Cho biểu thức: $P=\left(\frac{2+\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}-\frac{4x+2\sqrt{x}-4}{x-4}\right):\left(\frac{2}{2-\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}+3}{2\sqrt{x}-x}\right)$

a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của x để P > 0

c) Tìm các giá trị của x để P = -1

* Lời giải:

a) ĐKXĐ: $x>0; x\ne 4$

$$\begin{gathered} P=\left(\frac{{\left(2+\sqrt{x}\right)}^2}{(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})}+\frac{\sqrt{x}(2-\sqrt{x})}{(2+\sqrt{x})(2-\sqrt{x})}+\frac{4x+2\sqrt{x}-4}{(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})}\right):\left(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(2-\sqrt{x})}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}(2-\sqrt{x})}\right) \\ =\left(\frac{x+4\sqrt{x}+4+2\sqrt{x}-x+4x+2\sqrt{x}-4}{(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})}\right):\left(\frac{2\sqrt{x}-\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}(2-\sqrt{x})}\right) \\ =\frac{4\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})}.\frac{\sqrt{x}(2-\sqrt{x})}{(\sqrt{x}-3)}=\frac{4x}{\sqrt{x}-3} \end{gathered}$$

b)

$P>0\Rightarrow \frac{4x}{\sqrt{x}-3}>0\Rightarrow \sqrt{x}-3>0\Rightarrow x>9$

c)

$$\begin{gathered} P=-1\Rightarrow \frac{4x}{\sqrt{x}-3}=-1\Rightarrow 4x=-\sqrt{x}+3 \\ \Rightarrow 4x+\sqrt{x}-3=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}=-1 \left(l\right)\\ \sqrt{x}=\frac{3}{4}\left(n\right)\Rightarrow x=\frac{9}{16}\end{array}\right. \end{gathered}$$

* Phương pháp giải:

- Sử dụng tính chất của căn bậc hai để giải bài toán ( do x không âm ): 

Ví dụ: ${\left(\sqrt{x}\right)}^2=x$

* Lý thuyết nắm thêm:

Khái niệm căn thức bậc hai:

Căn thức bậc hai là biểu thức có dạng $\sqrt{A}$, trong đó A là một biểu thức đại số. A được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.

Điều kiện xác định của căn thức bậc hai

$\sqrt{A}$ xác định khi A lấy giá trị không âm và ta thường viết là $A\ge 0$. Ta nói $A\ge 0$ là điều kiện xác định (hay điều kiện có nghĩa) của $\sqrt{A}$.

Hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$

Với A là một biểu thức, ta có:

Với $A\ge 0$ ta có $\sqrt{A}>0; {\left(\sqrt{A}\right)}^2=A$

${\sqrt{A}}^2=\left|A\right|$

So sánh các căn bậc hai số học

Định lí. Với hai số a và b không âm, ta có: $a<b\iff \sqrt{a}<\sqrt{b}$.

Tìm điều kiện để $\sqrt{A}$ có nghĩa

Phương pháp giải

√A có nghĩa ⇔ A ≥ 0

 có nghĩa ⇔ A > 0

Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai (dạng √(A2))

Phương pháp giải: Vận dụng hằng đẳng thức:

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa căn

Phương pháp giải: Dựa vào điều kiện:

Dấu bằng xảy ra khi A = 0.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Căn bậc hai (và Bài Tập) - Toán 9

Toán 9 Bài 7 SGK (Kết nối tri thức): Căn bậc hai và căn thức bậc hai

TOP 40 câu Trắc nghiệm Căn bậc hai (có đáp án) – Toán 9