Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $SA\perp \left(ABCD\right)$ và $SA=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ (tham khảo hình bên dưới). Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) là

Đáp án đúng: B

* Lời giải:

Kẻ $AH\perp SD$ tại H.

Dễ thấy $CD\perp AB,CD\perp SA\Rightarrow CD\perp \left(SAD\right)$$\Rightarrow AH\perp CD$.

Mà $AH\perp SD$ Þ $AH\perp \left(SCD\right)$.

Suy ra $d\left(A;\left(SCD\right)\right)=AH$.

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta SAD$ có:

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{D}^2}+\frac{1}{S{A}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\frac{4}{a}\Rightarrow AH=\frac{a}{2}$.

Vậy $d\left(A;\left(SCD\right)\right)=AH=\frac{a}{2}$.

* Phương pháp giải:

Dựng đường vuông góc AH ⊥ SD tại H

Chứng minh AH ⊥ (SCD)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $\triangle SAD$

* Lý thuyến cần nắm và dạng toán về khoảng cách một diểm đến một mặt phẳng:

- Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P).

- Kí hiệu: d (M, (P)) = MH

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Cho hệ tọa độ không gian Oxyz, cho điểm M có tọa độ như sau: ($\alpha ;\beta ;\gamma$). Cho mặt phẳng (P) có phương trình dạng: ax + by + cz + d = 0.

Công thức tổng quát tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) được tính như sau:

Để tính được khoảng từ điểm A đến mặt phẳng (α) thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm A trên (α)

Cho trước SA ⊥ Δ; trong đó S ∈ (α) và Δ ⊂ (α)

Bước 1: Dựng AK ⊥ Δ ⇒ Δ ⊥ (SAK) ⇒(α) ⊥ (SAK) và (α) ∩ (SAK) = SK

Bước 2: Dựng AP ⊥ SK ⇒ AP ⊥ (α) ⇒ d(A, (α)) = AP

Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ $M(x_0;y{}_0;z_0)$ đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là:

$d(M,(P\left)\right)=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Cụ thể, để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) ta thực hiện các bước như sau:

+) Lấy điểm M thuộc mặt phẳng (P).

+) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q) (áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng).

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng d đi qua điểm A có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ được xác định bởi công thức:

$d(M,d)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{AM};\overrightarrow{u}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}.$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (lý thuyết, công thức, cách tính) và bài tập có đáp án

50 bài toán về khoảng cách trong không gian (có đáp án 2024) – Toán 12

200 bài tập tính khoảng cách trong hình học không gian và cách giải (2023) có đáp án