Đồ thị hàm số  $\frac{\sqrt{x}+1}{\left|x\right|-1}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

Đáp án đúng là D

Lời giải

Tập xác định $D=\left(-1;+\infty \right)\backslash \left\{1\right\}$

Ta có :

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }y\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}=0\Rightarrow$ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y=0

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}=+\infty ;\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=-\infty$

=> Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là  x=1

 $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}=-\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+1}}=-\infty$

=> Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=-1$

Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.

*Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa, ta tính:

+) $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)$. Nếu giới hạn này là một số hữu hạn $y_0$

thì ta kết luận đường TCN là $y=y_0$.

+) $\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ và $\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)$. Trong đó $x_0$ là điểm mà hàm số không xác định.

Nếu ít nhất một trong hai giới hạn này tiến tới vô cùng thì ta kết luận TCĐ là $x=x_0$

- Hàm phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có TCN là $y=\frac{a}{c}$ và TCĐ là $-\frac{d}{c}$

*Lý thuyết:

1. Đường tiệm cận đứng

Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng $\left(a;+\infty \right)$; $\left(-\infty ;b\right)$ hoặc $\left(-\infty ;+\infty \right)$).

- Định nghĩa: Đường thẳng $x=x_0$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

$\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$;$\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$;

$\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$;$\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

2. Đường tiệm cận ngang

- Định nghĩa: Đường thẳng $y=y_0$ được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$;$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$

Chú ý:

- Đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d},\left(ad-bc\ne 0,c\ne 0\right)$ luôn có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng lần lượt là $y=\frac{a}{c}$; $x=-\frac{d}{c}$.

- Nếu $y=f\left(x\right)=\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$ là hàm số phân thức hữu tỉ.

+ Nếu Q(x) = 0 có nghiệm là x₀, và x₀ không là nghiệm của P(x) = 0 thì đồ thị có tiệm cận đứng là .

+ Nếu bậc (P(x)) $\le$bậc (Q(x)) thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.

Xem thêm

50 bài tập về tiệm cận của đồ thị hàm số (có đáp án 2025) và cách giải 

Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số – Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo