Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right): {(x-1)}^2+{(y+1)}^2+{(z-2)}^2=9$ và điểm $M(1;3;-1)$. Biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn (C) có tâm $J(a;b;c)$. Giá trị 2a+b+c bằng

Đáp án đúng: C

* Lời giải:

Ta có mặt cầu $\left(S\right)$  có tâm $I\left(1;-1;2\right)$  và bán kính $R=3$ .

Khi đó $IM=5>R\Rightarrow M$  nằm ngoài mặt cầu.

Phương trình đường thẳng MI là $\{\begin{array}{c}x=1\\ x=-1+4t\\ z=2-3t\end{array}$ .

Tâm $J\left(a;b;c\right)$  nằm trên MI nên $J\left(1;-1+4t;2-3t\right)$ .

Xét $\Delta MHI$  vuông tại H có

$MI=5;IH=3\Rightarrow MH=\sqrt{M{I}^2-H{I}^2}=4$

Mặt khác $\{\begin{array}{c}M\left(1;3;-1\right)\\ J\left(1;-1+4t;2-3t\right)\end{array}\Rightarrow MJ=\sqrt{{\left(-4+4t\right)}^2+{\left(3-3t\right)}^2}$ .

$MJ.MI=M{H}^2\Rightarrow MJ=\frac{16}{5}\iff {\left(-4+4t\right)}^2+{\left(3-2t\right)}^2=\frac{256}{25}\iff 25t^2-50t+\frac{369}{25}=0\iff [\begin{array}{c}t=\frac{9}{25}\\ t=\frac{41}{25}\end{array}$

 

 

Suy ra $J\left(1;\frac{11}{25};\frac{23}{25}\right)$  hoặc $J\left(1;\frac{139}{25};\frac{-73}{25}\right)$ .

+) Với $J\left(1;\frac{11}{25};\frac{23}{25}\right)$  thì $IJ=\frac{9}{5}<IM$  (nhận).

+) Với $J\left(1;\frac{139}{25};\frac{-73}{25}\right)$  thì $IJ=\frac{41}{5}>IM$  (loại).

Vậy $J\left(1;\frac{11}{25};\frac{23}{25}\right)$  nên $2a+b+c=\frac{84}{25}$ .

* Phương pháp giải: 

Xác định phương trình đường thẳng MI, tìm điểm J(a;b;c) trên MI sao cho tam giác MHI vuông tại H, tìm giá trị t và giải bài toán

* Lý thuyết nắm thêm:

Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

Cho mặt cầu S(I; R).

Diện tích mặt cầu: $S=4\pi R^2$

Thể tích khối cầu: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$

Dạng 1: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

* Phương pháp giải:

- Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (d là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).

- Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên (hoặc trục ∆ của đường tròn ngoại tiếp một đa giác của mặt bên).

- Giao điểm I của (P) và d (hoặc của ∆ và d) là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

- Kết luận: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp.

Dạng 1.1: Hình chóp có các điểm cùng nhìn một cạnh của hình chóp dưới một góc vuông.

+) Hình chóp tam giác:

A, B cùng nhìn SC dưới một góc vuông

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là trung điểm I của SC

Bán kính là: $R=\frac{SC}{2}$

+) Hình chóp tứ giác

A, B, D cùng nhìn SC dưới một góc vuông

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm J của SC

Bán kính mặt cầu là: $R=\frac{SC}{2}$

Dạng 1.2: Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy

* Phương pháp giải: Gọi h là chiều cao hình chóp và $R_b,R_d$ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp mặt bên, mặt đáy và $\partial$ là độ dài cạnh chung của mặt bên vuông góc với đáy thì bán kính mặt cầu là:

$R=\sqrt{{R_b}^2+{R_d}^2-{\left(\frac{\partial }{2}\right)}^2}$

Dạng 1.3: Mặt cầu nội tiếp khối đa diện

* Phương pháp giải: Nếu đặt V là thể tích khối chóp và $S_{tp}$ là tổng diện tích mặt đáy và các mặt bên của chóp thì bán kính r của mặt cầu nội tiếp khối chóp: $r=\frac{3V}{S_{tp}}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Bài tập Mặt cầu Toán 12

Các bài toán thực tế hình không gian (có đáp án)

Phương trình mặt cầu (lý thuyết và cách giải các dạng bài tập)