Cho hàm số f(x) liên tục trên $R$. Gọi F(x), G(x) là hai nguyên hàm của f(x) trên $R$ thỏa mãn $F\left(4\right)+G\left(4\right)=4$ và $F\left(0\right)+G\left(0\right)=1$. Khi đó $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(2x\right)dx$ bằng

* Lời giải:

Vì F(x) và G(x) đều là nguyên hànm của f(x) nên G(x) = F(x) +C

Theo bài ra ta có 2F(4) + C = 4 và 2F(0) + C = 1

Nên ${\displaystyle \frac{1}{2}}\left[F\left(4\right)-F\left(0\right)\right]={\displaystyle \frac{3}{4}}$

Đặt $2x=t\Rightarrow 2dx=dt$. Đổi cận: $\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow t=0\\ x=2\Rightarrow t=4\end{array}.$

Khi đó $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(2x\right)dx=\underset{0}{\overset{4}{\int }}{\displaystyle \frac{f\left(t\right)}{2}}dt={\displaystyle \frac{1}{2}}\left[F\left(4\right)-F\left(0\right)\right]={\displaystyle \frac{3}{4}}$.

Vì F(x) và G(x) đều là nguyên hànm của f(x) nên G(x) = F(x) +C

Tính $F\left(4\right)-F\left(0\right)$.

Sử dụng phương pháp đổi biến tính tích phân $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(2x\right)dx$

* Phương pháp giải: 

Dùng phương pháp đổi biến để tính 

* Lý thuyết nắm thêm

Nguyên hàm

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R).

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi $x\in K$.

- Định lí 1.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

- Định lí 2.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó $F\left(x\right)+C;C\in ℝ$ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

Kí hiệu: $\underset{}{\overset{}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$

- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.

Tính chất của nguyên hàm

- Tính chất 1.

$\int f\text{'}\left(x\right)dx=f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+C$

Ví dụ 3.

$\int \left(\text{}{4}^x\right)\text{'}dx$$\hspace{0.17em}=\int 4^x.\ln 4.dx=4^x+C$

- Tính chất 2.

$\int kf\left(x\right)\text{}dx=k.\int f\left(x\right)\text{}dx$(k là hằng số khác 0).

- Tính chất 3.

$\int \left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx$$=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx$

Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Phương pháp đổi biến số

- Định lí 1.

Nếu $\int f\left(u\right)du=F\left(u\right)+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C$ và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

$\int f\left(u\right(x\left)\right).u\text{'}\left(x\right)dx$$=F\left(u\right(x\left)\right)+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}C$

Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:

$\int f(ax+\text{\hspace{0.17em}}b)dx$$\hspace{0.17em}=\frac{1}{a}F(ax+\text{\hspace{0.17em}}b)+\text{\hspace{0.17em}}C$

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

- Định lí 2.

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

$\int u\left(x\right).v\text{'}\left(x\right).dx$$\hspace{0.17em}=u\left(x\right).v\left(x\right)-\int u\text{'}\left(x\right).v\left(x\right)dx$

- Chú ý.

Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:

$\int udv=uv-\int vdu$

Đó là công thức nguyên hàm từng phần.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Nguyên hàm – Toán 12

Trắc nghiệm Nguyên hàm (có đáp án) - Toán 12 

150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản (P1)