Chứng minh rằng:  $2^{1999}<7^{714}$

* Lời giải:

Ta có:  $2^{10}=1024;7^3=343$

 $\Rightarrow 2^{10}<{3.7}^3\Rightarrow {\left(2^{10}\right)}^{238}<3^{238}.{\left(7^3\right)}^{238}$

$\Rightarrow 2^{2380}<3^{238}{.7}^{714}$                                                   (1)

Xét: $3^{238}=3^3{.3}^{235}=3^3.{\left(3^5\right)}^{47}<3^3.{\left(2^8\right)}^{47}<2^5{.2}^{376}=2^{381}$ (vì 35<28)

$\Rightarrow 3^{238}<2^{381}$                                                                                    (2)

Từ (1) và (2) ta có:  $2^{{}^{2380}}<2^{381}{.7}^{714}$

 $\Rightarrow 2^{1999}<7^{{}^{714}}$

* Phương pháp giải:

Để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số rồi so sánh số mũ hoặc đưa về cùng số mũ rồi so sánh cơ số. Ngoài ra có thể dùng lũy thừa trung gian để so sánh.

* Lý thuyết và các dạng bài tập liên quan đến lũy thừa:

Với a, b, m, n ∈ N, ta có:

 

Với A, B là các biểu thức ta có:

 

CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 1: Sử dụng định nghĩa của lũy thừa với số mũ tự nhiên.

Nắm vững định nghĩa:

 $(x\in Z,n\in N,n>1)$

Quy ước: x1 = x; x0 = 1 (x ≠ 0)

Dạng 2: Tính tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số.

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức tính tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số.

$x^m.x^n=x^{m+n}( x\in Z;m,n\in N)$

$x^m:x^n=x^{m-n}(x\ne 0, m⩾n)$

Dạng 3: Tính lũy thừa của một lũy thừa:

Phương pháp giải:

- tính lũy thừa của một lũy thừa: (xm)n = xm.n.

- Trong nhiều trường hợp ta phải sử dụng công thức này theo chiều từ phải sang trái: xm.n = (xm)n = (xn)m.$x^m:x^n=x^{m-n}(x\ne 0, m⩾n)$

- Tránh sai lầm do lẫn lộn hai công thức: xm.xn = xm+n và (xm)n = xm.n

Dạng 4: Tính lũy thừa của một tích, lũy thừa của một thương.

Phương pháp giải

${\left(x.y\right)}^n=x^n.y^n$(Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa)

${\left(\frac{x}{y}\right)}^n=\frac{x^n}{y^n}(y\ne 0)$(Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Toán 7 Bài 3. Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Giải SGK Toán 7 Bài 3: Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Các dạng toán về Lũy thừa của số hữu tỉ và cách giải – Toán lớp 7