và góc xen giữa.

+ Biết ba cạnh.

+ Biết một cạnh và hai góc kề.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác (có đáp án)

Tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Chương 3. Hệ thức lượng trong tam giác - Kết nối tri thức

Sách bài tập Toán 10 Bài 6 (Kết nối tri thức): Hệ thức lượng trong tam giác