Chứng minh hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân

* Lời giải:

Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC tại K.

Ta có hình thang ABKC có hai cạnh bên BK // AC nên AC = BK

Mà AC = BD (gt)

Suy ra: BD = BK do đó $∆$BDK cân tại B

⇒ K (tính chất hai tam giác cân)

Ta lại có: K (hai góc đồng vị)

Suy ra:  

Xét $∆$ACD và $∆$BDC:

AC = BD (gt)

CD chung

Do đó $∆$ACD = $∆$BDC (c.g.c) ⇒ $\angle$(ADC) = $\angle$(BCD)

Hình thang ABCD có $\angle$(ADC) = $\angle$(BCD) nên là hình thang cân

* Phương pháp giải:

Kẻ đường phụ: Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt DC tại K.

Chứng minh ABKC là hình bình hành để suy ra AC=BK.

Từ AC=BD (giả thiết) suy ra BD=BK, chứng tỏ tam giác BDK cân tại B, dẫn đến ∠D1​=∠K.

Sử dụng tính chất góc đồng vị (∠C1​=∠K) để suy ra ∠D1​=∠C1​.

Chứng minh △ACD=△BDC (c.g.c) dựa vào AC=BD, CD chung và ∠D1​=∠C1​.

Từ △ACD=△BDC, suy ra ∠(ADC)=∠(BCD), kết luận ABCD là hình thang cân.

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Định nghĩa

Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song

Tứ giác ABCD là hình bình hành$\iff \left\{\begin{array}{l}AB//CD\\ AD//BC\end{array}\right.$

2. Tính chất: Trong hình bình hành

a) Các cạnh đối bằng nhau;

b) Các góc đối bằng nhau;

c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết

a) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành;

b) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;

c) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;

d) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;

e) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

II. Các dạng toán và phương pháp giải

Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh các tính chất hình học

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình bình hành.

Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành

Phương pháp giải: Áp dụng các dấu hiệu nhận biết của hình bình hành

a) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành;

b) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;

c) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;

d) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;

e) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán 8 (Kết nối tri thức): Bài tập cuối chương 3 trang 74

50 bài tập về hình bình hành (có đáp án 2024) – Toán 8