Cho Parabol $\left(P\right)=-\frac{1}{4}{x}^2$ và đường thẳng (d) có phương trình: $y=x+m$

a) Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P) có điểm chung duy nhất.

b) Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

c) Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung.

* Lời giải:

Phương trình có hoành độ giao điểm là:

$$\begin{gathered} -\frac{1}{4}{x}^2=x+m \\ -\frac{1}{4}{x}^2-x-m=0 \\ ∆={(-1)}^2-4(-\frac{1}{4}).(-m)=1-m \end{gathered}$$

a) Để đường thẳng (d) và parabol (P) có điểm chung duy nhất

$$\begin{gathered} ∆=0 \\ 1-m=0 \\ m=1 \end{gathered}$$

b) Để đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

$$\begin{gathered} ∆\ge 0 \\ 1-m\ge 0 \\ m\le 1 \end{gathered}$$

c) Để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung

$$\begin{gathered} ∆<0 \\ 1-m<0 \\ m>1 \end{gathered}$$

* Phương pháp giải:

Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm

Điều kiện để đường thẳng và parabol có số điểm chung nhất định:

$\Delta = 0$: Phương trình có nghiệm kép$\Rightarrow$tiếp xúc nhau (1 điểm chung duy nhất). $$1 - m = 0 \Rightarrow m = 1.$$

$\Delta > 0$: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt$\Rightarrow$đường thẳng cắt parabol tại hai điểm. $$1 - m > 0 \Rightarrow m < 1.$$

$\Delta < 0$: Phương trình vô nghiệm$\Rightarrow$đường thẳng không cắt parabol.

* Lý thuyết nắm thêm:

- Giá trị hàm số tại một điểm: Một điểm M$\left(x_0;y_0\right)$ thuộc đồ thị hàm số y = a$x^2$ (a ≠ 0) khi và chỉ khi $y_0=a{x_0}^2$. Khi đó, $y_0$ là giá trị hàm số tại điểm $x_0$.

- Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số:

+) Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

+) Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

Dạng 1: Tính giá trị hàm số tại một điểm cho trước

Một điểm M$\left(x_0;y_0\right)$ thuộc đồ thị hàm số y = a$x^2$ (a ≠ 0) khi và chỉ khi $y_0=a{x_0}^2$. Khi đó, $y_0$ là giá trị hàm số tại điểm $x_0$.

Dạng 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

So sánh hệ số a với số 0, ta có:

Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

Dạng 3: Các bài toán liên quan đến tham số m

Sử dụng các kiến thức về hàm số y = a$x^2$ (a ≠ 0) để biện luận tìm điều kiện của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Một điểm M$\left(x_0;y_0\right)$ thuộc đồ thị hàm số y = a$x^2$ (a ≠ 0) khi và chỉ khi $y_0=a{x_0}^2$. Khi đó,$y_0$ là giá trị hàm số tại điểm $x_0$.

Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0) (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

50 bài tập về Các dạng bài tập Hàm số y = a.x^2 (có đáp án 2024) - Toán 9